Ferdigstillelse av torget

Fremgangsmåten for gjennomføring av firkantet , i matematikk, er en algebraisk prosess gjør det mulig å skrive en kvadratisk ligning av formen i sin vedtatte formen , eller for å faktorisere den polynomet . Ideen er å vise en firkantet form av bemerkelsesverdig identitet og eksempel på å trekke ut kvadratroten . $øks ^ {2} + bx + c = 0$ ${\ displaystyle a {\ biggl (} (x + {\ frac {b} {2a}}) ^ {2} - {\ frac {b ^ {2} -4ac} {4a ^ {2}}} {\ biggr)} = 0}$ ${\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c}$

Metode

Den generelle ideen om denne teknikken består, fra en ligning av formen A + B = C , for å sette den i form A + B + D = C + D , hvor D velges slik at A + B + D eller utviklingen av en bemerkelsesverdig identitet som (en variant av denne prosessen består i å "legge til 0", det vil si skriftlig A + B i form A + B + DD). Når vi altså har en ligning av formen, legger vi til på hver side av ligningen for å få den til å vises , noe som gir ${\ displaystyle (x + y) ^ {2} = x ^ {2} + 2xy + y ^ {2}}$ ${\ displaystyle x ^ {2} + bx + c = 0}$ ${\ displaystyle \ left ({\ frac {b} {2}} \ right) ^ {2} -c}$ ${\ displaystyle x ^ {2} + bx + \ left ({\ frac {b} {2}} \ right) ^ {2} = \ left (x + {\ frac {b} {2}} \ right) ^ {2}}$

{\ displaystyle x ^ {2} + bx + \ left ({\ frac {b} {2}} \ right) ^ {2} = \ left ({\ frac {b} {2}} \ right) ^ { 2} -vs}

fra hvor ${\ displaystyle \ left [x + \ left ({\ frac {b} {2}} \ right) \ right] ^ {2} = \ left ({\ frac {b} {2}} \ right) ^ { 2} -vs}$

og derfor (forutsatt at radikanten er positiv). ${\ displaystyle x = - {\ frac {b} {2}} \ pm {\ sqrt {\ left ({\ frac {b} {2}} \ right) ^ {2} -c}}}$

Eksempel

La ligningen løses. Tilsett på hver side. ${\ displaystyle x ^ {2} -6x + 5 = 0}$ ${\ displaystyle (-6/2) ^ {2} -5 = 9-5}$

Vi får , ${\ displaystyle x ^ {2} -6x + 5 + 9-5 = 9-5}$

som er forenklet i , ${\ displaystyle x ^ {2} -6x + 9 = 4}$

deretter inn ${\ displaystyle (x-3) ^ {2} = 4}$

og til slutt . ${\ displaystyle x-3 = \ pm {\ sqrt {4}} = \ pm 2}$

Derav løsningene i ligningen, og . ${\ displaystyle x_ {1} = 1}$ ${\ displaystyle x_ {2} = 5}$

Generalisering

Vi kan bruke denne metoden i en ligning av skjemaet , hvor $øks ^ {2} + bx + c = 0$ ${\ displaystyle a \ neq 0.}$

øks ^ {2} + bx + c = 0

{\ displaystyle \ Leftrightarrow x ^ {2} + {\ frac {b} {a}} x + {\ frac {c} {a}} = 0,}

fordi

{\ displaystyle a \ neq 0.}

Ved å anvende metoden ovenfor på denne ligningen, får vi den kanoniske formen

${\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = a {\ biggl (} (x + {\ frac {b} {2a}}) ^ {2} - {\ frac {b ^ {2} -4ac} {4a ^ {2}}} {\ biggr)} = 0}$ ;

så finner vi Vietes formel (forutsatt den positive radikanden ):

{\ displaystyle x = - {\ frac {b} {2a}} \ pm {\ sqrt {\ left ({\ frac {b} {2a}} \ right) ^ {2} - {\ frac {c} { på}}}},}

eller i en mer vanlig form, med diskriminanten av polynomet:

{\ displaystyle x_ {1} = {\ frac {-b + {\ sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}

; .

{\ displaystyle x_ {2} = {\ frac {-b - {\ sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}

Hvis diskriminanten er positiv, får vi den kanoniske faktoriseringen:

${\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = a (x-x_ {1}) (x-x_ {2}).}$

Andre applikasjoner

Den samme ideen kan brukes på andre algebraiske uttrykk; det tillater for eksempel å transformere en kartesisk ligning som i eller ; vi gjenkjenner deretter ligningen til en sirkel med sentrum (-1, 2) og radius 3. ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + 2x-4y = 4}$ ${\ displaystyle x ^ {2} + 2x + 1 + y ^ {2} -4y + 4 = 9,}$ ${\ displaystyle (x + 1) ^ {2} + (y-2) ^ {2} = 9}$

Vi kan også få samme identitet som Sophie Germain :

${\ displaystyle x ^ {4} + 4y ^ {4} = (x ^ {4} + 4x ^ {2} y ^ {2} + 4y ^ {4}) - 4x ^ {2} y ^ {2} = (x ^ {2} + 2y ^ {2}) ^ {2} - (2xy) ^ {2} = (x ^ {2} -2xy + 2y ^ {2}) (x ^ {2} + 2xy + 2 år ^ {2}).}$

Fullføringen av firkanten er også nyttig for beregning av visse integraler . Dermed for en integral av formen

{\ displaystyle I = \ int {\ frac {\ mathrm {d} x} {x ^ {2} + bx + c}}}

, omskrevet ,

{\ displaystyle I = \ int {\ frac {\ mathrm {d} x} {x ^ {2} + bx + b ^ {2} / 4-b ^ {2} / 4 + c}} = \ int { \ frac {\ mathrm {d} x} {(x ^ {2} + b / 2) ^ {2} -b ^ {2} / 4 + c}}}

vi kan gå tilbake, ved å posere , til former hvor vi kan beregne primitivene fra de vanlige funksjonene: ${\ displaystyle X = x + b / 2}$

{\ displaystyle \ int {\ frac {dX} {X ^ {2} + k ^ {2}}} = {\ frac {1} {k}} \ arctan \ left ({\ frac {X} {k} } \ høyre) + C \ qquad {\ text {eller}} \ qquad \ int {\ frac {dX} {X ^ {2} -k ^ {2}}} = {\ frac {1} {2k}} \ ln \ left | {\ frac {Xk} {X + k}} \ right | + C}

. <img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">