Erds formodning om aritmetiske fremskritt
I matematikk , nærmere bestemt i regne kombinatorikk , Erdős ' formodning på aritmetisk progresjon kan formuleres som følger.
La være en sekvens av strengt positive heltall; Hvis serien avviker, kan vi for ethvert positivt heltall trekke ut fra en aritmetisk sekvens av lengde .(xikke)ikke∈IKKE{\ displaystyle (x_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}
∑ikke≥01xikke{\ displaystyle \ sum _ {n \ geq 0} {\ frac {1} {x_ {n}}}}
IKKE{\ displaystyle N}
(xikke)ikke∈IKKE{\ displaystyle (x_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}
IKKE{\ displaystyle N}![IKKE](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3)
Den generaliserer Erdős-Turán-antagelsen som er løst (og kalles nå Szemerédi's teorem ).
Erdős har tilbudt en pris på $ 3000 for å bevise denne formodningen.
The Green-Tao teorem om aritmetiske sekvenser av primtall er et spesialtilfelle av dette formodning.
Historisk
I 1936 uttalte Erdős og Turán den svakere antagelsen om at ethvert sett av heltall med positiv asymptotisk tetthet inneholder et uendelig antall 3-sikt aritmetiske progresjoner. Det ble demonstrert av Klaus Roth i 1952, og generalisert til fremgang av vilkårlig lengde av Szemerédi i 1975, et resultat nå kjent som Szemerédi's teorem .
I et foredrag fra 1976 med tittelen “Til minne om min venn og livstids samarbeidspartner, Pál Turán,” tilbød Paul Erdős en pris på $ 3000 for bevis på denne formodningen; prisen økte deretter til $ 5000.
Fremgang og relaterte resultater
Erdis-antagelsen var et forsøk på å generalisere den tilsvarende antagelsen om sekvenser av primtall i aritmetisk progresjon ( serien med inverser av primtall er divergerende). Denne svakere formodningen ble i 2006 Green-Tao-setningen .
Den svakere formodningen ifølge hvilken sekvensen må inneholde en uendelig rekke av aritmetiske progresjoner av lengde 3 er nå demonstrert: det er en konsekvens av en forbedring av en av grensene til Roths teorem, oppnådd i 2020 av Bloom og Sisask (Bloom hadde allerede oppnådd en forbedring av denne terminalen i 2016, men fortsatt ikke tilstrekkelig til å bevise antagelsen).
(xikke){\ displaystyle (x_ {n})}![(x_ {n})](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/012f44968fa86fe5e3827e9957d957b08f2d9e42)
Bibliografi
- P. Erdős , “ Results and problems in number theory ”, Séminaire Delange-Pisot-Poitou (Theory of numbers) , nr . 2., Exp. Nr 24 (7 s.), 14 th året 1972/1973 ( lese på nettet )
- (en) P. Erdős , “Problems in number theory and combinatorics” , i Proc. Sjette Manitoba Conf. på Num. Matte. , koll. “Kongressnummer. "( Nr . 18),1977, s. 35-58
- (no) P. Erdős , “ Om de kombinatoriske problemene som jeg aller helst vil se løst ” , Combinatorica , vol. 1,nitten åtti en, s. 25-42 ( DOI 10.1007 / BF02579174 )
Merknader og referanser
-
(in) Béla Bollobás , " Å bevise og antar: Paul Erdős og hans matematikk " , Amer. Matte. Måned. , vol. 105, n o 3,Mars 1988, s. 233.
-
Paul Erdős og Paul Turán , “ On some sequences of integers ”, Journal of the London Mathematical Society , vol. 11, n o 4,1936, s. 261–264 ( DOI 10.1112 / jlms / s1-11.4.261 , les online ).
-
Problemer i tallteori og kombinatorikk , i Proceedings of the Sixth Manitoba Conference on Numerical Mathematics (Univ. Manitoba, Winnipeg, Man., 1976), Kongress. Nummer. XVIII, 35–58, Utilitas Math., Winnipeg, Man., 1977
-
s. 354, Soifer, Alexander (2008); Matematisk fargeleggingsbok: Matematikk for fargelegging og skaperens fargerike liv ; New York: Springer. ( ISBN 978-0-387-74640-1 )
-
En enkelt progresjon er nok, fordi vi deretter bruker resultatet på nytt til den avkortede sekvensen fra denne progresjonen
-
Thomas F. Bloom og Olof Sisask , “ Breaking den logaritmiske barriere i Roth teorem på aritmetisk progresjon ”, arxiv ,2020( arXiv 2007.03528 )
-
Thomas F. Bloom , “ En kvantitativ forbedring for Roths teorem om aritmetiske progresjoner ”, Journal of the London Mathematical Society , vol. 93, n o 3,2016, s. 643–663 ( DOI 10.1112 / jlms / jdw010 , matematiske anmeldelser 3509957 , arXiv 1405.5800 )
(fr) Denne artikkelen er delvis eller helt hentet fra den
engelske Wikipedia- artikkelen med tittelen
“ Erds gjetning om aritmetiske progresjoner ” ( se listen over forfattere ) .
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">