Ball (topologi)

I topologi er en ball en bestemt type nabolag i et metrisk rom . Navnet fremkaller med rette den faste kulen i det vanlige tredimensjonale rommet, men forestillingen er generalisert blant annet til rom med større (eller mindre) dimensjon eller av ikke- euklidisk norm . I dette tilfellet er det mulig at en ball ikke er "rund" i den vanlige forstanden av begrepet.

Generell definisjon

I det vanlige rommet som i alle metriske områder : $(E, d)$

den lukkede ballen sentrert på et punkt og med reell radius er settet med punkter hvis avstand til er mindre enn eller lik : $P$ $r \,$ ${\ displaystyle B '(P, r)}$ $P$ $r$

{\ displaystyle {\ mathcal {B}} '(P, r): = \ left \ {M \ i E \, \ mid \, d (M, P) \ leq r \ right \}}

;

den tilsvarende åpne ballen er settet med poeng hvis avstand til er strengt mindre enn : ${\ displaystyle B (P, r) \,}$ $P$ $r$

{\ displaystyle {\ mathcal {B}} (P, r): = \ left \ {M \ i E \, \ mid \, d (M, P) <r \ right \}}

I et normalisert vektorrom er den åpne enhetsballen den åpne ballen sentrert i utgangspunktet og med radius 1 (på samme måte er den lukkede enhetsballen den lukkede ballen ). ${\ displaystyle B (0,1)}$ ${\ displaystyle B '(0,1)}$

Kulene til et euklidisk plan kalles også skiver .

Merk: definisjonen av kuler kan utvides til pseudometriske mellomrom som generaliserer begrepet metrisk rom.

Eksempler i todimensjonalt rom

I todimensjonalt rom , for de følgende tre standardene, har de tilsvarende kulene med radius 1 forskjellige former. $\ mathbb {R} ^ {2}$

den standard en : $\ | \ mathbf {x} \ | _ {1} = | x_ {1} | + | x_ {2} |$
den euklidiske normen : $\ | \ mathbf {x} \ | _ {2} = {\ sqrt {| x_ {1} | ^ {2} + | x_ {2} | ^ {2}}}$
den "uendelige" standarden : $\ | \ mathbf {x} \ | _ {\ infty} = \ max \ left (| x_ {1} |, | x_ {2} | \ right).$

Eiendommer

En åpen ball er alltid en åpen av det metriske rommet der den er definert. På samme måte er en lukket ball alltid en lukket .
En åpen ball med streng positiv radius har et ikke-tomt interiør (siden dette interiøret er selve ballen).
Alle baller i et metrisk rom er avgrensede deler .
I et normalisert vektorrom er alle åpne (resp. Lukkede) baller med strengt positive radier like ved oversettelse og homøthet, og enhver ball er symmetrisk med hensyn til sentrum.
I et reelt normalisert vektorrom er kulene konvekse .
I et reelt normalisert vektorrom er det indre av en lukket kule den åpne kulen med samme senter og samme radius, og vedheftet til en ikke-tom åpen ball er den tilsvarende lukkede kulen (derav grensen d 'en ikke- tom kule er den tilsvarende sfæren ). I et hvilket som helst metrisk område har vi bare:

{\ overline {B (P, r)}} \ subset {\ overline {B '(P, r)}} = B' (P, r) \ qquad {\ rm {and}} \ qquad \ operatorname {Int } (B '(P, r)) \ supset \ operatorname {Int} (B (P, r)) = B (P, r).

Eksempler på eksotiske baller

I det virkelige tredimensjonale rommet som er utstyrt med den uendelige normen , har kulene en kubisk form med flater vinkelrett på aksene.
I et diskret rom (utstyrt med den diskrete avstanden) er en hvilken som helst del (spesielt en hvilken som helst åpen kule og en hvilken som helst lukket kule) en åpen-lukket .
I et rom utstyrt med en ultrametrisk avstand (som ringen Z p av p -adiske heltall eller mellomrommet N N for sekvensene av heltall ), er kulene åpen-lukket, hvilket som helst punkt i en ball er et senter, og hvis to baller møtes , det ene er inneholdt i det andre.

bruk

En del av et metrisk rom er avgrenset hvis og bare hvis det er inneholdt i en ball.
En del av et metrisk rom er åpent hvis og bare hvis det er møtet med de åpne ballene det inneholder.
I et skillbart metrisk rom (for eksempel et euklidisk rom ) er alt åpent en tellbar forening av åpne baller .
Kulene (åpne eller lukkede) med samme senter og strengt positive radier danner et grunnleggende system av nabolag i dette senteret. Ved å begrense oss til en serie med vilkårlig små radier, får vi til og med et tellbart grunnleggende system av nabolag.
Den Riesz kompakthet teorem angir at en ekte vektorrom blir normalisert endelig dimensjonal hvis og bare hvis dens lukkede enhet ball er kompakt .

Relatert artikkel

Sfære