En integrert ring eller integritetsring er en enhetlig kommutativ ring som er forskjellig fra nullringen, og som ikke har noen deler på null .
En enhetlig kommutativ ring sies å være integrert hvis den er det
I praksis gjør det å jobbe i en integrert ring det mulig å løse produkt-likninger .
Et begrenset antall kilder gir forskjellige definisjoner av begrepene "Integral Ring" eller "Integrity Ring", enten fordi de ikke krever kommutativitet, eller de ikke krever tilstedeværelse av en nøytral for multiplikasjonen, eller helt unntaksvis at de ikke krever at ringen har minst to elementer.
Denne artikkelen, som er begrenset til kommutativ og enhetlig sak, tar ikke for seg disse variantene; vi henviser til artikkelen med tittelen " Ring uten deler av null " for det der kommutativitet ikke kreves.
På den andre siden :
Enhver endelig integrert ring er et kommutativt felt.
Beviset er basert på en observasjon: multiplikasjonen A → A med et fast element som ikke er null a , som alltid er injiserende i en integrert ring A , er nødvendigvis også surjektiv når ringen er endelig, noe som viser eksistensen av en invers av a .
La A være en integrert ring. En prosess med overføring til kvotienten under et ekvivalensforhold gjør det mulig å konstruere et kommutativt felt K ( A ) og en injeksjon av A i K ( A ). Denne konstruksjonen gir det minste feltet A er nedsenket i, i betydningen av følgende universelle eiendom :
For ethvert felt L og enhver injeksjonsringmorfisme fra A til L eksisterer det en unik kroppsmorfisme fra K ( A ) til L slik at
Denne konstruksjonen er bare omskriving i noe mer abstrakte termer av konstruksjonen av feltet Q av rasjonelle tall fra ringen Z av relative heltall . Påført en ring av formelle polynomer produserer den et felt med rasjonelle fraksjoner .
Integrerte ringer danner et godt rammeverk for å generalisere spørsmål om delbarhet av heltall. For to elementer a , b av en kommutativ ring A sier vi at a deler b (i A ) hvis det eksisterer q i A slik at aq = b (vi har ekvivalente formuleringer " a er en divisor av b ", " B er delbart med a ”, og“ b er multiplum av a ”). Det som er spesielt for integrerte ringer er at i dette tilfellet, hvis et ikke-null-element a deler b , så er elementet q ( kvotienten ) alltid unikt , og kan derfor betegnes q = b / a : hvis vi antar aq = b = ap , deretter a ( q - p ) = 0 , og derfor q = p fordi a ≠ 0 . Med andre ord, enhver ikke-null element av A er regulær .
Strukturen gitt av delbarheten i en integrert ring kan være mye mer komplisert enn i Z , noe som fører til å skille et antall egenskaper og relasjoner.
De følgende tre definisjonene isolerer bemerkelsesverdige aritmetiske egenskaper til Z- ringen fra relative heltall, og brukes til å avgrense tre klasser av kommutative ringer der aritmetikk mer eller mindre ligner den på heltall.
Dette er ringene der vi har en nedbrytning som etterligner primfaktoriseringen av naturlige heltall som ikke er null.
Vi kaller en faktorring for en integrert ring der alle elementene som ikke er null, brytes ned på en unik måte ( bortsett fra rekkefølgen og de inverterbare faktorene) til et produkt av irredusible elementer.
Hvis A er en faktorring, er det også ringen til polynomer A [ X ]. Ved gjentatt anvendelse av denne konstruksjonen til et kommutativt felt k , åpenbart faktorielt, er ringene til polynomer med flere ubestemte k [ X 1 , ..., X n ] spesielt faktorielle.
Både algebraisk tallteori i algebraisk geometri , ikke-faktorielle ringer forekommer selv på elementært nivå: og ringen av heltall kvadratisk Z [ i √ 5 ] er ikke faktoriell; det er det samme for kvotientringen til k [ X , Y ] av idealet generert av X 2 - Y 3 .
I denne delen betegner vi med ( x 1 , x 2 , ..., x n ) det idealet som genereres av x 1 , x 2 , ..., x n .
I denne mer begrensede klassen av ringer har vi ikke bare hovedfaktoriseringen, men også Bézout-identiteten .
Et ideelt I om en kommutativ ring A sies å være prinsipp når det eksisterer et element av A slik at jeg = ( a ). Vi kaller rektor for en integrert ring der hvert ideal er rektor.
Hver hovedring er faktisk. Det omvendte er ikke sant: dermed er faktorringen til polynomer k [ X , Y ] ikke prinsipiell - det er faktisk umulig å finne et polynom med to variabler P slik at ( X , Y ) = ( P ).
I en hovedring, som i hvilken som helst faktorring, innrømmer to elementer a og b alltid en GCD som er nevnt her d , men vi har mer: fyrstedømmet garanterer eksistensen av x og y slik at d = ax + by .
I denne klassen av ringer har vi en struktur som ligner den som er gitt av den euklidiske inndelingen i Z : for en hvilken som helst inndeling av et element som ikke er null, eksisterer det en kvotient og en rest, hvor resten alltid er mindre i en presis forstand som skillet. Hvis denne kvoten og denne resten kan bestemmes av en divisjonsalgoritme (som ofte er tilfelle), kan vi utføre Euclids algoritme i A ved å bruke denne inndelingen. Hver euklidisk ring er prinsipiell, og dette er den enkleste måten å bevise at noen ringer er prinsipielle; dette er særlig tilfelle av Z , og for enhver ring av polynomer med en ubestemt med koeffisienter i et felt. Imidlertid er det store ringer som ikke er euklidiske.
I en integrert domene A inneholdende en subring B , et element x ∈ A sies heltall på B hvis rot av et polynom enhet med koeffisienter i B .
Z- ringen av relative heltall er en underring av Q- ringen med rasjonelle tall. De eneste elementene i Q- heltall over Z er de relative heltallene. Ringen Z med relative heltall er en underring av ringen Q [i] av kompleksene som er skrevet a + i b , a og b er rasjonelle tall . Elementene til Q [i] heltall over Z er kompleksene som er skrevet a + i b , a og b er relative heltall .I en integrert domene A inneholdende en subring B , den integrerende lukking av B i A er det sett av elementer A heltall B . Det er en underring av A som inneholder B som en underring. En helt lukket ring er en integrert ring som er lik den fullstendige lukkingen i kroppen av brøkdeler.
Ringen av relative heltall er helt lukket. Mer generelt: en ring integrert med GCD - spesielt en faktorring - er helt lukket (se Gauss Lemma ).En Dedekind-ring er per definisjon en fullstendig lukket Noetherian-ring der ethvert ikke- primært ideal er maksimalt .