Tunneleffekt

Den tunnel virkning betegner den egenskap at en Quantum objekt har til å krysse en potensialbarriere selv om dens energi er mindre enn den minste energi som kreves for å krysse barrieren. Det er en ren kvanteeffekt, som ikke kan forklares med klassisk mekanikk . For en slik partikkel avbryter ikke bølgefunksjonen, hvor kvadratet til modulen representerer tettheten av sannsynligheten for tilstedeværelse, på nivået av barrieren, men dempes inne i barrieren (praktisk talt eksponentielt for en ganske bred barriere). Hvis partikkelen ved utgangen av den potensielle barrieren ikke har null sannsynlighet for tilstedeværelse, betyr dette at den kan krysse denne barrieren. Denne sannsynligheten avhenger av tilstandene som er tilgjengelige på begge sider av barrieren, samt av den romlige forlengelsen av barrieren.

Analyse

På det teoretiske nivået er tunneloppførselen ikke vesentlig forskjellig fra den klassiske oppførselen til kvantepartikkelen som vender mot den potensielle barrieren; den tilfredsstiller Schrödinger- ligningen, en differensialligning som involverer kontinuiteten til bølgefunksjonen og dens første derivat i hele rommet. Akkurat som ligningen av elektromagnetiske bølger fører til fenomenet flyktige bølger , slik møter bølgefunksjonen tilfeller der amplituden til sannsynligheten for tilstedeværelse ikke er null på steder der den potensielle energien er større enn den totale energien.

Hvis, på matematisk nivå, evalueringen av tunneleffekten noen ganger kan være enkel, avslører tolkningen man søker å gi løsningene gapet som skiller klassisk mekanikk, domenet til materialpunktet etter en bane definert i romtid , kvantemekanikk hvor forestillingen om enkel bane forsvinner til fordel for et helt sett med mulige baner.

Tiden det tar for en partikkel å tunnelere gjennom en kvantebarriere har vært, og er fortsatt, gjenstand for opphetet debatt. Ganske mange studier i det elektromagnetiske eller fotoniske feltet har avslørt utseendet til det som kan tolkes som superluminale hastigheter , men respekterer spesiell relativitet: dette er fenomenet kjent som Hartman-effekten .

Demonstrasjon

I 1978 produserte termodynamikeren Hubert Juillet bithermale termoelektriske kryss med en punktprøveavstand på noen få nanometer som muliggjorde passering av en elektrisk strøm med tunneleffekt, selv med ekstremt lave spenninger: <0,0001 V.

Dette arbeidet resulterte mye senere i arkivering av patenter for oppfinnelser og anses å være forfedrene til tunnelmikroskopet og den elektrisk ledende strengen.

applikasjoner

Tunneleffekten er på jobb i:

• molekyler: NH 3 , for eksempel,
• modellering av forfall ( fisjon , alfa radioaktivitet ),
• noen dioder ,
• MRAM- minne ,
• tunnelen i mikroskopene ,
• på Josephson-effekten .

Spesielt tilfelle: resonant tunneleffekt .

Illustrasjon av fenomenet

Eksempler

Protontunnel forekommer i mange hydrogenbaserte molekylære krystaller som is . Det antas at faseovergangen mellom den sekskantede (is Ih) og ortorhombiske (is XI) fasen til en iskrystall er mulig gjennom "tunneling" av protoner. Utseendet til en korrelert "protontunnel" i is er også nylig rapportert, og fysikk av isstudier spesielt "tunneleffekter" som ser ut til å forekomme der, ved normalt atmosfærisk trykk og ved kalde temperaturer. (Men vanlig i Jordens atmosfære), så vel som for noen av dens “anomalier”. Blant mange nye hypoteser er ifølge Owen Benton, Olga Sikora og Nic Shannon (2016) "den spennende muligheten for at protonene til den 'sekskantede isen' kan danne en kvantevæske ved lav temperatur, der protonene ikke bare er uordnede, men svinger kontinuerlig mellom forskjellige konfigurasjoner som overholder isens regler ” . For noen fysikere som François Fillaux de La Sorbonne er det i 2017 ikke lenger noen tvil om at sekskantet is og damp er kvantekondensater av makroskopiske skalaer, mens flytende vann er en kvantevæske med tidsmessig translasjonell symmetri. For F Fillaux, smelting og fordampning av is er quantum faseoverganger . Kvantefysikk forklarer fenomenene termisk kapasitet, latent varme, faseovergangstemperaturer, kritisk temperatur, molar volumutvidelse av is i forhold til vann. Det forklarer også nøytronspredningsdata og dielektriske målinger, hovedrollen til kvanteinterferens og Hartley-Shannon-entropi , og utfordrer de "klassiske" forestillingene om kjemisk binding og kraftfelt .

Matematiske analyser

Introduksjon til begrepet transmitivity

Kvantebarrieren skiller mellomrom i tre, hvis venstre og høyre del anses å ha konstante potensialer opp til uendelig ( venstre, høyre). Mellomdelen utgjør barrieren, som kan være komplisert, avsløre en myk profil, eller tvert imot dannet av rektangulære barrierer, eller andre muligens i serie. VG{\ displaystyle V_ {G}}VD{\ displaystyle V_ {D}}

Vi er ofte interessert i søket etter stasjonære tilstander for slike geometrier, stater hvis energi kan være større enn høyden på potensialet, eller tvert imot mindre. Det første tilfellet tilsvarer en situasjon som noen ganger blir referert til som klassisk , selv om svaret avslører en typisk kvanteoppførsel; det andre tilsvarer tilfellet der energien til staten er mindre enn høyden på potensialet. Partikkelen som tilstanden tilsvarer, krysser deretter barrieren ved tunneleffekt, eller med andre ord, hvis vi tar i betraktning energidiagrammet, ved sprang-effekt.

Ser man på en hendelsespartikkel fra venstre, har steady state følgende enkle form:

φ(x)=eksp⁡(JegkGx)+reksp⁡(-JegkGx){\ displaystyle \ varphi (x) = \ exp (ik_ {G} x) + r \ exp (-ik_ {G} x)} for  ;x<på{\ displaystyle x <a} φ(x)=φJegikket(x){\ displaystyle \ varphi (x) = \ varphi _ {int} (x)} for  ;på≤x≤b{\ displaystyle a \ leq x \ leq b} φ(x)=teksp⁡(JegkDx){\ displaystyle \ varphi (x) = t \ exp (ik_ {D} x)} for  ;b≤x{\ displaystyle b \ leq x}

hvor r og t er henholdsvis amplitude-refleksjon og overføringskoeffisienter for den innfallende planbølgen . er bølgefunksjonen inne i barrieren, hvis beregning kan være ganske komplisert; det er relatert til uttrykkene til bølgefunksjonen i høyre og venstre halvrom av bølgefunksjonens kontinuitetsrelasjoner og dens første derivat. φ(x)=eksp⁡(JegkGx){\ displaystyle \ varphi (x) = \ exp (ik_ {G} x)}φJegikket(x){\ displaystyle \ varphi _ {int} (x)}

Ganske ofte er vi interessert i sannsynligheten for overføring (som for eksempel gir tunnelstrøm), og derfor favoriserer vi studiet av overføringskoeffisienten t , nærmere bestemt verdien i amplitude og fase av koeffisienten , karakteriserer forholdet mellom hendelsesplanbølgen, tatt ved inngang a og utgangsplanbølgen tatt ved punkt b . Sannsynligheten for overføring kalles transmisjon . tpåb=teksp⁡(JegkDb)eksp⁡(JegkGpå){\ displaystyle t_ {ab} = {\ frac {t \ exp (ik_ {D} b)} {\ exp (ik_ {G} a)}}}T=|tpåb|2{\ displaystyle T = | t_ {ab} | ^ {2}}

Det er disse transmissivitetene som presenteres i noen spesielle tilfeller nedenfor, begrenset (faktisk bare for visse formler) til tunnelsaken.

Eksempler på tunneloverføringer

Enkel rektangulær barriere, kombinasjoner av enkle barrierer

De fleste særegenheter ved tunneleffekten vises når man vurderer den enkleste potensielle barrieren, en symmetrisk rektangulær barriere, der potensialet er konstant (lik U ) mellom punkt a og b , og null til høyre. Og til venstre. I dette tilfellet har innfallende (reflekterte) og overførte bølgevektorer samme modul, bemerket mens den indre delen av bølgefunksjonen er av formen med . k=2mE/ℏ{\ displaystyle k = {\ sqrt {2mE}} / \ hbar}PÅeKx+Be-Kx{\ displaystyle Ae ^ {Kx} + Be ^ {- Kx}}K=2m(U-E)/ℏ{\ displaystyle K = {\ sqrt {2m (EU)}} / \ hbar}

For beregninger plasserer man seg i referansemerket hvor . Betingelsen for kontinuitet ved 0 av bølgefunksjonen og dens derivat er skrevet: på=0{\ displaystyle a = 0}

{PÅ=12[1+r+JegkK(1-r)]B=12[1+r-JegkK(1-r)]{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {c} A = {\ frac {1} {2}} [1 + r + {\ frac {ik} {K}} (1-r)] \ \ B = {\ frac {1} {2}} [1 + r - {\ frac {ik} {K}} (1-r)] \ end {array}} \ right.}

Betingelsen for kontinuitet i  : b{\ displaystyle b}

{PÅ=t2[1+JegkK]eJegkb-KbB=t2[1-JegkK]eJegkb+Kb{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {c} A = {\ frac {t} {2}} [1 + {\ frac {ik} {K}}] e ^ {ikb-Kb} \ \ B = {\ frac {t} {2}} [1 - {\ frac {ik} {K}}] e ^ {ikb + Kb} \ end {array}} \ høyre.}

Fra disse ligningene vurderer vi kompleksene r , t og transmisjonsevnen:

t=2JegkKeJegkd1(k2-K2)sinh⁡(Kd)+2JegkKkoselig⁡(Kd),T=|t|2=4K2k2(K2+k2)2sinh2⁡(Kd)+4K2k2{\ displaystyle t = {\ frac {2ikK} {e ^ {ikd}}} {\ frac {1} {(k ^ {2} -K ^ {2}) \ sinh (Kd) + 2ikK \ cosh (Kd )}} \ quad, \ quad T = | t | ^ {2} = {\ frac {4K ^ {2} k ^ {2}} {(K ^ {2} + k ^ {2}) ^ {2 } \ sinh ^ {2} (Kd) + 4K ^ {2} k ^ {2}}}} ,

med tykkelsen på barrieren. d=b-på{\ displaystyle d = ba}

I tilfelle av en tykk ( stor) barriere , får vi den enkle formelen å huske: Kd{\ displaystyle \ mathrm {K} d}

T=16K2k2(K2+k2)2eksp⁡(-2Kd){\ displaystyle T = 16 {\ frac {\ mathrm {K} ^ {2} k ^ {2}} {(\ mathrm {K} ^ {2} + k ^ {2}) ^ {2}}} \ ; \ exp (-2 \ mathrm {K} d)} .

I dette tilfellet kan vi betrakte transmisjonsevnen som produktet oppnådd ved BKW-tilnærmingen (se nedenfor eksponensielt begrep) av en prefaktor som bare er produktet av kvadratmodulene til overføringskoeffisientene som er spesifikke for inngangsgrensesnittene. Og utgang.

Denne strukturen er en forenklet form av den som vises i tilfelle en barriere av en hvilken som helst form brutt ned som en serie med rektangulære barrierer. Beregningsstrukturen er deretter basert på å ta i betraktning en matriseskriving av ligningene, som forbinder de progressive og regressive komponentene i hvert lag, slik at etablering av overføringsmatrisen til den stasjonære modusen mellom inngangsrommet og 'utgangsrommet.

Denne metoden er illustrert i tilfellet med en struktur som oppstår i elektronikk eller optikk, den resonante tunnelbarrieren , bestående av en inngangsbarriere av en indre del med lavt potensial (potensiell brønn, av bredde L ) og av en utgangsbarriere (se diagram) . Det er vist at i tilfelle der potensialet i brønnen er konstant (definere en reell bølgevektor ), kan transmisjonsevnen til barrieren skrives: k3=2m(Ub-E)/ℏ{\ displaystyle k_ {3} = {\ sqrt {2m (U_ {b} -E)}} / \ hbar}

T=TETS|1+RERSeksp⁡(2Jegk3L)|2{\ displaystyle T = {\ frac {T_ {E} \; T_ {S}} {| 1 + \, {\ mathcal {R}} _ {E} \, {\ mathcal {R}} _ {S} \; \ exp (2ik_ {3} L) | ^ {2}}}}  ;

i telleren vises transmittivitetene til inngangs- og utgangsbarrierer, og nevneren inneholder, i tillegg til amplitude-refleksjonskoeffisientene til inngangs- og utgangsbarrierer, sett fra innsiden av den sentrale brønnen, et eksponensielt begrep hvis variasjoner (avhengig av energi og / eller tykkelsen) er mulige kilder til resonanser (formelen er god for alle former for inngangs- og utgangsbarrierer).

Trapesformet barriere

Den trapesformede barrieren oppnås ved å påføre en potensiell forskjell mellom de to ender av den enkle rektangulære barrieren. Dette gir følgende diagram, som gir fordelen ved å tillate eksakte analytiske løsninger; faktisk, for denne barrieren er uttrykket for bølgefunksjonen, en lineær kombinasjon av funksjonene til Airy, Ai og Bi, som kan kobles til planbølgeløsninger i venstre og høyre del.

Et spesielt tilfelle vises i sammenheng med denne beskrivelsen. Hvis potensialforskjellen er stor nok til at barrieren viser eksistensen av et konvensjonelt returpunkt (passasje fra en tunneldel til en konvensjonell del , på punktet ), oppnås feltemisjonseffekten, ofte brukt i elektronmikroskopi . Partikkelen, som ligger i ledningsbåndet til venstre, krysser av tunneleffekt og akselereres utover, til høyre. x2{\ displaystyle x_ {2}}

Til slutt, avhengig av energiverdiene og formen på barrieren, kan transmisjonsresonanser vises, på grunn av det potensielle hoppet på høyre trinn. Denne resonansen har visse funksjoner til felles med Ramsauer-effekten . Diagrammet motsatt tilsvarer en akkumulering av øyeblikksbilder av nærværstettheten assosiert med en innfallende bølgepakke nederst til venstre. Resonanseffekten manifesteres her ved utseendet til de tre maksima i den klassiske delen av barrieren. På slutten av krysset beveger de reflekterte og overførte delene seg mot toppen av figuren, henholdsvis til venstre og til høyre.

BKW tilnærming

I tilfelle der den potensielle barrieren presenterer en myk profil, er det mulig å vise fra Schrödinger-ligningen, eller fra en fin diskretisering av potensialet i en serie små påfølgende rektangulære barrierer, at funksjonsbølgen, ved et koordinatpunkt x i barrieren kan skrives:

φBKW(x)=1k(x)[PÅeksp⁡(Jeg∫xduk(u))+Beksp⁡(-Jeg∫xduk(u))].{\ displaystyle \ varphi _ {BKW} (x) = {\ frac {1} {\ sqrt {k (x)}}};; left [A \ exp \ left (i \ int ^ {x} \, du \, k (u) \ right) + B \ exp \ left (-i \ int ^ {x} \, du \, k (u) \ right) \ right].}

Denne tilnærmingen, studert av Brillouin, Kramers og Wentzel, er åpenbart ikke gyldig for de klassiske returpunktene, (jf. Diagram), der potensialet V (x) er lik energien E til tilstanden ( k (x) er deretter null), er det nødvendig å være forsiktig med forbindelsen på hver side av disse punktene. x1,x2{\ displaystyle x_ {1} \ ;, \; x_ {2}}

I sammenheng med studien av transmisjonsevne er dette uttrykket spesielt nyttig i tunnelsaken, hvor k (x) blir ren imaginær, tilsvarer de to eksponensialene som vises i ovennevnte uttrykk termer som synker fra venstre til høyre (faktoruttrykket konstant A) og synkende fra høyre til venstre (faktoruttrykk for B). I tilfelle en hendelsesbølge som kommer fra venstre, og for tilstrekkelig brede barrierer, er kilden til den regressive delen (uttrykk B) minimal. Transmittiviteten på grunn av denne tunneldelen oppnås deretter ved å vurdere reduksjonen i bølgens amplitude mellom de konvensjonelle inngangs- og utgangsreturpunktene, nemlig:

TBKW=eksp⁡[-2∫x1x2duK(u)];K(u)=2mℏ2(V(u)-E).{\ displaystyle T_ {BKW} = \ exp \ left [-2 \; \ int _ {x_ {1}} ^ {x_ {2}} \; du \; \ mathrm {K} (u) \ right] \ quad; \ quad \ mathrm {K} (u) = {\ sqrt {{\ frac {2m} {\ hbar ^ {2}}} (V (u) -E)}} \;.}

Det er dette uttrykket som for eksempel må beregnes ved hjelp av den inverterte potensielle metoden. Denne tilnærmingen må korrigeres av prefaktorer, karakteristiske for potensialene med sterk helling (potensielt hopp), som man møter i grensesnittet mellom to materialer, og som er gjeldende valutaer i dagens elektroniske komponenter (kvantebrønner).

Semiklassisk tilnærming og bruk av returnert potensial

Før utviklingen av raske og kraftige beregningsmetoder, som tillater presise evalueringer av overføringer, er det utviklet omtrentlige metoder som har gjort det mulig på en effektiv måte å oppdage egenskapene til noen tunneloverføringer av visse barrierer av teoretisk og praktisk betydning. .: Coulomb-type barriere ( alfa-radioaktivitetsmodell ) eller trekantet barriere assosiert med felteffekten.

Dette er for å evaluere argumentet til det eksponentielle som vises i BKW-tilnærmingen. Det er enkelt å beregne integralene for hyperbolske eller lineære potensialer, men det er interessant å merke seg den mulige tilnærmingen ved metoden for det returnerte potensialet som evalueringen av oppnås for via den som handlingen er beregnet på en klassisk bane som en partikkel med samme energi ville følge i det returnerte potensialet, oppnådd ved bruk av Corinnes symmetri . eksp⁡[Jeg∫xs(u)du/ℏ]{\ displaystyle \ exp [i \ int ^ {x} p (u) du / \ hbar]}eksp-[S(E)/2ℏ]{\ displaystyle \ exp - [S (E) / 2 \ hbar]}S(E){\ displaystyle S (E)}

Interessen hviler da på at for tilstrekkelig tykke barrierer, tilsvarende brede brønner, er handlingen i den semi-klassiske tilnærmingen gjenstand for kvantifisering . S(E)=ikkeh{\ displaystyle S (E) = n \, h}

BKW-transmisjonen til en slik barriere skrives da:

T(E)=eksp⁡[-2πikke(E)],{\ displaystyle T (E) = \ exp [-2 \ pi n (E)] \ ,,}

der kvantetallet n ( E ) er den gjensidige funksjonen til energien E postulert som det diskrete energinivået til den potensielle brønnen som tilsvarer den returnerte barrieren.

Søknad om alfa radioaktivitet

Den potensielle barrieren som alfapartikkelen, av energi E , må krysse , etter sitt tilfeldige utseende i kjernen til atomnummer Z , blir transformert til en Coulomb-brønn, hvis energinivåer er de av en hydrogenoid . Dette tillater beregning av tallet n ( E ) direkte fra kjente formler:

E=-me4(Z-2)22ℏ2×1ikke2(E),{\ displaystyle E = - {\ frac {me ^ {4} (Z-2) 2} {2 \ hbar ^ {2}}} \ times {\ frac {1} {n ^ {2} (E)} } \ ,,}

hvor vises den reduserte massen, og ladningene til alfapartikkelen og barnekjernen (atomnummer Z -1).

Overføringen av tallet n ( E ) i uttrykket for transmittivitet avslører deretter den observerte oppførselen til halveringstiden (proporsjonal med den inverse transmittiviteten) av alfa-emittere som en funksjon av energien til partikkelen som møter barrieren. E{\ displaystyle {\ sqrt {E}}}

Søknad til Fowler-Nordheim-effekten

Under påvirkning av et elektrisk felt F , kan elektroner frigjøres fra et metall (ladning q , masse m , energi E i forhold til bunnen av lednings-båndet), spesielt fra en alkali- arbeids metall utgang . Elektronen blir deretter utsatt for et trekantet potensial som, som en første tilnærming, kan behandles ved BKW-metoden: Transmisjonen som trekkes fra den (med tanke på de klassiske returpunktene og ) er Φ{\ displaystyle \ Phi}x1=0{\ displaystyle x_ {1} = 0}x2=(Φ-E)/qF){\ displaystyle x_ {2} = (\ Phi -E) / qF)}

TBKW=eksp⁡[-2∫x1x2duK(u)]=eksp⁡[-22mℏqF∫0Φ-EdXX]{\ displaystyle T_ {BKW} = \ exp \ left [-2 \; \ int _ {x_ {1}} ^ {x_ {2}} \; {\ text {d}} u \; \ mathrm {K} (u) \ høyre] \; = \; \ exp \ venstre [-2 \; {\ frac {\ sqrt {2m}} {\ hbar qF}} \ int _ {0} ^ {\ Phi -E} \ ; {\ text {d}} X \; {\ sqrt {X}} \ høyre]} =eksp⁡[-42m3ℏqF(Φ-E)3/2].{\ displaystyle \ qquad = \ exp \ left [- \; {\ frac {4 {\ sqrt {2m}}} {3 \ hbar qF}} (\ Phi -E) ^ {3/2} \ right] \ ;.}

Å skaffe tunnelstrømmen må selvsagt ta hensyn til fordelingen i energi og retning av alle elektronene på stripen, for lederens temperatur.

Også her kunne overføringen ha blitt oppnådd ved å bruke et returnert potensial. Dette er da Torricelli halvbrønn , hvis energinivåer kan beregnes og tillate at tallet n ( E ) oppnås .

Kvantetunnel og liv

En hypotese tatt i betraktning i astrokjemi og i studien av livets opprinnelse er at tunneleffekten oppdaget av kvantefysikk i interstellare skyer kunne forklare visse astrokjemiske synteser av molekyler, inkludert syntesen av molekylært hydrogen , av vann ( is ) og viktig prebiotisk formaldehyd .

Den quantum biologi er også studert, for eksempel hvor med enzymatiske reaksjoner og fotosyntesen , kan det levende, ved hjelp av noen quantum mekanismer, temperatur og normaltrykk, optimalisere og akselerere noen grunnleggende livsprosess.

Merknader og referanser

1. Bulletin of the Union of physicists, n ° 734, Mai 1991, Tunneleffekten: noen applikasjoner, Chérif F. MATTA
2. (i) Chris Knight , Sherwin J. Singer , Jer-Lai Kuo og Tomas K. Hirsch , "  Hydrogen bond topology and the is VII / VIII and Ih / XI proton ordering Phase Transitions  " , Physical Review E , vol.  73, n o  5,16. mai 2006, s.  056113 ( ISSN  1539-3755 og 1550-2376 , DOI  10.1103 / PhysRevE.73.056113 , les online , åpnet 6. desember 2020 )
3. Yen, F. og Gao, T. (2015). Dielektrisk anomali i is nær 20 K: bevis på makroskopiske kvantefenomener. Tidsskriftet for fysikalsk kjemi brev, 6 (14), 2822-2825.
4. (i) Owen Benton , Olga Sikora og Nic Shannon , "  Klassiske og kvante teorier om protonforstyrrelse i sekskantet vannis  " , Physical Review B , Vol.  93, n o  1229. mars 2016, s.  125143 ( ISSN  2469-9950 og 2469-9969 , DOI  10.1103 / PhysRevB.93.125143 , les online , åpnet 6. desember 2020 )
5. François Fillaux , “  The quantum phase-transitions of water  ”, EPL (Europhysics Letters) , vol.  119, n o  4,1 st august 2017, s.  40008 ( ISSN  0295-5075 og 1286-4854 , DOI  10.1209 / 0295-5075 / 119/40008 , les online , åpnet 6. desember 2020 )
6. Frank Trixler , “  Quantum Tunneling to the Origin and Evolution of Life,  ” Current Organic Chemistry , vol.  17, n o  16August 2013, s.  1758–1770 ( ISSN  1385-2728 , PMID  24039543 , PMCID  3768233 , DOI  10.2174 / 13852728113179990083 , lest online , åpnet 6. desember 2020 )

Se også

Relaterte artikler

• Potensiell barriere
• Coulomb-barriere
• Α radioaktivitet
• Elektronisk mikroskop
• Tunnelkryss
• Tunneldiode
• Holstein-Herring-metoden
• Tunneleffekt transistor

Eksterne linker

• Animasjon, applikasjoner og forskning relatert til tunneleffekten og andre kvantefysiske effekter (Paris Sud University)
• Bølger i nærvær av potensielle trinn, påføring på tunneleffekten. Paris XI University

Bibliografi

• C. Cohen-Tannoudji , B. Diu og F. Laloë , kvantemekanikk [ detalj av utgaven ]
• Albert Messiah , Quantum Mechanics [ detalj av utgaver ]

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">