Differensiell kropp

Begrepet differensialfelt gjør det mulig å formalisere forestillingen om avledning av funksjoner , for å bygge en differensiell Galois-teori . Et differensiallegeme er et spesielt tilfelle av en differensialring (en) .

Definisjon

Et differensialfelt er dataene til et felt K og en avledning på K , det vil si om en applikasjon som verifiserer: $\ delvis$

$\ forall y_ {1}, y_ {2} \ i K, \ partial (y_ {1} + y_ {2}) = \ partial (y_ {1}) + \ partial (y_ {2})$
$\ forall y_ {1}, y_ {2} \ i K, \ partial (y_ {1} y_ {2}) = \ partial (y_ {1}) y_ {2} + y_ {1} \ partial (y_ { 2})$ ( Leibniz formel )

Eksempler

Ethvert organ kan få null-avledningen. I dette tilfellet forventes teorien om differensielle legemer å falle sammen med teorien om legemer .
Det paradigmatiske eksemplet er ℂ ( t ), feltet for rasjonelle fraksjoner , forsynt med den vanlige avledningen (den som utvider avledningen av polynomer ).
Dette eksemplet kan avvises i mer komplekse versjoner:
- Feltet ℂ (( t )) i Laurents formelle serie forsynes med den vanlige avledningen (den som utvider avledningen av formelle serier)
- Feltet ℂ ({ t }) av frø av meromorfe funksjoner i nærheten av 0 forsynt med avledningen indusert av avledningen av holomorfe funksjoner . Dette feltet kan også sees på som feltet av brøkdelene av ringen integrerer ℂ { t } formelle serier med koeffisienter i ℂ som har en ikke-null konvergensradius .
- Differensialfeltet K〈y〉 er per definisjon feltet K〈y 0 , y 1 , y 2 , ...〉 av rasjonelle brøker med en uendelig ( tellbar ) ubestemte, forsynt med avledningen definert av for alle $i$ og . $\ delvis y_ {i} = y _ {{i + 1}}$ $\ forall x \ i K, \, \ partial x = 0$

Eiendom

La K være en differensialfelt og L en begrenset forlengelse av K . Så det finnes en unik avledning på L som strekker avledning K .