Enstrofi

Den enstrophie er definert som variansen av virvlingen . Denne mengden spiller en viktig rolle i to-dimensjonal turbulens, som utgjør en tilnærming av grunnleggende fenomener i atmosfærisk fysikk der forholdet mellom karakteristiske skalaer (geografisk dimensjon og høyde) er i størrelsesorden 100, eller for magnetiserte plasmaer .

Det todimensjonale turbulente fenomenet plass har radikalt forskjellige egenskaper fra den tredimensjonale turbulente energikaskaden . Det er preget av en dobbel kaskade av energi og entrofi.

Definisjoner

For en ukomprimerbar strøm defineres virvling (eller virvling ) som rotasjonen av hastigheten V eller noen ganger halvparten av denne verdien. I plangeometri (x, y)

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Omega}} = \ nabla \ times \ mathbf {V} = (0,0, \ Omega) ^ {t} \ ,, \ qquad \ Omega = {\ frac {\ partial V_ { y}} {\ partial x}} - {\ frac {\ partial V_ {x}} {\ partial y}}}

For hvilken som helst mengde g , betegner du det statistiske gjennomsnittet av g . Den homogent medium og stasjonær gjennomsnitt er antatt: . Det statistiske gjennomsnittet reduseres derfor til et tidsgjennomsnitt. ${\ displaystyle {\ overline {g}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {V}} (x, y, t) = C ^ {ste}}$

I et turbulent miljø brytes vi ned

den tidsmessige gjennomsnittshastigheten og svingningene v

{\ displaystyle \ mathbf {V} = {\ overline {\ mathbf {V}}} + \ mathbf {v}}

virvling i tidsgjennomsnitt og svingninger ω

{\ displaystyle \ Omega = {\ overline {\ Omega}} + \ omega}

Vi definerer deretter

energi ${\ displaystyle k = {\ frac {1} {2}} \ langle v ^ {2} \ rangle}$
enstrofi ${\ displaystyle {\ mathcal {E}} = {\ frac {1} {2}} \ langle \ omega ^ {2} \ rangle}$

Turbulens kan beskrives som en stokastisk prosess som involverer v eller ω hvor vi forbinder et bølgetall κ med hver karakteristiske skala. Prosessen er preget av en energitetthet E (κ) som gjør det mulig å uttrykke den turbulente kinetiske energien k, energispredningen ε og enstrofi

{\ displaystyle k = \ int _ {0} ^ {\ infty} E (\ kappa) \ mathrm {d} \ kappa \ ,, \ qquad \ epsilon = 2 \ nu \ int _ {0} ^ {\ infty} \ kappa ^ {2} E (\ kappa) \ mathrm {d} \ kappa \ ,, \ qquad {\ mathcal {E}} = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ kappa ^ {2} E ( \ kappa) \ mathrm {d} \ kappa}

Eiendommer

Bevaring

Bevaring av virvling for en ukomprimerbar barotrop væske er gitt av Helmholtz-ligningen . I det todimensjonale problemet vi sjekker

{\ displaystyle ({\ boldsymbol {\ Omega}} \ cdot \ nabla) \ mathbf {V} \ equiv 0}

derav den todimensjonale vortex-bevaringsligningen

{\ displaystyle {\ frac {D {\ boldsymbol {\ Omega}}} {Dt}} = {\ frac {\ partial {\ boldsymbol {\ Omega}}} {\ partial t}} + (\ mathbf {V} \ cdot \ nabla) {\ boldsymbol {\ Omega}} = \ nu \ nabla ^ {2} {\ boldsymbol {\ Omega}}}

Systemet sjekker

{\ displaystyle {\ frac {DE} {Dt}} = - \ nu {\ mathcal {E}} \ ,, \ qquad {\ frac {D {\ mathcal {E}}} {Dt}} = - \ nu \ langle (\ nabla \ omega) ^ {2} \ rangle = - \ zeta}

I et medium uten viskositet konserveres energi, ikke entrofi.

Enstrofisk foss

I todimensjonal turbulens endrer fraværet av muligheten for vortexstrekking, et grunnleggende fenomen med tredimensjonal turbulens, fenomenologien totalt.

Robert Kraichnan , C. Leith og George Batchelor etablerte ved dimensjonsanalyse en mekanisme som ligner den turbulente kaskaden om evolusjonen av et homogent og stasjonært system når energi injiseres ved bølgetallet κ F , noe som fører til et selvlignende spektrum :

for κ F <κ <κ η energispektret for overføring av lange bølgelengder til den minste er gitt av

{\ displaystyle E (\ kappa) \ simeq k ^ {- 3} \ zeta ^ {\ frac {2} {3}}}

spredningen gjøres på skalaen κ η- verdien analog med dimensjonen til Kolmogorov

{\ displaystyle \ kappa _ {\ eta} = \ zeta ^ {\ frac {1} {6}} \ nu ^ {- 3}}

for κ L <κ <κ F kan det være en invers kaskade (fra små til lange bølgelengder) av energi som tilsvarer Kolmogorov-spekteret (eller treghetsspekteret)

{\ displaystyle E (\ kappa) \ simeq \ epsilon ^ {\ frac {2} {3}} k ^ {- {\ frac {5} {3}}}}

Energien går mot store skalaer: det må derfor være en mekanisme for å spre disse. Generelt fører denne mekanismen til dannelsen av store sammenhengende strukturer som ikke har tilsvarende i tredimensjonal turbulens.

En annen bemerkelsesverdig forskjell fra det tredimensjonale problemet er mangelen på intermittency.

Merknader og referanser

(no) Marcel Lesieur , Turbulence in Fluids , Kluwer Academic Publishers ,1997( ISBN 0-7923-4415-4 )
Étienne Guyon , Jean-Pierre Hulin og Luc Petit, Fysisk hydrodynamikk , CNRS Éditions / EDP Sciences ,2001( ISBN 2-86883-502-3 )
(in) Robert H. Kraichnan , " Inertial Ranges in Two-Dimensional Turbulence " , Physics of Fluids , Vol. 10, n o 7,1967, s. 1417-1423
(in) CE Leith, " Diffusion Approximation for Turbulent Scalar Fields " , Physics of Fluids , Vol. 11, n o 8,1968, s. 1612
(in) GK Batchelor , " Computation of the Energy Spectrum in Homogene Two-Dimensional Turbulence " , Physics of Fluids , Vol. 12, n o 121969, s. 233-239

Se også