Separat rom
I matematikk er et eget rom , også kalt Hausdorff-rom , et topologisk rom der to forskjellige punkter alltid innrømmer usammenhengende nabolag . Denne tilstanden kalles også aksiom T 2 innenfor separasjonens aksiomer .
Navnet refererer til Felix Hausdorff , en tysk matematiker og en av grunnleggerne av topologi , som inkluderte denne tilstanden i sin opprinnelige definisjon av topologisk rom.
Denne egenskapen til separasjon tilsvarer det unike med grensen til ethvert konvergent filter (eller det som tilsvarer det samme: av en hvilken som helst konvergent generalisert sekvens ).
Eksempler og moteksempler
Alt metrisk område er atskilt. To punkter som ligger på avstand L fra hverandre, innrømmer faktisk at kuler med radius L / 3 som usammenhengende nabolag er sentrert på hver av dem.
Ethvert diskret rom er atskilt, hver singleton utgjør et nabolag av sitt element. Spesielt er en diskret utallige plass er adskilt og ikke kan skilles .
Rekkefølgen topologi forbundet med en total orden er atskilt.
Eksempler på useparerte mellomrom er gitt av:
- ethvert sett med minst to elementer og utstyrt med grov topologi (alltid adskilt );
- en hvilken som helst uendelig sett utrustet med den ko-finite topologi (som likevel tilfredsstiller det aksiom T 1 av tilgjengelig plass );
- noen ringspektre utstyrt med Zariski topologi .
Hovedegenskaper
- For en hvilken som helst funksjon f med verdier i en egen plass, og et hvilket som helst punkt et vedheftende til det domenet av definisjonen av f , den grense for f ved en , hvis den finnes, er unik. Denne egenskapen tilsvarer det unike med grensen til ethvert konvergent filter (eller en hvilken som helst konvergent generalisert sekvens) med verdier i dette rommet.
- Spesielt er grensen for en verdisekvens i et eget rom, hvis den eksisterer, unik.
- To kontinuerlige kartlegginger med verdier i et separat som sammenfaller på en tett del er like. Mer eksplisitt: hvis Y er atskilt, hvis f , g : X → Y er to sammenhengende kart, og hvis det eksisterer en tett del D i X slik atså
- En finere topologi enn en egen topologi er alltid separat.
- Ethvert underområde av et eget rom er atskilt.
- Et produkt av upålitelige topologiske mellomrom skilles fra hvis og bare hvis hver av dem er.
På den annen side er en romkvotient av et eget rom ikke alltid separat.
- X skilles hvis og bare hvis diagonalen {( x , x ) | i produktområdet X × X x ∈ X } er stengt .
- Den graf av en kontinuerlig kart f : X → Y er stengt i X x Y så snart som Y blir skilt fra. (Faktisk er diagonalen til Y deretter lukket i Y × Y, derfor er grafen til f , gjensidig bilde av dette lukket av det kontinuerlige kartet f × id Y : ( x , y ) ↦ ( f ( x ), y ), lukket i X × Y. ) “Den” gjensidige er falsk, i den forstand at en lukket grafkartlegging ikke nødvendigvis er kontinuerlig, selv om ankomstrommet er separat.
- X er atskilt hvis og bare hvis skjæringspunktet mellom de lukkede nabolagene til x for hvilket som helst punkt x av X blir redusert til singleton { x } (som fører til separasjonen T 1 : skjæringspunktet mellom alle nabolagene til x er redusert i singleton).
Lokalt eget rom
Et topologisk rom X er lokalt skilt når et punkt i X innrømmer et eget nabolag.
En slik plass er alltid T 1 , men er ikke nødvendigvis skilt eller bare på en enkelt sekvensiell grense . Vi kan for eksempel vurdere den virkelige linjen som er utstyrt med sin vanlige topologi og legge til et punkt 0 '(som kloner det virkelige 0) hvis nabolag er nabolagene 0 der vi erstatter 0 med 0'. I dette rommet konvergerer sekvensen (1 / n ) mot både 0 og 0 '.
Merknader og referanser
- For en demonstrasjon, se for eksempel .
- Tatt i betraktning hvilken som helst sekvens som en funksjon definert på to, som punktet følger ved ℕ ∪ {+ ∞} utstyrt med ordens topologi .
- Det er også en konsekvens av fakta (demonstrert i artikkelen Axiom of separation (topology) ) at ethvert atskilt rom er KC og alt KC-rom har en unik sekvensiell grense.
- For en demonstrasjon, se for eksempel .
