Tvang
I matematikk , og nærmere bestemt i analyse , sies en reell funksjon å være tvangsmessig hvis "den har en tendens til uendelig til uendelig", muligens i en spesifisert del av startsettet. En analog definisjon brukes for bilineære former. I funksjonell analyse blir tvangsmuligheten også definert for operatørene av et Hilbert-rom i seg selv og mer generelt for operatørene av et Banach-rom i dets topologiske dualitet .
Definisjon
En funksjon definert på et normalisert rom med verdier i sies å være tvangsmessig på en ubegrenset del av si
f{\ displaystyle f}X{\ displaystyle X}R¯: =R∪{-∞,+∞}{\ displaystyle {\ bar {\ mathbb {R}}}: = \ mathbb {R} \ cup \ {- \ infty, + \ infty \}} P{\ displaystyle P}X{\ displaystyle X}
lim‖x‖→+∞x∈Pf(x)=+∞{\ displaystyle \ lim _ {\ | x \ | \ til + \ infty \ på toppen av x \ i P} f (x) = + \ infty}
eller mer presist
∀ν∈R,∃ρ⩾0:(x∈X og ‖x‖⩾ρ)⟹f(x)⩾ν.{\ displaystyle \ forall \, \ nu \ i \ mathbb {R}, \ quad \ eksisterer \, \ rho \ geqslant 0: \ quad (x \ i X ~ {\ mbox {og}} ~ \ | x \ | \ geqslant \ rho) \ quad \ Longrightarrow \ quad f (x) \ geqslant \ nu.}
Dette tilsvarer at skjæringspunktene mellom sett av funksjoner på undernivå er avgrenset:
P{\ displaystyle P}
∀ν∈R,{x∈P:f(x)⩽ν} er avgrenset.{\ displaystyle \ forall \, \ nu \ i \ mathbb {R}, \ qquad \ {x \ i P: f (x) \ leqslant \ nu \} ~ {\ mbox {er avgrenset.}}}
Hvis delen ikke er spesifisert , er det underforstått at .
P{\ displaystyle P}P=X{\ displaystyle P = X}
Vi kan også utvide definisjonen til et metrisk område , og erstatte med hvor er fast i .
‖x‖→+∞x∈P{\ displaystyle {\ | x \ | \ to + \ infty} \ oppå x \ i P}d(x,på)→+∞x∈P{\ displaystyle {d (x, a) \ to + \ infty} \ på toppen av x \ i P}på{\ displaystyle a}P{\ displaystyle P}
Tilfelle av en bilinær form
Definisjon
Mer spesifikt sies det at en bilinær form er tvangsmessig hvis den tilfredsstiller:
på:X×X→R{\ displaystyle a: X \ ganger X \ til \ mathbb {R}}
∃α>0,∀x∈X:på(x,x)⩾α‖x‖2.{\ displaystyle \ eksisterer \, \ alpha> 0, \ quad \ forall \, x \ i X: \ qquad a (x, x) \ geqslant \ alpha \ | x \ | ^ {2}.}
Noen forfattere foretrekker å bruke navnet -elliptisk for sistnevnte definisjon. Dette griper inn blant annet i Lax-Milgram-teoremet og teorien om elliptiske operatører, så vel som i endelig elementmetoden .
X{\ displaystyle X}
Kobling mellom definisjoner
I tilfelle hvor er en bilinær form, ved å sette har vi ekvivalens mellom tvangsevnen til og den til . Innebærer faktisk at det eksisterer slik at . Så (ved hjelp av variabelen u),
på{\ displaystyle a}f(u)=på(u,u){\ displaystyle f (u) = a (u, u)}på{\ displaystyle a}f{\ displaystyle f}lim‖x‖→∞f(x)=+∞{\ displaystyle \ scriptstyle \ lim _ {\ | x \ | \ to \ infty} f (x) = + \ infty}R>0{\ displaystyle R> 0}‖x‖⩾R⇒f(x)⩾1{\ displaystyle \ scriptstyle \ | x \ | \ geqslant R \ Rightarrow f (x) \ geqslant 1}
(R‖u‖)2på(u,u)=på(R‖u‖u,R‖u‖u)=f(R‖u‖u)⩾1{\ displaystyle \ left ({\ frac {R} {\ | u \ |}} \ right) ^ {2} a (u, u) = a \ left ({\ frac {R} {\ | u \ | }} u, {\ frac {R} {\ | u \ |}} u \ right) = f \ left ({\ frac {R} {\ | u \ |}} u \ right) \ geqslant 1}
og
på(u,u)⩾(‖u‖R)2{\ displaystyle a (u, u) \ geqslant \ left ({\ frac {\ | u \ |} {R}} \ right) ^ {2}}.
Vi identifiserer derfor: som er strengt positivt.
α=(1R)2{\ displaystyle \ alpha = \ left ({\ frac {1} {R}} \ right) ^ {2}}
Operatør av et Hilbert-rom i seg selv
En operatør av et Hilbert-rom i seg selv sies å være tvangsmessig iff
PÅ{\ displaystyle A}H{\ displaystyle H}
lim‖x‖→+∞⟨PÅ(x),x⟩‖x‖=+∞{\ displaystyle \ lim _ {\ | x \ | \ to + \ infty} {\ frac {\ langle A (x), x \ rangle} {\ | x \ |}} = + \ infty}
der 〈·, ·〉 betegner skalarproduktet til og ║ · ║ tilhørende norm.
H{\ displaystyle H}
En operatør av et Banach-rom i sin topologiske dual sies å være tvangsmessig iff
PÅ{\ displaystyle A}V{\ displaystyle V}V′{\ displaystyle V ^ {\ prime}}
lim‖x‖→+∞⟨PÅ(x),x⟩‖x‖=+∞{\ displaystyle \ lim _ {\ | x \ | \ to + \ infty} {\ frac {\ langle A (x), x \ rangle} {\ | x \ |}} = + \ infty}
hvor ║ · ║ betegner normen for og for og vi setter:
V{\ displaystyle V}x∈V{\ displaystyle x \ i V}x′∈V′{\ displaystyle x ^ {\ prime} \ i V ^ {\ prime}}
⟨x′,x⟩: =x′(x){\ displaystyle \ langle x ^ {\ prime}, x \ rangle: = x ^ {\ prime} (x)}
Se også
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">