Turbulent foss

Den turbulente fossen er en form for energioverføring mellom virvelens kinetiske energi og de mindre som absorberer og forsvinner den. Denne mekanismen er opprinnelsen til det turbulente energispekteret i en strømning.

Denne mekanismen ble kvalifisert forklart av Lewis Fry Richardson i 1922. Vi snakker da om Richardson-fossen .

De tilsvarende lovene ble innhentet av Andrey Kolmogorov i 1941. For disse lovene brukes begrepet Kolmogorov cascade .

Generering av harmoniske i en flyt

Vi kan forklare genereringen av utvidede frekvenser i spekteret av en strøm fra en analogi med den endimensjonale modellligningen

{\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} + u {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} = 0}

Hvis vi pålegger den opprinnelige tilstanden

{\ displaystyle u (x, 0) = A \ cos {kx}}

løsningen på tidspunktet δt uttrykkes i form av en Taylor-serie av

{\ displaystyle u (x, \ delta t) = A \ cos {kx} + \ delta t {\ frac {A ^ {2} k} {2}} \ sin {2kx} + ...}

Vi ser dermed utseendet til harmonene til tvangsfrekvensen. Dette skyldes det ikke-lineære begrepet i ligningen, som tilsvarer momentetransport i Navier-Stokes-ligningene .

I flerdimensjonalt fører denne mekanismen til utseendet av harmoniske i hver retning, men også av frekvenser oppnådd ved summen og forskjellen på de opprinnelige frekvensene på hver akse. Et slikt resultat antyder muligheten for å generere større eller mindre hvirvler i en strøm.

Vi plasserer oss innenfor rammen av ukomprimerbare sirkler. Vi noterer det statistiske gjennomsnittet . Enten hastighet. Vi deler den opp mellom gjennomsnittshastighet og svingninger : ${\ displaystyle \ langle \ cdot \ rangle}$ ${\ displaystyle \ mathbf {V} (\ mathbf {x}, t)}$ $\ mathbf {u}$
${\ displaystyle \ mathbf {V} = \ langle \ mathbf {V} \ rangle + \ mathbf {u}}$
Den homogent medium og stasjonær gjennomsnitt er antatt: . Det statistiske gjennomsnittet reduseres derfor til et tidsgjennomsnitt. ${\ displaystyle \ langle \ mathbf {V} (\ mathbf {x}, t) \ rangle = C ^ {ste}}$

Vi definerer korrelasjonen av svingninger mellom to fjerne punkter i og j ved hjelp av auto-kovariansmatrisen : $r$
${\ displaystyle \ mathbf {R} = R_ {ij} (\ mathbf {r}, t) = \ langle \ mathbf {u} (\ mathbf {x}, t) \ mathbf {u} ^ {t} (\ mathbf {x} + \ mathbf {r}, t) \ rangle = \ langle u_ {i} (\ mathbf {x}, t) \, u_ {j} (\ mathbf {x} + \ mathbf {r}, t) \ rangle}$
Dette begrepet (eller dette begrepet multiplisert med tettheten) kalles Reynolds stress (eller stress) matrise .

Den hastighet spektral tetthet for bølgetallet oppnås ved hjelp av en Fourier-transformasjon : $\ kappa$
${\ displaystyle \ Phi _ {ij} ({\ boldsymbol {\ kappa}}, t) = {\ frac {1} {(2 \ pi) ^ {3}}} \ int R_ {ij} e ^ {- i {\ boldsymbol {\ kappa}} \ cdot \ mathbf {r}} \ mathrm {d} \ mathbf {r}}$
Vi definerer også spektral tetthet av turbulent energi fra sporet av : $R$
${\ displaystyle E (\ kappa, t) = \ int {\ frac {1} {2}} \, R_ {ii} \, \ delta (| {\ boldsymbol {\ kappa}} '| - \ kappa) \ mathrm {d} {\ boldsymbol {\ kappa}} '}$
Den masse turbulente kinetiske energien k er gitt av integrasjonen over hele spekteret:
${\ displaystyle k = {\ frac {1} {2}} \ langle u_ {i} u_ {i} \ rangle = {\ frac {1} {2}} R_ {ii} (0, t) = \ int _ {0} ^ {\ infty} E (\ kappa) \ mathrm {d} \ kappa}$
Spredningshastigheten er definert av:
${\ displaystyle \ varepsilon = \ langle \ tau _ {ij} ^ {2} \ rangle = 2 \ nu \ int _ {0} ^ {\ infty} k ^ {2} E (k) \ mathrm {d} k }$
hvor ν er den kinematiske viskositeten og τ ij tensoren til de viskøse spenningene.

Vi merker at de store verdiene av k (de små virvlene) hovedsakelig bidrar til spredningen.

Generelt kan vi skrive en transportligning på k inkludert produksjonsbetingelser, diffusjon og spredning. I vårt tilfelle er homogeniteten til mediet og det faktum at diffusjonen ikke endrer den integrerte energien over hele spekteret, gjør det mulig å skrive likevektsproduksjonen = dissipasjon.

Turbulent foss

Lewis Fry Richardson beskrev kvalitativt i 1922 prosessen der en vortex overfører energi til mindre virvler. Denne prosessen, kalt "Richardson-kaskaden", gjelder skalaer der treghetsbegreper er dominerende og energioverføring skjer gjennom ligningenes ikke-lineære termer. Produksjonen-spredning likevekt resulterer i en selv-likheten av fenomenet for den sentrale del av energispektret.

Faktisk har dette spekteret tre deler:

de store virvler som er avtrykk av det spesifikke problemet vi er interessert i,
den såkalte "inertielle" selvlignende delen der energien diffunderes hovedsakelig fra store skalaer til mindre, ledsaget av ubetydelig spredning,
små skalaer hvor spredning dominerer og som derfor begrenser spekteret på siden av store verdier av k.

I 1941 publiserte Andrei Kolmogorov en serie på fire artikler som gjorde det mulig å karakterisere den sentrale delen av spekteret. Denne teorien kalt K41 er basert på følgende antagelser:

H 1 ) for tilstrekkelig store Reynolds-tall avhenger alle egenskapene bare av de skalære størrelsene ν og ε, noe som innebærer isotropien til turbulensen,
H 2 ) avhengigheten i ν forsvinner for de største virvler.

Dissipativ region

Spredningsskalaen (eller Kolmogorov-dimensjonen ) l d og den tilsvarende hastigheten u d blir enkelt beregnet: de tilsvarer et Reynolds-tall nær enhet:

{\ displaystyle Re = {\ frac {l_ {d} u_ {d}} {\ nu}} = 1}

Ved hjelp av den hypotesen H 1 de dimensjonsanalyse viser at dager og u for å begynne på formen:

{\ displaystyle l_ {d} \ sim \ nu ^ {\ frac {3} {4}} \ varepsilon ^ {- {\ frac {1} {4}}} \ ,, \; \; \; u_ {d } \ sim (\ varepsilon \ nu) ^ {\ frac {1} {4}}}

Vi sjekker at dette tilsvarer et konstant Reynolds-tall.

Treghetsregion

I treghetsdelen er avhengigheten av ν ubetydelig. Energitettheten E (k) er bare en funksjon av k og ε. Også her viser dimensjonsanalysen at den er skrevet i form:

{\ displaystyle E (k) = C_ {K} \ varepsilon ^ {\ frac {2} {3}} k ^ {- {\ frac {5} {3}}}}

der C K er Kolmogorov-konstanten , eksperimentelt nær enhet.

Full skala

Fra en viss skala som kalles "integral skala", avhenger spektret av problemet. Siden den dissipative regionen ikke er avhengig av den for en gitt viskositet, er treghetsregionen mer eller mindre omfattende, typisk en til fire størrelsesordener over k.

Merknader

Dette ekskluderer ikke muligheten for å parre små virvler for å skape en større vortex.
K for Kolmogorov og 41 for 4 artikler publisert i 1941.

Referanser

(in) SF Richardson , værforutsigelse ved numeriske prosesser , Cambridge University Press ,1922
(in) AN Kolmogorov , " Den lokale strukturen av turbulens i ukomprimerbar tyktflytende væske for veldig stort Reynolds-nummer " , Proceedings of the USSR Academy of Sciences , vol. 30,1941, s. 9-13 ( les online )
(in) AN Kolmogorov , " On the Degeneration of Isotropic Turbulence in Fluid Viscous Incompressible year " , Proceedings of the USSR Academy of Sciences , vol. 31,1941, s. 319-323 ( DOI 10.1007 / 978-94-011-3030-1_46 )
(in) AN Kolmogorov , " Dissipation of energy in locally isotropic turbulence " , Proceedings of the USSR Academy of Sciences , vol. 32,1941, s. 16-18 ( les online )
(in) AN Kolmogorov , " Equations of turbulent motion in an incompressible fluid " , Proceedings of the USSR Academy of Sciences , vol. 4,1941, s. 299-303
(in) SB Pope, Turbulent Flows , Cambridge University Press ,2000
Damien Violeau, " Grunnlaget for turbulens " , om ENPC

Se også

Enstrofi

Eksterne linker

Isabelle Gallagher, " Kolmogorov, turbulensens spøkelse " , på Bibliothèque nationale de France
Olivier Cadot, “ Introduction to turbulence ” , på HAL
(en) Gregory Falkovich, " Cascade and scaling " , på Scholarpedia
(en) Roberto Benzi og Uriel Frisch , " Turbulens " , på Scholarpedia
(no) Carlos Gavilán Moreno, Turbulens, vibrasjoner, støy og væskeinstabilitet. Praktisk tilnærming. , INTECH ( ISBN 978-953-7619-59-6 , les online )