Kvasimetrisk rom
I matematikk generaliserer begrepet kvasimetrisk rom det metriske rommet . Kvasidavstander eller kvasimetriske, ikke nødvendigvis symmetriske, er hyppige i hverdagen, men sjelden brukt i matematikk, og ordforrådet er svingende.
Definisjon
En kvasimetrisk (eller kvasimetrisk funksjon ) på et sett er et programE{\ displaystyle E}
d:E×E→R+{\ displaystyle \ mathrm {d}: E \ ganger E \ til \ mathbb {R} _ {+}}slik at for alt ,
x,y,z∈E{\ displaystyle x, y, z \ i E}
-
d(x,y)=0⟺x=y{\ displaystyle \ mathrm {d} (x, y) = 0 \ iff x = y} (atskillelse);
-
d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z){\ displaystyle \ mathrm {d} (x, z) \ leq \ mathrm {d} (x, y) + \ mathrm {d} (y, z)}( trekantet ulikhet );
Et kvasimetrisk rom er et sett utstyrt med et kvasimetrisk .
(E,d){\ displaystyle \ left (E, \ mathrm {d} \ right)}E{\ displaystyle E}d{\ displaystyle \ mathrm {d}}
Merknader:
- En symmetrisk kvasimetrisk er en avstand .
- Enhver kvasimetrisk induserer en avstand ved å stille:d{\ displaystyle \ mathrm {d}}d′{\ displaystyle \ mathrm {d} '}
d′(x,y)=d(x,y)+d(y,x)2{\ displaystyle \ mathrm {d} '\ left (x, y \ right) = {\ frac {\ mathrm {d} \ left (x, y \ right) + \ mathrm {d} \ left (y, x \ høyre)} {2}}}.
Eksempel
Betrakt et system av veier , hvorav noen er muligens enveis: avstanden fra ett sted til et annet via veien er en kvasi-metrisk.
Merknader og referanser
-
Quasimétriques definert i (i) Lynn Arthur Steen og J. Arthur Seebach, Jr. , moteksempler i Topology , New York, Dover ,1995, 2 nd ed. ( 1 st ed. 1970), 244 s. , lomme ( ISBN 978-0-486-68735-3 , les online ). I (på) Stefan Rolewicz , Funksjonsanalyse og kontrollteori: Lineære systemer , Dordrecht, Springer ,1987, 524 s. ( ISBN 978-90-277-2186-0 , les online )
de kalles semimetrisk , men dette begrepet brukes allerede ofte om to andre generaliseringer av begrepet metrisk rom: se semimetrisk rom og pseudometrisk rom .
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">