Tangentrom (algebraisk geometri)
I algebraisk geometri kan vi definere begrepet tangensrom (av Zariski ) uten å gjøre (eksplisitt) en differensialregning . Det er på en måte en første tilnærming til den lokale strukturen i diagrammet .
Definisjon for en lokal ring
Enten A en lokal ring med maksimal ideelle M . Enten den kroppen rest av A . For a ∈ A og m , m ' ∈ M , merker vi det
kPÅ=PÅ/M{\ displaystyle k_ {A} = A / M}
(på+m′)m=påm+m′m≡påmmodM2{\ displaystyle (a + m ') m = am + m'm \ equiv am \ mod M ^ {2}}med M 2 det ideelle produktet av M i seg selv. Dermed er kvotienten til A- moduler et -vektorrom; det kalles cotangent space og dets doble tangens Zariski space of . Legg merke til det .
M/M2{\ displaystyle M / M ^ {2}}kPÅ{\ displaystyle k_ {A}}PÅ{\ displaystyle A}TPÅ{\ displaystyle T_ {A}}
Vi har følgende isomorfisme:
ϕ:MM2→M⊗PÅkPÅm¯↦m⊗PÅ1{\ displaystyle {\ begin {array} {rcl} \ phi: {\ frac {M} {M ^ {2}}} & \ to & M \ otimes _ {A} k_ {A} \\ {\ overline { m}} & \ mapsto & m \ otimes _ {A} 1 \ end {array}}}med tensorproduktet til A- moduler. Disse vektorområdene har en endelig dimensjon hvis A ikke er eterisk fordi M da er en endelig type modul.
⊗PÅ{\ displaystyle \ otimes _ {A}}
Hvis er en homomorfisme av lokale ringer fra Noetherian , har vi kanonisk et -linjært kart .
PÅ→B{\ displaystyle A \ til B}kB{\ displaystyle k_ {B}}TB→(TPÅ⊗kB){\ displaystyle T_ {B} \ to (T_ {A} \ otimes k_ {B})}
Vi vet at tangenten plass dimensjon av en lokal Noetherian ring alltid undervurdert av Krull dimensjon av . Per definisjon sies den lokale ringen å være vanlig hvis det er likeverd.
PÅ{\ displaystyle A}PÅ{\ displaystyle A}PÅ{\ displaystyle A}
Tilfellet med diagrammer
La være et punkt i et diagram . La være det maksimale idealet til den lokale ringen av en . Husk at kroppen er gjenværende kropp i . Zariskis tangensrom de en er per definisjon tangensområdet til den lokale ringen . Vi merker det .
x{\ displaystyle x} X{\ displaystyle X}mx{\ displaystyle m_ {x}}OX,x{\ displaystyle O_ {X, x}}X{\ displaystyle X}x{\ displaystyle x}k(x)=OX,x/mx{\ displaystyle k (x) = O_ {X, x} / m_ {x}}x{\ displaystyle x}X{\ displaystyle X}x{\ displaystyle x}OX,x{\ displaystyle O_ {X, x}}TX,x{\ displaystyle T_ {X, x}}
Konstruksjonen av tangensrom er funksjonell for Noetherian-ordninger. Hvis er en morfisme av Noetherian-ordninger, induserer kanonisk et lineært kart , hvor . Denne applikasjonen er en tangent anvendelse av en , som noen ganger blir notert . Når (for eksempel hvis det er algebraiske varianter over et felt og hvis det er et rasjonelt punkt ), er det et program .
f:X→Y{\ displaystyle f: X \ til Y}f{\ displaystyle f}TX,x→TY,y⊗k(y)k(x){\ displaystyle T_ {X, x} \ til T_ {Y, y} \ otimes _ {k (y)} k (x)}y=f(x){\ displaystyle y = f (x)}f{\ displaystyle f}x{\ displaystyle x}Tf,x{\ displaystyle T_ {f, x}}k(y)=k(x){\ displaystyle k (y) = k (x)}X,Y{\ displaystyle X, Y}x{\ displaystyle x}X{\ displaystyle X}TX,x→TY,y{\ displaystyle T_ {X, x} \ til T_ {Y, y}}
Eksempler
- Det tangente rommet til det affine rommet på en kropp på et rasjonelt punkt er av dimensjon .PÅikke{\ displaystyle A ^ {n}}k{\ displaystyle k}ikke{\ displaystyle n}
- Anta k algebraisk lukket for enkelhets skyld. Enten . Da er tangensrommet til punktet et k- vektorrom av dimensjon 2. Det er av dimensjon 1 ved de andre lukkede punktene, av dimensjon 0 ved det generiske punktet.X=Ssevs.(k[u,v]/(u2-v3)){\ displaystyle X = {\ rm {Spec}} (k [u, v] / (u ^ {2} -v ^ {3}))}X{\ displaystyle X}u=v=0{\ displaystyle u = v = 0}
For alle lokale Noetherian-ordninger og for ethvert punkt av , har vi
X{\ displaystyle X}x{\ displaystyle x}X{\ displaystyle X}
SolOX,x≤Solk(x)TX,x.{\ displaystyle \ dim O_ {X, x} \ leq \ dim _ {k (x)} T_ {X, x}.}
Den venstre dimensjonen er Krull-dimensjonen til den lokale ringen , den høyre dimensjonen er vektordimensjonen. Likhet definerer de vanlige poengene for .
OX,x{\ displaystyle O_ {X, x}}X{\ displaystyle X}
Tangentfiber
Hvis er et jevnt dimensjoneringsskjema over et felt , slik at skiven med relative differensialer over er en rangvektorbunt , så er den dobbelte skiven også en rangvektorbunt . For ethvert rasjonelt punkt har vi en kanonisk isomorfisme
X{\ displaystyle X}ikke{\ displaystyle n}k{\ displaystyle k}ΩX/k{\ displaystyle \ Omega _ {X / k}}X{\ displaystyle X}ikke{\ displaystyle n}ΩX/k∨{\ displaystyle \ Omega _ {X / k} ^ {\ vee}}ikke{\ displaystyle n}x{\ displaystyle x}
- ΩX/k∨⊗OX,xk(x)→TX,x.{\ displaystyle \ Omega _ {X / k} ^ {\ vee} \ otimes _ {O_ {X, x}} k (x) \ to T_ {X, x}.}
Så intuitivt danner tangensrommene en vektorpakke ovenfor .
X{\ displaystyle X}
Tangentrom av et lukket underdiagram, Jacobian kriterium
Hvis er en lukket nedsenking, så for ethvert punkt av , har vi og karttangenten er injektiv.
Jeg:Z→X{\ displaystyle i: Z \ til X}x{\ displaystyle x}Z{\ displaystyle Z}k(x)=k(Jeg(x)){\ displaystyle k (x) = k (i (x))}TJeg,x{\ displaystyle T_ {i, x}}
Eksempel Vi tar for det affine rom av dimensjon over et felt og den lukkede undervarianten definert av polynomer med variabler. La være et rasjonelt poeng med . For ethvert polynom , betegn den lineære formen påX{\ displaystyle X}ikke{\ displaystyle n}k{\ displaystyle k}Z{\ displaystyle Z}F1,...,Fm{\ displaystyle F_ {1}, \ ldots, F_ {m}}ikke{\ displaystyle n}x{\ displaystyle x}Z{\ displaystyle Z}F=F(T1,...,Tikke){\ displaystyle F = F (T_ {1}, \ ldots, T_ {n})}DxF{\ displaystyle D_ {x} F}kikke{\ displaystyle k ^ {n}}
DxF(t1,...,tikke)=∑Jeg(∂F/∂TJeg)(x)tJeg.{\ displaystyle D_ {x} F (t_ {1}, \ ldots, t_ {n}) = \ sum _ {i} ({\ partial F} / {\ partial T_ {i}}) (x) t_ { Jeg}.}
Det er differensialet iF{\ displaystyle F}x{\ displaystyle x} . Etter å ha identifisert tangentområdet til in med , har vi en isomorfisme med skjæringspunktet mellom vektordelområdene:
X{\ displaystyle X}x{\ displaystyle x}kikke{\ displaystyle k ^ {n}}TZ,x{\ displaystyle T_ {Z, x}}
{t=(t1,...,tikke)∣DxFj(t)=0},j=1,2,...,m.{\ displaystyle \ {t = (t_ {1}, \ ldots, t_ {n}) \ mid D_ {x} F_ {j} (t) = 0 \}, j = 1,2, \ dots, m. }
Dvs .
TZ,x=⋂j=1mkerDxFj{\ displaystyle T_ {Z, x} = \ bigcap _ {j = 1} ^ {m} \ ker D_ {x} F_ {j}}
La være matrisen hvis linjer representerer lineære former . Så har vi (dette er rangsetningen til det lineære kartet ).
Jpåvs.x(F1,...,Fm){\ displaystyle {\ rm {Jac}} _ {x} (F_ {1}, \ ldots, F_ {m})}m×ikke{\ displaystyle m \ times n}DxF1,...,DxFm{\ displaystyle D_ {x} F_ {1}, \ ldots, D_ {x} F_ {m}}SolTZ,x+rg(Jpåvs.x(F1,...,Fm))=ikke{\ displaystyle \ dim T_ {Z, x} + {\ rm {rg}} ({\ rm {Jac}} _ {x} (F_ {1}, \ ldots, F_ {m})) = n}Dx(F1,...,Fm){\ displaystyle D_ {x} (F_ {1}, \ ldots, F_ {m})}
Theorem - (Jacobian Criterion) Den algebraisk variasjon er vanlig på en rasjonell punkt hvis og bare hvis rang av Jacobian i likemenn .
Z=Ssevs. k[T1,...,Tikke]/(F1,...,Fm){\ displaystyle Z = {\ rm {Spec}} \ k [T_ {1}, \ ldots, T_ {n}] / (F_ {1}, \ ldots, F_ {m})}x{\ displaystyle x}Jpåvs.x(F1,...,Fm){\ displaystyle {\ rm {Jac}} _ {x} (F_ {1}, \ ldots, F_ {m})}x{\ displaystyle x}ikke-SolOZ,x{\ displaystyle n- \ dim O_ {Z, x}}
Eksempel Hvis er en overflate definert av et ikke-null polynom . Da er det regelmessig på et rasjonelt punkt hvis og bare hvis den Jacobianske matrisen er av rang 1. Hvilket tilsvarer å si at en av delderivatene av en ikke er null. Derfor er en jevn algebraisk manifold hvis og bare hvis og dens delvise derivater genererer den ideelle enheten i .
Z{\ displaystyle Z}F(T1,...,Tikke){\ displaystyle F (T_ {1}, \ ldots, T_ {n})}Z{\ displaystyle Z}x{\ displaystyle x}x{\ displaystyle x}F{\ displaystyle F}x{\ displaystyle x}Z{\ displaystyle Z}F{\ displaystyle F}k[T1,...,Tikke]{\ displaystyle k [T_ {1}, \ ldots, T_ {n}]}
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">