Hertz-kontakt
I maskinteknikk og tribologi er Hertz-kontakten en beskrivelse på grunn av Heinrich Rudolf Hertz (hvis navn også er assosiert med SI- frekvensenheten, hertz ), av spenningen i to elastiske gjenstander i kontakt. Beskrivelsen av Hertz-kontakten, innhentet i 1880 og utgitt i 1881, gjelder kontakt med to sfærer med forskjellige radier.
Generell
Hertz-kontakt refererer til lokaliserte påkjenninger som utvikler seg når to buede overflater kommer i kontakt og deformeres litt under påvirkning av påførte krefter. Graden av deformasjon avhenger av elastisiteten til materialet i kontakt, med andre ord, av dets elastiske modul. Hertz-kontaktteori gir spenningen i kontaktområdet som en funksjon av den påførte normale kraften, krumningsradiene til de to kroppene og deres elastisitetsmodul .
I bevegelige gir og lagre er disse kontaktkreftene sykliske. Over tid forårsaker de materialutmattelse og utseendet av sprekker under overflaten.
Hertz-kontaktteori danner grunnlaget for ligningene for å beregne den tillatte belastningen for lagre, gir og andre deler med to overflater i kontakt.
Viktige resultater
Vi presenterer først det essensielle i Hertz teori. Leseren som er interessert i nøyaktige komplette ligninger, finner dem i formen på slutten av artikkelen.
La oss ta den enkle situasjonen til en sfære og et plan (begrense hvor en av kulene har uendelig radius). Sfærens depresjon i det elastiske materialet øker med trykkraften påført, som i enhver situasjon med elastisitet. Men når det gjelder Hertz-kontakten, er to viktige resultater ikke trivielle og utgjør interessen til denne teorien.
Kontaktflate
Det første viktige resultatet er at kontaktflaten øker med depresjonen. Dette skyldes hovedsakelig geometrien: kontakten er i utgangspunktet punktlig, og den utvides når og når den synker. Når sfæren synker, er skjæringspunktet med startplanet en skive hvis radius a tilfredsstiller:
på2≃Rδ{\ displaystyle a ^ {2} \ simeq \ mathrm {R} \ delta}![{\ displaystyle a ^ {2} \ simeq \ mathrm {R} \ delta}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4177f3969fdf7136de795ba4ec0e9cbfcde413ea)
,
hvor er depresjonen og sfærens radius.
δ{\ displaystyle \ delta}
R{\ displaystyle \ mathrm {R}}![{\ displaystyle \ mathrm {R}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/804d35b45fa4cf4c6ce6406d97f28b483a766097)
Ikke-lineær respons
Det andre ikke-trivielle resultatet er at selv om materiens konstituerende lov er lineær ( Hookes lov ), er forholdet mellom den påførte kraften og sag ikke:
F{\ displaystyle \ mathrm {F}}
δ{\ displaystyle \ delta}![\ delta](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5321cfa797202b3e1f8620663ff43c4660ea03a)
F∝δ3/2{\ displaystyle \ mathrm {F} \ propto \ delta ^ {3/2}}![{\ displaystyle \ mathrm {F} \ propto \ delta ^ {3/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f6e8e58f44cf7f6ebad6462d19e10c8fe686eb5)
.
Den vesentlige årsaken er nettopp at arealet av kontaktflaten mellom sfæren og planet øker under depresjonen. Enhver beregning (se nedenfor), radiusen til kontaktsonen varierer som:
πpå2{\ displaystyle \ pi a ^ {2}}![{\ displaystyle \ pi a ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36c8012cda8f5bcfe65a014d760eb7b676ad3055)
på∝F1/3{\ displaystyle a \ propto \ mathrm {F} ^ {1/3}}![{\ displaystyle a \ propto \ mathrm {F} ^ {1/3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f23f861b2eab8263d0d60527744ce53730417bd)
.
Estimering av elastisk energi
Alle beregninger utføres i størrelsesorden, uten å ta hensyn til numeriske faktorer.
Materiell deformasjon
Når man synker med et radiuskontaktområde (med ), er deformasjonen i størrelsesorden:
δ{\ displaystyle \ delta}
på{\ displaystyle a}
på≪R{\ displaystyle a \ ll \ mathrm {R}}![{\ displaystyle a \ ll \ mathrm {R}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a00576923dc253d69919fb25c641c7e388f7bbd)
ε=δ/på{\ displaystyle \ varepsilon = \ delta / a}![{\ displaystyle \ varepsilon = \ delta / a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a91d32c6e422601ce6ea90e04c5b4e4b9040113d)
.
Området der deformasjonen av materialet er i størrelsesorden δ / a har et volum i størrelsesorden
V≈på3{\ displaystyle V \ approx a ^ {3}}![{\ displaystyle V \ approx a ^ {3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6c2a7a9862577c453d1af2a2c5c454faddc1393)
.
Elastisk energi
Den elastiske energien per volumenhet for en belastning skrives
ε{\ displaystyle \ varepsilon}![\ varepsilon](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a30c89172e5b88edbd45d3e2772c7f5e562e5173)
wel=12Eε2≃E(δpå)2{\ displaystyle w _ {\ mathrm {el}} = {\ frac {1} {2}} \ mathrm {E} \ varepsilon ^ {2} \ simeq \ mathrm {E} \ left ({\ frac {\ delta } {a}} \ right) ^ {2}}![{\ displaystyle w _ {\ mathrm {el}} = {\ frac {1} {2}} \ mathrm {E} \ varepsilon ^ {2} \ simeq \ mathrm {E} \ left ({\ frac {\ delta } {a}} \ right) ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/231f0d19e5f1b589bea77d4dc58153d80a5bac73)
.
hvor er Youngs modul av materialet.
E{\ displaystyle \ mathrm {E}}![{\ mathrm {E}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be1811407dea8b43727d28dbe8da7251985b03e8)
Den totale elastiske energien oppnås ved integrering. Her er størrelsesorden gitt av produktet av den maksimale tettheten av elastisk energi ganger det sterkt deformerte volumet:
Wel≃wel×V≃E(δpå)2på3≃Epåδ2{\ displaystyle \ mathrm {W_ {el}} \ simeq w _ {\ mathrm {el}} \ times \ mathrm {V} \ simeq \ mathrm {E} \ left ({\ frac {\ delta} {a}} \ høyre) ^ {2} a ^ {3} \ simeq \ mathrm {E} a \ delta ^ {2}}![{\ displaystyle \ mathrm {W_ {el}} \ simeq w _ {\ mathrm {el}} \ times \ mathrm {V} \ simeq \ mathrm {E} \ left ({\ frac {\ delta} {a}} \ høyre) ^ {2} a ^ {3} \ simeq \ mathrm {E} a \ delta ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb43f88677930c0245ef1717dcd20e69f611d96b)
.
Ved å kombinere med den geometriske relasjonen oppnår man:
på2≃Rδ{\ displaystyle a ^ {2} \ simeq \ mathrm {R} \ delta}![{\ displaystyle a ^ {2} \ simeq \ mathrm {R} \ delta}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4177f3969fdf7136de795ba4ec0e9cbfcde413ea)
Wel≃Epåδ2=Epå5R2=ER1/2δ5/2{\ displaystyle \ mathrm {W_ {el}} \ simeq \ mathrm {E} a \ delta ^ {2} = \ mathrm {E} {\ frac {a ^ {5}} {\ mathrm {R} ^ {2 }}} = \ mathrm {E} \ mathrm {R} ^ {1/2} \ delta ^ {5/2}}![{\ displaystyle \ mathrm {W_ {el}} \ simeq \ mathrm {E} a \ delta ^ {2} = \ mathrm {E} {\ frac {a ^ {5}} {\ mathrm {R} ^ {2 }}} = \ mathrm {E} \ mathrm {R} ^ {1/2} \ delta ^ {5/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2060112f4310b178043f358a4c0ce772b269c266)
.
Estimering av kraft, sag og størrelse på kontaktområdet
Også her blir alle beregninger utført i størrelsesorden, uten å ta hensyn til numeriske faktorer.
Kraft oppnås fra energi ved å drive med hensyn til forskyvning (se artikkelen Arbeid av en kraft ):
Wel{\ displaystyle W_ {el}}
δ{\ displaystyle \ delta}![\ delta](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5321cfa797202b3e1f8620663ff43c4660ea03a)
F≃ER1/2δ3/2{\ displaystyle \ mathrm {F} \ simeq \ mathrm {E} \ mathrm {R} ^ {1/2} \ delta ^ {3/2}}![{\ displaystyle \ mathrm {F} \ simeq \ mathrm {E} \ mathrm {R} ^ {1/2} \ delta ^ {3/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a26dba406f57bd1a333f094475fbeb49e6017090)
.
Omvendt er depresjonen skrevet:
δ≃(F2E2R)1/3{\ displaystyle \ delta \ simeq \ left ({\ frac {\ mathrm {F} ^ {2}} {\ mathrm {E} ^ {2} \ mathrm {R}}} \ right) ^ {1/3} }![{\ displaystyle \ delta \ simeq \ left ({\ frac {\ mathrm {F} ^ {2}} {\ mathrm {E} ^ {2} \ mathrm {R}}} \ right) ^ {1/3} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/445308fbdeac7312162d67f6801fdc659f93095e)
.
Ved å bruke den geometriske relasjonen oppnår man størrelsen på kontaktsonen:
på2≃Rδ{\ displaystyle a ^ {2} \ simeq \ mathrm {R} \ delta}![{\ displaystyle a ^ {2} \ simeq \ mathrm {R} \ delta}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4177f3969fdf7136de795ba4ec0e9cbfcde413ea)
på≃(FRE)1/3{\ displaystyle a \ simeq \ left ({\ frac {\ mathrm {F} \ mathrm {R}} {\ mathrm {E}}} \ right) ^ {1/3}}![{\ displaystyle a \ simeq \ left ({\ frac {\ mathrm {F} \ mathrm {R}} {\ mathrm {E}}} \ right) ^ {1/3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88c98627f1a08c620500f24ff8b1eeacbff7a2b1)
.
Fullt resultat
Den komplette beregningen gir:
F=4på3E⋆3R{\ displaystyle \ mathrm {F} = {\ frac {4a ^ {3} \ mathrm {E} ^ {\ star}} {3 \ mathrm {R}}}}![{\ displaystyle \ mathrm {F} = {\ frac {4a ^ {3} \ mathrm {E} ^ {\ star}} {3 \ mathrm {R}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abbb223fc9e43f4ddaf8b5b4b26cc729ea832ccc)
hvor blir Youngs modul renormalisert av Poissons forhold ν :
E∗{\ displaystyle \ mathrm {E} ^ {*}}
E⋆=E1-ν2{\ displaystyle \ mathrm {E} ^ {\ star} = {\ frac {\ mathrm {E}} {1- \ nu ^ {2}}}}![{\ displaystyle \ mathrm {E} ^ {\ star} = {\ frac {\ mathrm {E}} {1- \ nu ^ {2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/793b03a44cd3d35e5acea1634df51d86af8df502)
.
Skisse av den komplette beregningen for en kule og et plan
Trykkprofilen som utøves mellom de to objektene i kontaktskiven er vist skjematisk i figuren: den er maksimal i midten av kontakten og avtar når man beveger seg bort fra sentrum, til den blir kansellert ved kanten av kontakten. . I dette avsnittet indikerer vi hovedlinjene i beregningen som gjør det mulig å oppnå den nøyaktige trykkprofilen så vel som den eksakte avbøyningen av den opprinnelige plane overflaten.
Kobling mellom en trykkprofil og en avbøyningsprofil
En punktkraft som utøves på overflaten av planet (antatt vannrett for å fikse ideer) gir opphav til en veldig dyp vertikal avbøyning (uendelig, i prinsippet) på kraftens påføringspunkt. Denne nedbøyningen avtar når man beveger seg bort (horisontal avstand ) fra påføringspunktet. Denne vertikale nedbøyningen ble beskrevet av Joseph Boussinesq som:
r{\ displaystyle r}
u(r){\ displaystyle u (r)}![{\ displaystyle u (r)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7ee08e4212a61ad9d8915ae7082df4f50d46bd0)
u(r)=FπE⋆r{\ displaystyle u (r) = {\ frac {\ mathrm {F}} {\ pi \ mathrm {E} ^ {\ star} r}}}![{\ displaystyle u (r) = {\ frac {\ mathrm {F}} {\ pi \ mathrm {E} ^ {\ star} r}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89b033356c3e767b06320837463ba9175c5b7834)
.
I virkeligheten fordeles den totale kraften F over en bestemt overflate, i form av et trykk som avhenger av posisjonen i kontaktflaten. Derfor bidrar hvert trykkelement til avbøyningen . Således, ved et hvilket som helst punkt i planet (ikke nødvendigvis inne i kontakt), nedbøyningen er summen av bidragene fra alle trykkelementer som befinner seg i kontaktflaten, via forholdet mellom Boussinesq sitert ovenfor:
s(X→){\ displaystyle p ({\ vec {\ mathrm {X}}})}
X→{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {X}}}}
u{\ displaystyle u}
x→{\ displaystyle {\ vec {x}}}
u(x→){\ displaystyle u ({\ vec {x}})}![{\ displaystyle u ({\ vec {x}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d69c8edf334f7bdc43f1a3ac7317120e09bc3e4e)
u(x→)=∫∫s(X→)πE⋆rd2X→{\ displaystyle u ({\ vec {x}}) = \ int \! \! \! \ int {\ frac {p ({\ vec {\ mathrm {X}}})} {\ pi \ mathrm {E } ^ {\ star} r}} {\ rm {d}} ^ {2} {\ vec {\ mathrm {X}}}}![{\ displaystyle u ({\ vec {x}}) = \ int \! \! \! \ int {\ frac {p ({\ vec {\ mathrm {X}}})} {\ pi \ mathrm {E } ^ {\ star} r}} {\ rm {d}} ^ {2} {\ vec {\ mathrm {X}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7e473767deb48c8645293459a583ddfdf1a3d00)
,
hvor er avstanden mellom påføringspunktet for trykkelementet og det punktet hvor avbøyningen observeres.
r=‖x→-X→‖{\ displaystyle r = \ | {\ vec {x}} - {\ vec {\ mathrm {X}}} \ |}
X→{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {X}}}}
x→{\ displaystyle {\ vec {x}}}![\ vec {x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db2dc6ced9cc3bc7e8b9f2707cbec033f6d3759c)
Merk
i matematiske termer utgjør integrasjonen som er utført for å oppnå avbøyningsprofilen det som kalles
konvolusjon av trykkprofilen og Boussinesq-responsen til en punktkraft.
u(x→){\ displaystyle u ({\ vec {x}})}
s(X→){\ displaystyle p ({\ vec {\ mathrm {X}}})}
u(r){\ displaystyle u (r)}
Hertz-profil
Boussinesqs svar var kjent, Hertz arbeidet besto i å oppdage den riktige trykkprofilen for å oppnå en avbøyningsprofil som sammenfaller i kontaktsonen, sirkulær og radius , med profilen til sfæren med senket radius d 'en avstand , det vil si:
u(r){\ displaystyle u (r)}
på{\ displaystyle a}
R{\ displaystyle R}
δ{\ displaystyle \ delta}![\ delta](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5321cfa797202b3e1f8620663ff43c4660ea03a)
u(r)=δ-r22R{\ displaystyle u (r) = \ delta - {\ frac {r ^ {2}} {2 \ mathrm {R}}}}![{\ displaystyle u (r) = \ delta - {\ frac {r ^ {2}} {2 \ mathrm {R}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7615f95b07baa19ea8a82783492d565cf8dbc969)
, for .
r<på{\ displaystyle r <a}![{\ displaystyle r <a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/190fae834f5fc2306b21859f21d137bc6eede32f)
Siden hele systemet er symmetrisk rundt den vertikale aksen som går gjennom midten av sfæren, er trykkprofilen aksessymmetrisk, og vi betegner det derfor nå . Hertz har vist at denne trykkprofilen er skrevet:
s(r){\ displaystyle p (r)}![{\ displaystyle p (r)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62a0b6c3f80917fa2e46f00b9bcf4a71b37bbec3)
s(r)=s01-r2på2{\ displaystyle p (r) = p_ {0} {\ sqrt {1 - {\ frac {r ^ {2}} {a ^ {2}}}}}![{\ displaystyle p (r) = p_ {0} {\ sqrt {1 - {\ frac {r ^ {2}} {a ^ {2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfe665aa1d4fb514ad47036e525751539ae867fb)
,
med
-
på=Rδ{\ displaystyle a = {\ sqrt {R \ delta}}}
og
-
s0=2E⋆δπpå=2påE⋆πR=2E⋆πδR{\ displaystyle p_ {0} = {\ frac {2 \ mathrm {E} ^ {\ star} \ delta} {\ pi a}} = {\ frac {2a \ mathrm {E} ^ {\ star}} { \ pi \ mathrm {R}}} = {\ frac {2 \ mathrm {E} ^ {\ star}} {\ pi}} \, {\ sqrt {\ frac {\ delta} {\ mathrm {R}} }}}
.
Merk
Avbøyningsprofilen utenfor kontaktsonen kobles til det udeformerte horisontale planet når avstanden fra sentrum har en tendens til uendelig:
u=0{\ displaystyle u = 0}
r{\ displaystyle r}
u(r)=1πR[(2på2-r2)bueskinn(pår)+pår2-på2]{\ displaystyle u (r) = {\ frac {1} {\ pi \ mathrm {R}}} \ left [(2a ^ {2} -r ^ {2}) \ arcsin \ left ({\ frac {a } {r}} \ right) + a {\ sqrt {r ^ {2} -a ^ {2}}} \ right]}![{\ displaystyle u (r) = {\ frac {1} {\ pi \ mathrm {R}}} \ left [(2a ^ {2} -r ^ {2}) \ arcsin \ left ({\ frac {a } {r}} \ right) + a {\ sqrt {r ^ {2} -a ^ {2}}} \ right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89de1f8182b5dc475c4ae5c61bed883bbcaa52f6)
, for .
r>på{\ displaystyle r> a}
Kraft utøvd
Den således utøvde kraften er ingen ringere enn integralen av trykkprofilen:
F=∫s(r)2πrdr=4E⋆påδ3=4E⋆på33R=4E⋆R1/2δ3/23{\ displaystyle \ mathrm {F} = \ int p (r) 2 \ pi r {\ rm {d}} r = {\ frac {4 \ mathrm {E} ^ {\ star} a \ delta} {3} } = {\ frac {4 \ mathrm {E} ^ {\ star} a ^ {3}} {3 \ mathrm {R}}} = {\ frac {4 \ mathrm {E} ^ {\ star} \ mathrm {R} ^ {1/2} \ delta ^ {3/2}} {3}}}![{\ displaystyle \ mathrm {F} = \ int p (r) 2 \ pi r {\ rm {d}} r = {\ frac {4 \ mathrm {E} ^ {\ star} a \ delta} {3} } = {\ frac {4 \ mathrm {E} ^ {\ star} a ^ {3}} {3 \ mathrm {R}}} = {\ frac {4 \ mathrm {E} ^ {\ star} \ mathrm {R} ^ {1/2} \ delta ^ {3/2}} {3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6d7d2e3f57b255f9d99ac9faaf5721b3ec1adfd)
.
Skjema
Kontakt mellom to kuler
La være to kuler merket 1 og 2, av respektive radier og , og av materialer hvis respektive Youngs moduler er og og Poisson-koeffisientene og .
r1{\ displaystyle r_ {1}}
r2{\ displaystyle r_ {2}}
E1{\ displaystyle E_ {1}}
E2{\ displaystyle E_ {2}}
ν1{\ displaystyle \ nu _ {1}}
ν2{\ displaystyle \ nu _ {2}}![{\ displaystyle \ nu _ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20157e640b69bcfc79a73194f1e80dbb456ab254)
Kontaktsonen er en plate med radius a :
på=(3F41E1⋆+1E2⋆1r1+1r2)1/3{\ displaystyle a = \ left ({\ frac {3 \ mathrm {F}} {4}} {\ frac {{\ frac {1} {\ mathrm {E} _ {1} ^ {\ star}}} + {\ frac {1} {\ mathrm {E} _ {2} ^ {\ star}}}} {{\ frac {1} {r_ {1}}} + {\ frac {1} {r_ {2 }}}}} \ høyre) ^ {1/3}}![{\ displaystyle a = \ left ({\ frac {3 \ mathrm {F}} {4}} {\ frac {{\ frac {1} {\ mathrm {E} _ {1} ^ {\ star}}} + {\ frac {1} {\ mathrm {E} _ {2} ^ {\ star}}}} {{\ frac {1} {r_ {1}}} + {\ frac {1} {r_ {2 }}}}} \ høyre) ^ {1/3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f04e735ec86f4a582d8ddf5b67d768ed9ec63d61)
hvor er Youngs modul renormalisert av Poissons forhold :
EJeg∗{\ displaystyle E_ {i} ^ {*}}
νJeg{\ displaystyle \ nu _ {i}}![\ nu _ {{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcb0577728049599bceabd5ed148f426e9d44308)
EJeg⋆=EJeg1-νJeg2{\ displaystyle \ mathrm {E} _ {i} ^ {\ star} = {\ frac {\ mathrm {E} _ {i}} {1- \ nu _ {i} ^ {2}}}}![{\ displaystyle \ mathrm {E} _ {i} ^ {\ star} = {\ frac {\ mathrm {E} _ {i}} {1- \ nu _ {i} ^ {2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69e317cf1c239f57d4f45ea9afa669f6bc41389c)
.
Knusing av kulene er verdt:
δ{\ displaystyle \ delta}![\ delta](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5321cfa797202b3e1f8620663ff43c4660ea03a)
δ=(9/16)1/3(F2(1E1⋆+1E2⋆)2(1r1+1r2))1/3{\ displaystyle \ delta = \ left ({9/16} \ right) ^ {1/3} \ left (\ mathrm {F} ^ {2} \ left ({\ frac {1} {\ mathrm {E} _ {1} ^ {\ star}}} + {\ frac {1} {\ mathrm {E} _ {2} ^ {\ star}}} \ right) ^ {2} \ left ({\ frac {1 } {r_ {1}}} + {\ frac {1} {r_ {2}}} \ høyre) \ høyre) ^ {1/3}}![{\ displaystyle \ delta = \ left ({9/16} \ right) ^ {1/3} \ left (\ mathrm {F} ^ {2} \ left ({\ frac {1} {\ mathrm {E} _ {1} ^ {\ star}}} + {\ frac {1} {\ mathrm {E} _ {2} ^ {\ star}}} \ right) ^ {2} \ left ({\ frac {1 } {r_ {1}}} + {\ frac {1} {r_ {2}}} \ høyre) \ høyre) ^ {1/3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/516d8864f78480f253fed58c15d99070c5bed680)
.
Maksimalt trykk er midt i sonen og er lik
smaks=3F2πpå2{\ displaystyle p _ {\ max} = {\ frac {3 \ mathrm {F}} {2 \ pi a ^ {2}}}}![{\ displaystyle p _ {\ max} = {\ frac {3 \ mathrm {F}} {2 \ pi a ^ {2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6d5f0104fa83c9336042df4859ff0d5dcd825e0)
.
La oss kalle aksen normal til kontaktplanet, hvis opprinnelse er mellom kulene. Langs denne aksen varierer hovedspenningene med dybden og er lik:
z{\ displaystyle z}![z](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98)
σXJeg=σYJeg=-smaks((1-zpåarctan(1z/på))(1+νJeg)-12(1+(z/på)2)){\ displaystyle \ sigma _ {\ mathrm {X} i} = \ sigma _ {\ mathrm {Y} i} = - p _ {\ max} \ left (\ left (1 - {\ frac {z} {a }} \ arctan \ left ({\ frac {1} {z / a}} \ right) \ right) (1+ \ nu _ {i}) - {\ frac {1} {2 \ left (1+ ( z / a) ^ {2} \ right)}} \ right)}
σZ=-smaks1+(z/på)2{\ displaystyle \ sigma _ {\ mathrm {Z}} = {\ frac {-p _ {\ max}} {1+ (z / a) ^ {2}}}}![{\ displaystyle \ sigma _ {\ mathrm {Z}} = {\ frac {-p _ {\ max}} {1+ (z / a) ^ {2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ded4c982c267e7b844ace6a16f1dc0ab716dc135)
, identisk for begge kuler.
Maksimal skjærspenning er
τZX=τYZ=σX-σZ2=σY-σZ2{\ displaystyle \ tau _ {\ mathrm {ZX}} = \ tau _ {\ mathrm {YZ}} = {\ frac {\ sigma _ {\ mathrm {X}} - \ sigma _ {\ mathrm {Z}} } {2}} = {\ frac {\ sigma _ {\ mathrm {Y}} - \ sigma _ {\ mathrm {Z}}} {2}}}![{\ displaystyle \ tau _ {\ mathrm {ZX}} = \ tau _ {\ mathrm {YZ}} = {\ frac {\ sigma _ {\ mathrm {X}} - \ sigma _ {\ mathrm {Z}} } {2}} = {\ frac {\ sigma _ {\ mathrm {Y}} - \ sigma _ {\ mathrm {Z}}} {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c898c3c89eefe144fe9f0474d946f097dfe8904)
.
Den maksimale verdien er omtrent
τmaks≃smaks2{\ displaystyle \ tau _ {\ max} \ simeq {\ frac {p _ {\ max}} {2}}}![{\ displaystyle \ tau _ {\ max} \ simeq {\ frac {p _ {\ max}} {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bfea1f242b84b1ecccd5edfe5ea3f5a845f41e8)
og er plassert under overflaten, for en dimensjon
z≈0,5på{\ displaystyle z \ ca 0,5a}![{\ displaystyle z \ ca 0,5a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7415502c093f359ca2f4a07b539ee7c87cd4178)
.
Det er i dette området tretthet vanligvis begynner .
Merk
For en sfære / flykontakt er det tilstrekkelig å ta , det vil si . For en kulekontakt i en konkav hette er det nok å ta .
r2=+∞{\ displaystyle r_ {2} = + \ infty}
1/r2=0{\ displaystyle 1 / r_ {2} = 0}
r2<0{\ displaystyle r_ {2} <0}
Kontakt mellom to sylindere med parallelle akser
Notasjoner som ligner på den forrige saken brukes.
La være to sylindere merket 1 og 2, av samme lengde , med respektive diametre og , og av materialer hvis respektive Youngs moduler er og og Poissons koeffisienter og . Kontaktnormalen er aksen og sylinderenes akser er parallelle med aksen .
r1{\ displaystyle r_ {1}}
d1{\ displaystyle d_ {1}}
d2{\ displaystyle d_ {2}}
E1{\ displaystyle E_ {1}}
E2{\ displaystyle E_ {2}}
ν1{\ displaystyle \ nu _ {1}}
ν2{\ displaystyle \ nu _ {2}}
z{\ displaystyle z}
y{\ displaystyle y}![y](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d)
Kontaktområdet er et rektangel med lengde og bredde :
L{\ displaystyle L}
2b{\ displaystyle 2b}![2b](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3da45af0250645a54cab2ef45483c4399e4a40df)
b=(2FπL1E1⋆+1E2⋆1d1+1d2)1/2{\ displaystyle b = \ left ({\ frac {2 \ mathrm {F}} {\ pi \ mathrm {L}}} {\ frac {{\ frac {1} {\ mathrm {E} _ {1} ^ {\ star}}} + {\ frac {1} {\ mathrm {E} _ {2} ^ {\ star}}}} {{\ frac {1} {d_ {1}}} + {\ frac { 1} {d_ {2}}}} \ høyre) ^ {1/2}}![{\ displaystyle b = \ left ({\ frac {2 \ mathrm {F}} {\ pi \ mathrm {L}}} {\ frac {{\ frac {1} {\ mathrm {E} _ {1} ^ {\ star}}} + {\ frac {1} {\ mathrm {E} _ {2} ^ {\ star}}}} {{\ frac {1} {d_ {1}}} + {\ frac { 1} {d_ {2}}}} \ høyre) ^ {1/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4eb2de03a174d47136472700cc4b6498b6dcf9db)
.
Maksimalt trykk er på linjen parallelt med sylinderenes akser og ligger midt i sonen og er lik
smaks=2FπbL{\ displaystyle p _ {\ max} = {\ frac {2 \ mathrm {F}} {\ pi b \ mathrm {L}}}}![{\ displaystyle p _ {\ max} = {\ frac {2 \ mathrm {F}} {\ pi b \ mathrm {L}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18935223a5f6e7e23bd59e2284da2e42031af4b3)
.
De viktigste påkjenningene langs en normal passering av denne linjen er verdt:
σX=-smaks((2-11+(z/b)2)1+(z/b)2-2z/b){\ displaystyle \ sigma _ {\ mathrm {X}} = - p _ {\ max} \ left (\ left (2 - {\ frac {1} {1+ (z / b) ^ {2}}} \ høyre) {\ sqrt {1+ (z / b) ^ {2}}} - 2z / b \ right)}![{\ displaystyle \ sigma _ {\ mathrm {X}} = - p _ {\ max} \ left (\ left (2 - {\ frac {1} {1+ (z / b) ^ {2}}} \ høyre) {\ sqrt {1+ (z / b) ^ {2}}} - 2z / b \ right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7146ce0ccc448bf141fda7a77b4768bcec8cb45)
, identisk for begge sylindere
σYJeg=-2νJegsmaks(1+(z/b)2-z/b){\ displaystyle \ sigma _ {\ mathrm {Y} i} = - 2 \ nu _ {i} p _ {\ max} \ left ({\ sqrt {1+ (z / b) ^ {2}}} - z / b \ høyre)}
σZ=-smaks1+(z/b)2{\ displaystyle \ sigma _ {\ mathrm {Z}} = {\ frac {-p _ {\ max}} {\ sqrt {1+ (z / b) ^ {2}}}}}![{\ displaystyle \ sigma _ {\ mathrm {Z}} = {\ frac {-p _ {\ max}} {\ sqrt {1+ (z / b) ^ {2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fcf1793312e3baa50e8770784902ba88a0e4e2d)
, identisk for begge sylindere.
Maksimal skjærspenning er τ ZX , dens maksimale verdi er omtrent
τmpåx≈0,3×smpåx{\ displaystyle \ tau _ {max} \ ca. 0,3 \ ganger p_ {max}}![{\ displaystyle \ tau _ {max} \ ca. 0,3 \ ganger p_ {max}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f546629df5444d473824094227362b9c50b44cf8)
og er plassert under overflaten, for en dimensjon
z≈0,78b{\ displaystyle z \ ca 0.78b}![{\ displaystyle z \ ca 0.78b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8eebd908fbdf10d55f19a032633b6d7aad9a7fc)
.Merk
For en sylinder / flykontakt er det nok å ta . For en sylinderkontakt i en hul sylinder (for eksempel glidelager), er det nok å ta .
d2=+∞{\ displaystyle d_ {2} = + \ infty}
d2<0{\ displaystyle d_ {2} <0}
Merknader og referanser
-
(in) KL Johnson, kontaktmekanikk , Cambridge University Press,1985, 452 s. ( ISBN 9780521347969 ) , s. 90
-
(De) Heinrich Hertz, “ Über die Berührung fester elastischer Körper (On the contact between elastic organs) ” , J. für Reine und angewandte Mathematik , vol. 92,1881, s. 156-171 ( les online )
-
For å kontekstualisere dette bemerkelsesverdige arbeidet for en student på bare 23 år, la oss imidlertid merke at Joseph Boussinesq to år tidligere hadde publisert løsningen på flere spesielle tilfeller av dette problemet, løsninger tatt opp i hans teori om potensialer.
Se også
Programvare
Relaterte artikler
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">