Symplektisk vektorrom

I algebra , et vektorrom er symplectic når den er forsynt med en symplectic skjema , det vil si en alternativ og ikke-degenererte bilineær formen . Studien av disse vektorområdene presenterer noen likheter med studiet av virkelige prehilbertiske rom, siden vi også definerer begrepet ortogonalitet . Men det er sterke forskjeller, ikke bare fordi hver vektor er ortogonal mot seg selv.

Symplektiske vektorrom fungerer som modeller for å definere symplektiske manifolder , studert i symplektisk geometri . Sistnevnte er den naturlige rammen for Hamilton-mekanikken .

Et komplekst prehilbertisk vektorrom er automatisk utstyrt med en symplektisk struktur som et reelt vektorrom. Når det gjelder varianter, er den analoge forestillingen om Kähler-varianten .

Definisjon

La være et vektorrom på reelle tall (det generelle tilfellet vil bli presentert nedenfor). En symplektisk form på er en alternerende og ikke-degenerert bilinær form , dvs. V{\ displaystyle V}V{\ displaystyle V}ω:V×V→R{\ displaystyle \ omega: V \ ganger V \ til \ mathbb {R}}

• vi har den alternative karakteren ω(u,u)=0,∀u∈V{\ displaystyle \ omega (u, u) = 0, \ quad \ forall u \ in V}

som noen ganger erstattes av antisymmetri : (disse to egenskapene er ekvivalente);ω(u,v)=-ω(v,u),∀u,v∈V{\ displaystyle \ omega (u, v) = - \ omega (v, u), \ quad \ for all u, v \ in V}

• og nondegeneracy : .u≠0⟹ω(u,⋅)≠0{\ displaystyle u \ neq 0 \ innebærer \ omega (u, \ cdot) \ neq 0}

Et symplektisk vektorrom er et vektorrom utstyrt med en symplektisk form  . (V,ω){\ displaystyle (V, \ omega)}V{\ displaystyle V}ω{\ displaystyle \ omega}

To vektorer sies å være (symplektisk) ortogonale når . Ved vekslende karakter av , er hvilken som helst vektor av vinkelrett på seg selv. u,v∈V{\ displaystyle u, v \ in V}ω(u,v)=0{\ displaystyle \ omega (u, v) = 0}ω{\ displaystyle \ omega}v{\ displaystyle v}V{\ displaystyle V}

Proposisjon: Ethvert symplektisk vektorrom med endelig dimensjon har jevn ekte dimensjon.

Demonstrasjon

La være et endelig dimensjonalt symplektisk vektorrom. La være en reell vektor grunnlag av . La være den representative matrisen til , dvs. for . Siden er ikke-degenerert, er matrisen inverterbar og har derfor en ikke-null determinant . Siden er antisymmetrisk, matrisen er antisymmetrisk . Vi vet at determinanten for en antisymmetrisk matrise med odde orden er null, noe som er umulig. Derfor er av jevn dimensjon.(V,ω){\ displaystyle (V, \ omega)}(v1,...,vikke){\ displaystyle (v_ {1}, ..., v_ {n})}V{\ displaystyle V}[ωJeg,j]{\ displaystyle [\ omega _ {i, j}]}ω{\ displaystyle \ omega}ωJeg,j: =ω(vJeg,vj){\ displaystyle \ omega _ {i, j}: = \ omega (v_ {i}, v_ {j})}Jeg,j=1,...,ikke{\ displaystyle i, j = 1, ..., n}ω{\ displaystyle \ omega}[ωJeg,j]{\ displaystyle [\ omega _ {i, j}]}ω{\ displaystyle \ omega}[ωJeg,j]{\ displaystyle [\ omega _ {i, j}]}V{\ displaystyle V}◻{\ displaystyle \ square}

Merk  : begrepet representativ matrise av en symplektisk form er ikke identisk med begrepet symplektisk matrise .

Standard symplektisk vektorrom

Referansesymplektisk vektorrom er rommet der den kanoniske formen på kanonisk grunnlag tilfredsstiller relasjonene (R2ikke,ω){\ displaystyle (\ mathbb {R} ^ {2n}, \ omega)}(e1,...,eikke,f1,...,fikke){\ displaystyle (e_ {1}, \ ldots, e_ {n}, f_ {1}, \ ldots, f_ {n})}ω{\ displaystyle \ omega}

ω(eJeg,fj)=-ω(fj,eJeg)=δJegj{\ displaystyle \ omega (e_ {i}, f_ {j}) = - \ omega (f_ {j}, e_ {i}) = \ delta _ {ij} \,} ω(eJeg,ej)=ω(fJeg,fj)=0{\ displaystyle \ omega (e_ {i}, e_ {j}) = \ omega (f_ {i}, f_ {j}) = 0 \,}.

Den matriserepresentasjon av den standard symplektiske formen er da:

[ωJeg,j]=[0Jegikke-Jegikke0]{\ displaystyle [\ omega _ {i, j}] = {\ begin {bmatrix} 0 & I_ {n} \\ - I_ {n} & 0 \ end {bmatrix}}}

hvor betegner den størrelse identitetsmatrisen . Jegikke{\ displaystyle I_ {n}}ikke×ikke{\ displaystyle n \ times n}

Det er på en eller annen måte koblede retninger  : hver er ortogonal mot alle basisvektorer unntatt . eJeg{\ displaystyle e_ {i}}fJeg{\ displaystyle f_ {i}}

En variant av Gram-Schmidt-ortonormaliseringsprosessen gjør det mulig å vise at ethvert endelig dimensjonalt symplektisk vektorrom har et slikt grunnlag, som vi generelt gir navnet Darboux-basis .

Vector delområder

La være et symplektisk vektorrom. La være et vektorunderrom av . Den vinkelrette (symplektiske) av er per definisjon vektordelen (V,ω){\ displaystyle (V, \ omega)}W⊂V{\ displaystyle W \ delmengde V}V{\ displaystyle V}W{\ displaystyle W}

Wω: ={v∈V|ω(v,w)=0,∀w∈W}{\ displaystyle W ^ {\ omega}: = \ {v \ in V | \ omega (v, w) = 0, \ forall w \ in W \}}.

Vektorunderområdet sies: W{\ displaystyle W}

• symplektisk hvisW∩Wω={0}{\ displaystyle W \ cap W ^ {\ omega} = \ {0 \}}
• isotropisk hvisW⊂Wω{\ displaystyle W \ subset W ^ {\ omega}}
• koisotropisk hvisWω⊂W{\ displaystyle W ^ {\ omega} \ subset W}
• Lagrangian siWω=W{\ displaystyle W ^ {\ omega} = W}

Enhver Lagrange vektor underrom av IS: W{\ displaystyle W}(V,ω){\ displaystyle (V, \ omega)}

• (maksimal) isotropisk
• (minimal) koisotropisk
• av dimensjonen halvparten av den .V{\ displaystyle V}

Symplektisk plass på enhver kropp

Definisjonen av symplektiske mellomrom strekker seg uten endring til noe felt med en annen karakteristikk enn 2. I karakteristikk 2 er det ikke lenger en ekvivalens mellom de alternative og antismetriske tegnene.

Referanser

• Ralph Abraham og Jarrold E. Marsden, Foundations of Mechanics , (1978) Benjamin-Cummings, London ( ISBN  0-8053-0102-X ) .

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">