I en ikke-likeverdig trekant er Kiepert-hyperbola den ligesidige hyperbola som passerer gjennom de tre toppunktene og trekantsenteret.
Det har navnet sitt fra matematikeren Ludwig Kiepert (de) som presenterte det i 1869 i sin løsning av Lemoines problem (in) (Finn toppunktene i en trekant og kjenn til toppunktene til de tre ensidige trekanter bygget utenfor den).
For en hvilken som helst trekant ABC konstruerer vi tre direkte like likestilte trekanter (ABC '), (BCA') og (CAB '). Hvis linjene (AA '), (BB') og (CC ') ikke er parallelle, er de samtidig ved et punkt M. I tilfelle der den innledende trekanten ikke er likbenet, når grunnvinkelen til likebenede trekanter varierer, poenget M krysser Kiepert-hyperbolen fratatt et poeng. Hvis trekanten ABC er ikke-ensidige likbenede, krysser punktet M symmetriaksen til trekanten fratatt et punkt. Hvis trekanten er ensidig, er punktet M fast.
Denne egenskapen gjør det mulig for oss å bekrefte at de Napoleon punktene (N I og N e ), de Vecten punktene (V I og V e ), de Fermat punktene (F 1 og F- 2 ) og, ved å begrense den orthocenter (H) av en ikke-likebenet trekant er på Kiepert-hyperbola.
Kiepert-hyperbola inneholder mange andre bemerkelsesverdige punkter i trekanten, blant annet det tredje punktet i Brocard , sentrene til sirklene som er innskrevet og skrevet i den midterste trekanten og punktet Tarry (in) ( Kimberling nummer X98)
Linjen som forbinder Lemoine-punktet til sentrum av den omskrevne sirkelen (Brocard-aksen) møter sirkelen på to punkter, Simson-linjene til disse to punktene er asymptotene til hyperbola.
Sentrum av hyperbelen, heter det Kiepert punktet (Kimberling antall x115) er derfor på Euler sirkel av trekanten.
Dette senteret er midt i segmentet som forbinder de to Fermat-punktene (Kimberling-tall X13 og X14). Det er også på sirkelen som går gjennom sentrum av den omskrevne sirkelen, sentrum av Euler-sirkelen og punktet til Lemoine (Kimberling nummer X6). Det er også på Steiner-ellipsen .