Konvergensradius

Denne artikkelen er et utkast for analyse .

Du kan dele din kunnskap ved å forbedre den ( hvordan? ) I henhold til anbefalingene fra de tilsvarende prosjektene .

Den radius av konvergens av et heltall serie er den positive reelle tall eller + ∞ lik den øvre grense av settet av modulene i et komplekst tall , hvor de serie konvergerer (i klassisk forstand av enkel konvergens ):

R=sup{|z|:z∈VS,∑påikkezikke rett og slett konvergerer }∈[0,+∞]=R+¯.{\ displaystyle R = \ sup \ left \ {| z |: z \ i \ mathbb {C}, \ sum a_ {n} z ^ {n} {\ text {konvergerer ganske enkelt}} \ høyre \} \ i \ , [0, + \ infty] = {\ overline {\ mathbb {R} ^ {+}}}.}

Eiendommer

Hvis R er radien av konvergens for en potensrekke, da den serien er absolutt konvergerende på den åpne skive D (0, R ) fra sentrum 0 og radius R . Denne disken kalles konvergensdisken . Denne absolutte konvergensen skaper det som noen ganger kalles ubetinget konvergens  : verdien av summen når som helst på denne disken avhenger ikke av ordens rekkefølge. For eksempel har vi:

• ∑ikke=0∞påikkezikke=∑ikke=0∞på2ikkez2ikke+∑ikke=0∞på2ikke+1z2ikke+1{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {a_ {n} z ^ {n}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {2n} z ^ {2n} + \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {2n + 1} z ^ {2n + 1}} ;
• ∑ikke=0∞∑k=0∞påikkebkzikke+k=(∑ikke=0∞påikkezikke)(∑k=0∞bkzk)  ∀|z|<min(R1,R2){\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {a_ {n} b_ {k} z ^ {n + k}} = \ left ( \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} z ^ {n} \ høyre) \ left (\ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} b_ {k} z ^ {k} \ høyre) \ \ \ forall | z | <\ min (R_ {1}, R_ {2})}, hvor og er konvergensradiene til de to hele seriene (se Cauchy-produkt ).R1{\ displaystyle R_ {1}}R2{\ displaystyle R_ {2}}

Hvis hele serien har en konvergensradius R , så: ∑ikke=0∞påikkezikke{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {a_ {n} z ^ {n}}}

• konvergensen er til og med normal (derfor ensartet ) på enhver kompakt som inngår i D (0, R )  ;
• for alle komplekse z slik at | z | > R , serien avviker omtrent  ;
• for alle komplekse z slik at | z | = R , serien kan enten avvike eller konvergere;
• det omvendte av radius R er gitt av Cauchy-Hadamard-teoremet  : der lim sup betegner den øvre grensen  ;1R=lim supikke→∞|påikke|ikke≤lim supikke→∞|påikke+1påikke|{\ displaystyle {\ frac {1} {R}} = \ limsup _ {n \ to \ infty} {\ sqrt [{n}] {| a_ {n} |}} \ leq \ limsup _ {n \ to \ infty} \ left | {\ frac {a_ {n + 1}} {a_ {n}}} \ right |}
• hvis R ikke er lik null, så summen f av hele serien er en holomorfe funksjon av D (0, R ) , hvor vi har f(k)(z)=∑ikke=k∞ikke!(ikke-k)!påikkezikke-k{\ displaystyle f ^ {(k)} (z) = \ sum _ {n = k} ^ {\ infty} {\ frac {n!} {(nk)!}} a_ {n} z ^ {nk} } ;
• hvis radiusen R er uendelig, kalles hele serien en hel funksjon .

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">