Vanlig lokal ring

I matematikk , faste ringer danner en klasse av ringer som er meget nyttig i algebraisk geometri . Dette er ringer som er lokalt så nær som mulig ringene til polynomer på et felt.

Definisjon

La være en lokal Noetherian- ring med maksimalt ideal . La det tangente Zariski-rommet være dets endelige dimensjonale vektorrom på restfeltet . Denne dimensjonen reduseres av Krull-dimensjonen til ringen . Vi sier at det er vanlig hvis det er likhet mellom disse to dimensjonene: PÅ{\ displaystyle A} M{\ displaystyle M}(M/M2)∗{\ displaystyle (M / M ^ {2}) ^ {*}}k=PÅ/M{\ displaystyle k = A / M} Sol⁡PÅ{\ displaystyle \ dim A}PÅ{\ displaystyle A}PÅ{\ displaystyle A}

Solk⁡(M/M2)=Sol⁡PÅ.{\ displaystyle \ dim _ {k} (M / M ^ {2}) = \ dim A.}

Ved Nakayamas lemma tilsvarer dette å si det som genereres av elementer. Ethvert system med generatorer med elementer kalles da et system med vanlige parametere for . M{\ displaystyle M}d: =Sol⁡PÅ{\ displaystyle d: = \ dim A}M{\ displaystyle M}d{\ displaystyle d}PÅ{\ displaystyle A}

En lokal ring som ikke er vanlig sies å være entall .

Teorem  -  La være en vanlig Noetherian lokal ring. Så for ethvert hovedideal av , er det lokaliserte (som er en lokal ring av maksimalt ideal ) vanlig. PÅ{\ displaystyle A}s{\ displaystyle p}PÅ{\ displaystyle A} PÅs{\ displaystyle A_ {p}}sPÅs{\ displaystyle pA_ {p}}

Vi sier at en Noetherian enhetlig kommutativ ring er vanlig hvis for ethvert hovedideal av , er Noetherian lokale ring vanlig. PÅ{\ displaystyle A}s{\ displaystyle p}PÅ{\ displaystyle A}PÅs{\ displaystyle A_ {p}}

Eksempler

• Hver hovedring er vanlig. Faktisk er lokaliseringen av en slik ring i et primideal enten et felt (hvis primidealet er 0), eller en lokal lokalring, i hvilket tilfelle dimensjonen til ringen og dimensjonen til det tangente rommet er lik 1 begge .
• Hvis A er integrert av dimensjon 1, er A vanlig hvis og bare hvis den er integrert lukket (dvs. at ethvert element i brøkfeltet til et heltall på A nødvendigvis tilhører A ). Så dette tilsvarer hva A er fra Dedekind .
• En ring av formell serie k [[ T 1 ,…, T n ]] med koeffisienter i et felt k er vanlig.
• Det jakobiske kriteriet gir regelmessige lokaliseringer av endelige algebraer på et felt.

Regelmessighetskriterier

La være en vanlig lokal ring fra Noetherian. PÅ{\ displaystyle A}

• La være et skikkelig ideal for . Da er det vanlig hvis og bare hvis det genereres av en del av et vanlig system med parametere .Jeg{\ displaystyle I}PÅ{\ displaystyle A}PÅ/Jeg{\ displaystyle A / I}Jeg{\ displaystyle I}PÅ{\ displaystyle A}

• Den ring av polynomer med variable koeffisienter med i et felt er vanlig. Mer generelt er ringen av polynomer vanlig.ikke{\ displaystyle n}k{\ displaystyle k}PÅ[T1,...,Tikke]{\ displaystyle A [T_ {1}, \ ldots, T_ {n}]}

• Den formelle fullførte  (in) av er en vanlig lokal ring.PÅ^{\ displaystyle {\ hat {A}}}PÅ{\ displaystyle A}

• Hvis er flatt over en lokal Noetherian subring , så er det vanlig.PÅ{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}B{\ displaystyle B}

Egenskaper for vanlige lokale ringer

La være en vanlig lokal ring av dimensjon . PÅ{\ displaystyle A}d{\ displaystyle d}

• PÅ{\ displaystyle A} er komplett og helt lukket.

• PÅ{\ displaystyle A}er faktoriell , i henhold til Auslander-Buchsbaum teorem  (en) .

• PÅ{\ displaystyle A}er en Cohen-Macaulay-ring .

• La vær den - gradert algebra assosiert med . Da er isomorf til (gradert av total grad).Gr(PÅ)=⊕ikke≥0Mikke/Mikke+1{\ displaystyle {\ rm {Gr}} (A) = \ oplus _ {n \ geq 0} M ^ {n} / M ^ {n + 1}}k{\ displaystyle k}M{\ displaystyle M}Gr(PÅ){\ displaystyle {\ rm {Gr}} (A)}k[T1,...,Td]{\ displaystyle k [T_ {1}, \ ldots, T_ {d}]}

Bibliografiske referanser

• N. Bourbaki , Commutative Algebra , Masson 1983. Kapittel VIII, § 5.
• H. Matsumura, kommutativ algebra , andre utgave, The Benjamin / Cummings Publ. Company, 1980. Kapittel 7.

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">