Hovedbegrensning

I materialvitenskap , og spesielt i mekanikk for kontinuerlig media og materialmotstand , er hovedspenningene (σ I , σ II , σ III ) spenningene uttrykt på et grunnlag slik at spenningstensoren er en diagonal matrise . Denne basen er ortonormal (se symmetrisk matrise, § spektral nedbrytning ).

Forklaring

Spenningstilstanden til et materieelement kan representeres av en tensor, stress-tensoren. I en gitt rombase er denne tensoren representert med en 3 × 3 matrise : $({\ vec {x}}, {\ vec {y}}, {\ vec {z}})$

{\ displaystyle {\ understreke {\ mathrm {T}}} = {\ begynn {pmatrix} \ sigma _ {11} & \ sigma _ {12} & \ sigma _ {13} \\\ sigma _ {21} & \ sigma _ {22} & \ sigma _ {23} \\\ sigma _ {31} & \ sigma _ {32} & \ sigma _ {33} \\\ end {pmatrix}}}

Hvis spenningstensoren beskriver en tilstand ved likevekt, er matrisen symmetrisk ; det er dessuten med reelle koeffisienter .

I henhold til den endelige dimensjonale spektralsetningen er denne matrisen diagonaliserbar ; det eksisterer et ortonormalt grunnlag som denne matrisen er en diagonal matrise for : $({\ vec {x}} _ {{\ mathrm {I}}}, {\ vec {x}} _ {{\ mathrm {II}}}, {\ vec {x}} _ {{\ mathrm { III}}})$

{\ displaystyle {\ understreke {\ mathrm {T}}} = {\ begin {pmatrix} \ sigma _ {\ mathrm {I}} & 0 & 0 \\ 0 & \ sigma _ {\ mathrm {II}} & 0 \\ 0 & 0 & \ sigma _ {\ mathrm {III}} \\\ end {pmatrix}}}

Retningene kalles hovedretninger . $({\ vec {x}} _ {{\ mathrm {I}}}, {\ vec {x}} _ {{\ mathrm {II}}}, {\ vec {x}} _ {{\ mathrm { III}}})$

Etter konvensjon tar vi σ I ≥ σ II ≥ σ III .

Spenningen σ I tilsvarer den maksimale strekkspenningen. Hvis σ III <0, tilsvarer σ III det maksimale trykkbelastningen. Maksimal skjærspenning, som beholdes for Tresca-kriteriet , tilsvarer

{\ displaystyle \ tau _ {\ max} = {\ frac {1} {2}} (\ sigma _ {\ mathrm {I}} - \ sigma _ {\ mathrm {III}})}

Hvis vi ikke innfører en ordre med avtagende begrensninger, da

{\ displaystyle \ tau _ {\ max} = {\ frac {1} {2}} \ max \ left \ {| \ sigma _ {\ mathrm {I}} - \ sigma _ {\ mathrm {II}} | ; | \ sigma _ {\ mathrm {II}} - \ sigma _ {\ mathrm {III}} |; | \ sigma _ {\ mathrm {III}} - \ sigma _ {\ mathrm {I}} | \ right \}}

De nåværende linjene til hovedspenningene, det vil si kurvene som er tangent til hovedspenningsvektorene når som helst, kalles isostatiske linjer . De gjør det mulig å visualisere hvordan de interne kreftene fordeler seg i materialet.

Resultat - Maksimal hovedspenning tilsvarer maksimal strekkbelastning.

Hvis minimum hovedspenning er negativ, tilsvarer det maksimal trykkspenning.

Maksimal skjærspenning er verdt:

{\ displaystyle \ tau _ {\ max} = {\ frac {1} {2}} \ max \ left \ {| \ sigma _ {\ mathrm {I}} - \ sigma _ {\ mathrm {II}} | ; | \ sigma _ {\ mathrm {II}} - \ sigma _ {\ mathrm {III}} |; | \ sigma _ {\ mathrm {III}} - \ sigma _ {\ mathrm {I}} | \ right \}}

Dette er viktig når vi vil studere risikoen for brudd. Bruken av en ekvivalent skalar stress som von Mises stress eller Tresca stress indikerer ikke om et område er utsatt for spenning, kompresjon og / eller skjæring. Imidlertid er en kompresjonstype mindre farlig fordi den har en tendens til å lukke sprekker .

Besluttsomhet

Vi kan bestemme hovedretningene og stressene:

takket være Mohr-kretsen ;
ved de algebraiske metodene , ved å legge merke til at hovedspenningene er egenverdiene til tensoren, og hovedretningene, dens egenvektorer .

Egenverdiene λ bekrefter ligningen

det (T - λI) = 0

hvor T er stress-tensoren og jeg identitetsmatrisen. Vi kan omskrive denne ligningen med invarianter av stress tensor :

λ 3 - I 1 λ 2 + I 2 λ - I 3 = 0.

Vi pålegger σ I > σ II > σ III .

Merk at vi per definisjon av roten til et polynom har

(λ - σ I ) (λ - σ II ) (λ - σ III ) = 0

Octahedral begrensninger

Tenk på en kube hvis ansikter er normale i hovedretningene. Spenningene σ I , σ II og σ III er normale spenninger for ansiktene til denne kuben; tangensialspenningene er null.

Tenk nå på oktaederet hvis hjørner er sentrum for kubenes ansikter. For hvert ansikt har vi:

et normalt stress σ okt ;
en tangensiell begrensning τ okt .

Disse begrensningene kalles oktaedriske begrensninger .

De normale og tangensielle belastningene på åttekantene på åttekantet er identiske og er verdt:

{\ displaystyle \ sigma _ {\ mathrm {oct}} = {\ frac {1} {3}} (\ sigma _ {\ mathrm {I}} + \ sigma _ {\ mathrm {II}} + \ sigma _ {\ mathrm {III}})}

;

{\ displaystyle \ tau _ {\ mathrm {oct}} = {\ frac {1} {3}} \ left ((\ sigma _ {\ mathrm {I}} - \ sigma _ {\ mathrm {II}}) ^ {2} + (\ sigma _ {\ mathrm {II}} - \ sigma _ {\ mathrm {III}}) ^ {2} + (\ sigma _ {\ mathrm {III}} - \ sigma _ {\ mathrm {I}}) ^ {2} \ right) ^ {1/2}}

Merk at sammenlignet med det isostatiske trykket P og ekvivalent von Mises stress σ e , har vi:

{\ displaystyle \ sigma _ {\ mathrm {oct}} = \ mathrm {P}}

;

{\ displaystyle \ tau _ {\ mathrm {oct}} = {\ frac {\ sqrt {2}} {3}} \ sigma _ {\ mathrm {e}}}

Begrepet "oktaedrisk normal stress" brukes noen ganger synonymt med "isostatisk trykk".

Normal oktaedronstress σ okt har en tendens til å variere volumet på oktaederet uten å vride det (uten å variere vinklene). Omvendt har oktaedrisk splittelse en tendens til å forvride oktaederet uten å variere volumet; derfor finner vi logisk sett et forhold til von Mises-begrensningen.

Spesielle tilfeller

Uniaxial stress state

Ved uniaxial stress er to av hovedspenningene null. Vi velger etter konvensjon σ I ≠ 0; x I er spenningsaksen, vi har | σ I | = F / S (nominell spenning), σ II = σ III = 0. Tensoren til hovedspenningene blir således skrevet

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ sigma _ {\ mathrm {I}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\\ end {pmatrix}}}

Ved unikial komprimering har vi σ I <0, derfor σ I <σ II og σ I <σ III i motsetning til den opprinnelige konvensjonen. Vi har i alle tilfeller τ max = ½ | σ I |.

Status for flyspenninger

Når det gjelder flyspenninger, er en av hovedspenningene null. Vi velger vilkårlig σ III = 0; vi kan da ha σ II <0 derfor σ II <σ III , i motsetning til forrige konvensjon. I alle tilfeller har vi τ max = ½ | σ I - σ II |.

Tensoren til hovedspenningene blir således skrevet

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ sigma _ {\ mathrm {I}} & 0 & 0 \\ 0 & \ sigma _ {\ mathrm {II}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\\ end {pmatrix}}}

Rent isostatisk trykk

I tilfelle av et isostatisk trykk P har vi σ I = σ II = σ III = P. Tensoren til hovedspenningene er skrevet

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ mathrm {P} & 0 & 0 \\ 0 & \ mathrm {P} & 0 \\ 0 & 0 & \ mathrm {P} \\\ end {pmatrix}}}

og τ max = 0.

bruk

I denne databasen kommer lovene til uttrykk på en enklere måte. Spesielt gjør de viktigste påkjenningene det mulig å etablere kriteriet plastisitet eller ruin , for eksempel ved å vurdere maksimal spaltning ( kriterium Tresca ). Kunnskap om hovedretningene tillater

vite hvordan du skal orientere en strekkmåler ;
forutsi progresjon av sprekker; spesielt i utmattelse : i metaller vises mikrosprekker i det maksimale spaltningsplanet (trinn I), deretter opprettes en sprekk og forplanter seg i det maksimale spenningsplanet (trinn II).

Merknader og referanser

Fanchon 2001 , s. 437
Fanchon 2001 , s. 438-440
Fanchon 2001 , s. 441-442

Bibliografi

[Fanchon 2001] Jean-Louis Fanchon , Guide to Mechanics: Industrial Sciences and Technologies , Nathan ,2001, 543 s. ( ISBN 978-2-09-178965-1 )

Se også

Relaterte artikler