Vector plass

I matematikk , nærmere bestemt i lineær algebra , er et vektorrom et sett med objekter, kalt vektorer , som vi kan legge sammen, og som vi kan multiplisere med en skalar (for å strekke eller krympe dem, snu osv.). Med andre ord er det et sett utstyrt med en struktur som gjør det mulig å utføre lineære kombinasjoner . Skalarer er vanligvis reelle tall eller komplekse tall , eller hentet fra hvilket som helst felt .

Gitt et felt K , er et vektorrom E over K en kommutativ gruppe (hvis lov er betegnet +) utstyrt med en "kompatibel" handling av K (i betydningen av definisjonen nedenfor).

Vector plass

Definisjoner

La K være et kommutativt felt, som kommutativt felt ℚ av rasjonelle , det, ℝ, av realer eller det, ℂ, av komplekser (vi vil snakke i disse tilfellene om rasjonelt, reelt eller komplekst vektorrom).

Et vektorrom på K , eller K-vektorrom , er et sett E , hvis elementer kalles vektorer (eller - sjeldnere - punkter) utstyrt med to lover:

en lov om intern sammensetning “+”: E 2 → E , kalt tillegg eller vektorsum ,
en lov om komposisjon utenfor venstre “•”: K × E → E , kalt multiplikasjon med en skalar ,

slik at følgende egenskaper blir verifisert.

1. ( E , +) er en abelsk gruppe , med andre ord:

“+” -loven er kommutativ ,
det er assosiativ ,
den innrømmer et nøytralt element , som kan betegnes 0 eller 0 E , kalt en nullvektor og,
hver vektor v har et motsatt , betegnet - v .

Det vil si for alle vektorene u , v og w av E :

u + v	=	v + u	u + ( v + w )	=	( u + v ) + w
0 E + v	=	v	u + (- u )	=	0 E

2. “•” -loven verifiserer følgende egenskaper:

det er fordelende til venstre med hensyn til "+" loven til E og til høyre med hensyn til tillegget av feltet K ,
det verifiserer en blandet assosiativitet (sammenlignet med multiplikasjonen i K ),
det multipliserende nøytrale elementet i feltet K , bemerket 1, blir nøytralt i •.

Det vil si for alle vektorene u , v av E og alle skalarer λ, μ:

λ • ( u + v )	=	(λ • u ) + (λ • v )	(λ + µ) • u	=	(λ • u ) + (µ • u )
(λμ) • u	=	λ • (µ • u )	1 • u	=	u

Disse aksiomene antyder at E ikke er lett og for enhver vektor u av E og hvilken som helst skalar λ:

λ • u = 0 E

⇔

(λ = 0 K eller u = 0 E )

(–Λ) • u = - (λ • u ) = λ • (- u )

Demonstrasjoner

Fra aksiom 1 følger det at E nødvendigvis ikke er fri. Faktisk : 0 E tilhører E .
Aksiomer 1 og 2 antyder at 0 E er "riktig absorberende" for loven • ( dvs. produktet av 0 E med en hvilken som helst skalar er lik 0 E ) og at produktet av en hvilken som helst vektor av E ved skalar 0 K (additivet identitet element av legemet K ) er også 0 E . Faktisk :
- λ • 0 E = λ • (0 E + 0 E ) = λ • 0 E + λ • 0 E , som ifølge aksiom 1 tilsvarer 0 E = λ • 0 E ;
- på samme måte, 0 K • u = (0 K + 0 K ) • u = 0 K • u + 0 K • u derfor 0 E = 0 K • u .
Omvendt, hvis λ • u = 0 E og λ ≠ 0 K , så er u = 1 • u = (λ −1 λ) • u = λ −1 • (λ • u) = λ −1 • 0 E = 0 E .
Til slutt er produktet av vektoren u ved skalar –λ og produktet av - u av λ begge lik - (λ • u ) (motsatt av λ • u ). Faktisk gir forrige punkt 2 og aksiom 2:
- λ • u + λ • (- u ) = λ • ( u - u ) = 0 E ;
- Likeledes λ • u + (-λ) • u = (λ - λ) • u = 0 E .

Vektorene (elementene i E ) ble her skrevet med latinske kursive bokstaver, men noen forfattere noterer dem med fete bokstaver, eller overgår dem med en pil.

Eksempler

Her er noen eksempler på vektorrom som brukes blant annet i analyse eller geometri:

Den Tomrommet er vektorrommet av et legeme K med et enkelt element, som er nødvendigvis nullvektoren. Nullrommet er det opprinnelige objektet og det endelige objektet i den kategori av vektorrom (i) på K .
Ethvert felt K presenteres som et K- vektorrom. Tilsetningen og multiplikasjonen av henholdsvis K gir vektortilsetning og multiplikasjon med en skalar.
Mer generelt sett av n -uples av elementer i K , utstyrt med de vanlige lover, danner vektorrom K n .
De matriser med n rader og p kolonner med koeffisienter i K danne plass M n , p ( K ) .
Hvis K er kommutativ, noe felt forlengelse av K , det vil si, eventuelle innebygging av K i et legeme L , endow L av et vektorrom struktur på K .
Settet C 0 ( X ) for reelle eller komplekse kontinuerlige funksjoner definert i topologisk rom X er et vektorrom (reelt eller komplekst).
Settet med (frø av) løsninger av en homogen lineær differensialligning er et vektorrom (reelt eller komplekst).
Settet med digitale sekvenser som tilfredsstiller et lineært gjentakelsesforhold, er et reelt vektorrom.

Vektorrom på et ikke-kommutativt felt

Den ovennevnte definisjon er det av vektoren plasser igjen på K . De vektorrom rett på K er vektorrom igjen på det legeme motsatt til K . Hvis feltet K er kommutativ, sammenfaller begrepene vektorrom til venstre og høyre, og vi kan da notere til venstre eller til høyre (etter ønske) multiplikasjonen med en skalar.

Begrepene om teorien om vektorrom som er gyldige, med de vanlige definisjonene, bare når feltet er kommutativ, er spesielt de som er relatert til multilinearitet ( determinant , spor , tensorprodukter , ekstern algebra , algebra over et kommutativt felt ) eller til polynom funksjoner . Selv om man ikke bruker disse forestillingene, må man være oppmerksom på forskjellige detaljer når basisfeltet ikke antas å være kommutativt. For eksempel eksisterer utvidelser bare (som lineære kart ) hvis skalarfaktoren er sentral i feltet, og skalarmultiplikasjonen må skrives på motsatt side av lineære kart (så med skalaren til høyre hvis kartene er linjære til venstre for argumentene deres).

Lineær kombinasjon

De to operasjonene på et vektorrom gjør det mulig å definere lineære kombinasjoner , det vil si de endelige summene av vektorer som er påvirket av koeffisienter (skalarer). Den lineære kombinasjonen av en familie ( v i ) i ∈ I av vektorer som har koeffisienter ( $λ$ i ) i ∈ I er vektoren ∑ i ∈ I $λ$ i v i . Når indekseringssettet I er uendelig , er det nødvendig å anta at familien ( $λ$ i ) i ∈ I har en endelig støtte , dvs. det er bare et endelig sett med indekser i som $λ$ i er ikke-null.

Vector delområde

Et underområde av vektor E er en del som ikke er tom F av E stabile lineære kombinasjoner. Utstyrt med induserte lover, er F da et vektorrom. Den skjæringspunktet for en ikke-tom (endelig eller uendelig) familie av vektor underrom er en vektor underrom men forening , til og med begrenset , er ikke generelt.

Vektorfamilie og dimensjon

Lineær uavhengighet

En familie ( v i ) i ∈ I av vektorer av E sies å være fri (på K ) eller vektorene i denne familien sies å være lineært uavhengige , hvis den eneste lineære kombinasjonen av v i lik nullvektoren er at hvorav alle koeffisientene er null. Ellers er den familie sies å være knyttet sammen og v jeg er sagt å være lineært avhengige.

En familie som består av en enkelt vektor er gratis hvis og bare hvis denne vektoren ikke er null. Et par vektorer er koblet sammen hvis og bare hvis de to vektorene er kollinære . Hvis ( u , v ) er et par lineært uavhengige vektorer, er ( u , v ), ( u + v , v ) og ( u , u + v ) også par ikke-kollinære vektorer, men familien ( u , v , u + v ) er alltid koblet.

Generert vektor delområde

Vektorunderrommet generert av en familie ( v i ) i ∈ I av vektorer, betegnet $Vect$ (( v i ) i ∈ I ), er det minste underområdet (i betydningen inkludering) som inneholder alle vektorene i denne familien. Tilsvarende er det settet med lineære kombinasjoner av vektorer v i . Familien genererer E , eller er også en generator , hvis underområdet den genererer, er E helt.

En familie B vektor E er en basis av E hvis det er ledig og generator eller, hva som er ekvivalent, hvis hvilken som helst vektor for E er unikt uttrykt som en lineær kombinasjon av elementene B . Eksistensen av et grunnlag for et hvilket som helst K -vektorrom E blir utledet fra den ufullstendige basisteoremet .

Definisjon av dimensjon

Gitt en vektor plass E over et felt K , alle grunnleggende jeg har samme kardinalitet , kalt dimensjon E .

Dimensjonen til rommet K n er n .
Ethvert 1-dimensjonalt vektorrom kalles en vektorlinje . Ethvert rom i dimensjon 2 kalles et vektorplan .

To vektorrom på K er isomorfe (dvs. forbundet med en isomorfisme ) hvis og bare hvis de har samme dimensjon.

Lineær applikasjon

La E og F to vektorrom over samme legeme K . Et kart $f$ fra E til F sies å være lineært hvis det er additivt og pendler til multiplikasjonen med skalarene: ${\ displaystyle {\ begin {matrise} \ forall x, y \ i E & f (x + y) & = & f (x) + f (y), \\\ forall x \ i E \ quad \ forall \ lambda \ i K & f (\ lambda x) & = & \ lambda f (x). \ End {matrix}}}$ Med andre ord bevarer $f$ lineære kombinasjoner .

Settet med lineære kart fra E til F er ofte betegnet med L ( E , F ). Hvis K er kommutativ, L ( E , F ) er en lineær underrom av den plass av funksjonene til E i F . Enhver sammensetning av lineære kart er lineær. Settet L ( E , E ) for endomorfismer av E er betegnet med L ( E ). En isomorfisme av vektorrom er en lineær bijektiv . En automorfisme er en bindende endomorfisme. Settet med automorfismer av E er den lineære gruppen GL ( E ).

Kjerne og image

For ethvert lineært kart f fra E til F ,

vektorene x av E slik at f ( x ) = 0 danner et vektorunderrom av E , kalt kjernen av f og betegnet Ker ( f );
vektorene f ( x ) for x i E danner et vektorunderrom av F , kalt bildet av f og betegnet Im ( f );
f er
- injiserende hvis og bare hvis Ker ( f ) = {0 E },
- Surjective hvis og bare hvis Im ( f ) = F ;
den dimensjon av Im ( f ), kalt rangering av f er mindre enn eller lik de av E og F . Det er relatert til de av E og Ker ( f ) etter rangsetningen: $\ dim (E) = \ dim \ {\ rm {Ker}} (f)$ + $\ dim \ {\ rm {Im}} (f).$

Den graf av f er en vektor underrom av E x F , hvis skjæringspunkt med E x {0} er Ker ( f ) x {0}.

Lineær form

En lineær form på en K -vector plass E er en lineær kartlegging av E i K . Hvis K er kommutativ, de lineære former på E danner en K -vector rom som kalles dobbelt plass av E og betegnet med E *. Kjerner av ikke-null-lineære former på E er hyperplanes av E .

Produkter og direkte summer

Den sum F + G av to vektor underrom F og G , definert av $\ F + G = \ venstre \ {x + y \ midt (x, y) \ i F \ ganger G \ høyre \},$ faller sammen med sub-vektorrommet utspent av F ⋃ G . Denne konstruksjonen generaliserer til alle (ikke-tomme) familie av vektorunderområder.

Den formel Grassmann forbinder dimensjonene F og G som de av deres sum og deres skjæringspunkt:

\ dim (F + G) + \ dim (F \ cap G) = \ dim F + \ dim G.

De to underområdene F og G av E sies å være " i direkte sum " når nedbrytningen av en hvilken som helst vektor av deres sum F + G til en sum av to vektorer, den ene tilhører F og den andre til G , er unik (den er tilstrekkelig for dette at nedbrytningen av 0 E er unik, det vil si at F ∩ G = {0 E }). Denne definisjonen generaliserer til summen av en hvilken som helst (ikke-fri) familie ( F i ) i ∈ I av underområder. Hvis denne summen er direkte, har F i null skjæringspunkt to og to, men det omvendte er falsk.

En sum F + G , når det er direkte, er betegnet med F ⊕ G . Underrom F og G er kalt ytterligere (til hverandre) i E hvis de er i direkte sum, og dessuten er denne sum som er lik E . The Incomplete Base Theorem garanterer at ethvert vektorunderområde har minst ett tillegg.

La være en familie ( E i ) i ∈ I av K -vektorrom. Det kartesiske produktet ∏ i ∈ I E i arver naturlig fra en struktur av K- vektorområdet, kalt produktvektorrom .

Familiene med begrenset støtte danner et vektordelrom av ∏ i ∈ I E i , kalt den direkte summen av mellomrommene E i og betegnet med ⊕ i ∈ I E i .

Når alle E i er lik K , betegnes henholdsvis dette produktet og denne summen K I (funksjonsrommet fra I i K ) og K ( I ) (underområdet til funksjoner med begrenset støtte, hvis dimensjon er lik kardinaliteten til jeg ). For I = N konstruerer vi således rommet K N for sekvensene i K og underområdet K ( N ) for sekvensene med endelig støtte.

Kvotient vektor plass

La F være et underrom vektor av E . Den kvotient plass E / F (det vil si et sett av ekvivalens klasser av E for relation " u ~ v hvis og bare hvis u - v tilhører F ", utstyrt med de operasjoner som er definert naturligvis på klasse) er en vektor plass slik at fremspringet E → E / F (som assosierer u dens ekvivalens klasse) er lineær kjerne F .

Alle underrom flere av F til E er isomorf med E / F . Deres felles dimensjon, når du er ferdig, kalles codimension av F til E .

Egenskaper for endelige dimensjonale vektorrom

La E være et vektorrom generert av et endelig antall m elementer.

Dimensjonen n av E er endelig, mindre enn eller lik m .
Enhver gratis familie av E har høyst n vektorer, og enhver genererende familie har minst n . For at en familie med nøyaktig n vektorer skal være en grunnlag, er det tilstrekkelig at den er fri eller generator: det er da begge deler.
Den eneste underrom S av dimensjon n er E .
Hvis K er kommutativ, er det doble rommet E * av E også av dimensjon n , i henhold til setningen med to grunnlag .
Hvis K er kommutativ og hvis n ≠ 0, er settet med alternerende n- lineære former på E et vektorrom av dimensjon 1. Dette resultatet er grunnlaget for teorien om determinanten .
Vi trekker fra rangsetningen at for ethvert lineært kart f av E i et rom med samme dimensjon n ,f er surjektiv ⇔ f er injeksjon ⇔ f er bijektiv.
Hvis K er kommutativ, er kartet over M m , n ( K ) i L ( K n , K m ) som, til enhver matrise A , knytter det lineære kartet X ↦ AX , en isomorfisme av vektorrom. Mer generelt kan ethvert lineært kart mellom to mellomrom som hver er utstyrt med en endelig base, representeres av en matrise .

Beslektede strukturer

Relative strukturer

Et par vektorrom er dataene til et vektorrom og et underrom derav.
Mer generelt kan et vektorrom filtreres av dataene til en økende eller avtagende sekvens av underområder.
Et flagg i et vektorrom E endelig dimensjon er et strengt voksende rekkefølge av sub-områder, gir tomrommet i E .
Et ekte vektorrom med endelig dimensjon kan orienteres ved å velge en orientering på basene.
Et gradert vektorrom er en familie av vektorrom, vanligvis indeksert av ℕ, ℤ eller ℤ / 2ℤ. En morfisme mellom to slike graduerte vektorrom er da en familie av lineære kart som respekterer gradueringen.

Algebraiske strukturer

En modulus M en ring A er en additiv gruppe forsynt med en utvendig rett på M med koeffisientene i A , i samsvar med tilsetning av M og med operasjonene på A . Generelt har den verken en base eller noen ekstra. Et vektorrom er ganske enkelt en modul over en kropp.
En algebra er et vektorrom utstyrt med en fordelingsmultiplikasjon med hensyn til tillegg og kompatibel med loven om ekstern komposisjon.
En Lie-algebra er et vektorrom utstyrt med en Lie-brakett som er kompatibel med loven om ekstern komposisjon.

Et affinert rom er et sett utstyrt med en fri og transitiv handling av et vektorrom.
Et euklidisk vektorrom er et reelt vektorrom med endelig dimensjon med et punktprodukt .
Et reelt eller komplekst vektorrom sies å være normalisert når det er utstyrt med en norm . For eksempel er Banach-mellomrom , inkludert Hilbert-mellomrom som generaliserer forestillingen om euklidisk vektorrom, normaliserte vektorrom.
Hvis K er et felt utstyrt med en topologi, er et topologisk vektorrom på K et K- vektorområde utstyrt med en kompatibel topologi, dvs. at tilsetning og multiplikasjon med en skalar må være kontinuerlig. Dette er blant annet tilfelle standardiserte vektorrom og Fréchet-mellomrom.
En vektorpakke er en overføring fra et topologisk rom til et annet, slik at forhåndsbildet til hvert punkt er forsynt med en vektorromsstruktur som kontinuerlig er kompatibel med strukturen til forhåndsbildene til nærliggende punkter.

Historisk

Begrepet vektorrom er født konseptuelt fra affin geometri med innføring av koordinatene i en referanse til planet eller det vanlige rommet. Rundt 1636 ga Descartes og Fermat grunnlaget for analytisk geometri ved å knytte oppløsningen til en ligning med to ukjente til den grafiske bestemmelsen av en kurve på planet.

For å oppnå en geometrisk oppløsning uten å bruke begrepet koordinater, introduserte Bolzano i 1804 operasjoner på punkter, linjer og plan, som er forløperne til vektorene. Dette arbeidet finner et ekko i oppfatningen av barsentriske koordinater av Möbius i 1827. Grunnfasen av definisjonen av vektorer var definisjonen av bipunktet av Bellavitis , som er et orientert segment (den ene enden er et opphav og den andre et mål. ). Equipollence-forholdet, som gjør to bipoints ekvivalente når de bestemmer et parallellogram, fullfører dermed definisjonen av vektorene.

Begrepet vektor er tatt opp med presentasjonen av komplekse tall av Argand og Hamilton , deretter kvarternioner av sistnevnte, som elementer i de respektive rommene ℝ 2 og ℝ 4 . Behandlingen ved lineær kombinasjon finnes i systemene for lineære ligninger , definert av Laguerre allerede i 1867.

I 1857 introduserte Cayley matriksnotasjon , som harmoniserte notasjoner og forenklet skrivingen av lineære kartlegginger mellom vektorrom. Han skisserte også operasjonene på disse gjenstandene.

Omtrent samtidig gjenopptok Grassmann den barsentriske beregningen initiert av Möbius ved å vurdere sett med abstrakte objekter utstyrt med operasjoner. Hans arbeid gikk utover rammene av vektorrom fordi han, ved å definere multiplikasjon, endte opp med begrepet algebra . Likevel finner vi begrepene dimensjon og lineær uavhengighet , så vel som det skalære produktet som dukket opp i 1844. Forrangene til disse oppdagelsene er omstridt i Cauchy med publiseringen av Sur les clefs algebrique i Comptes Rendus .

Peano , et betydelig bidrag var streng aksiomatisering eksisterende konsepter - inkludert konstruksjon av konvensjonelle sett - var en av de første som ga en moderne definisjon av begrepet vektorrom på slutten av XIX - tallet.

En viktig utvikling av dette konseptet er på grunn av byggingen av områder funksjoner av Lebesgue , ble byggingen formalisert i løpet av XX th århundre av Hilbert og Banach , i sin doktoravhandling i 1920.

Det var på dette tidspunktet at interaksjonen mellom begynnende funksjonell analyse og algebra gjorde seg gjeldende, spesielt med innføring av nøkkelbegreper som rom for p- integrerbare funksjoner eller til og med Hilbert-rom . Det var på denne tiden at de første studiene på uendelige dimensjonale vektorrom dukket opp.

Oversettelser

Uten å ha en definisjon av vektorrom, en mulig tilnærming til geometri er basert på studier av en affin plan Desargues P . Den består av punkter og linjer, med et medlemsforhold kalt forekomst, hvis egenskaper gir mening til justeringen av punktene og parallelliteten til linjene. Man kaller homote-oversettelse for enhver transformasjon av P som bevarer justeringen og sender hvilken som helst rett linje på en parallell linje. Bortsett fra identitet (betraktet som både homøthetisk og oversettelse), løser en slik transformasjon maksimalt ett punkt; den kalles homøthet hvis den fikser et punkt O, som da er dens sentrum; det kalles en oversettelse ellers. Settet med faste senterhomotetier O danner en abelsk gruppe til loven om sammensetning, uavhengig av O isomorfisme nær , betegnet K *. Det er mulig å legge til en 0-element for å danne et legeme K , blir tilsetn lov ytterligere definert fra P . Enhver skalar som ikke er null tilsvarer en unik homøthet med sentrum O, og vi sier at det er dens forhold. Settet med oversettelser av P danner et K- vektorrom, og dets lover er som følger: $\ lambda$ $\ lambda$

Vektorsummen av to oversettelser t og t ' er deres sammensatte som er en oversettelse; $t \ circ t '= t' \ circ t$
Multiplikasjonen av en oversettelse t med en ikke-null skalar $λ$ av K er konjugasjonen av t med en homøthet h av et hvilket som helst sentrum og av forholdet $λ$ , med andre ord transformasjonen , som er en oversettelse. $hth ^ {{- 1}}$

Nullvektoren er identiteten. Det motsatte av en vektor representert av en oversettelse t er vektoren definert av t −1 .

Alt dette generaliserer til affine forekomst (eller syntetiske) rom med dimensjoner (endelig eller uendelig) større enn eller lik 3 (de er da fra Desargues). Men i dette tilfellet, hvis antall elementer i linjene er lik 2, må forholdet mellom parallellitet mellom linjer inkluderes i definisjonen av de affine rom. Så det er iboende et "underliggende" vektorrom til ethvert affinert Desargues-plan og ethvert affint innfallsområde.

Disse betraktningene gjør det mulig å lage koblingen mellom en moderne tilnærming til geometri basert på lineær algebra, og en aksiomatisk tilnærming.

Merknader og referanser

Merknader

Hypotesen om kommutativitet til “+” er faktisk overflødig: den blir utledet fra de andre egenskapene ved å utvikle seg på to forskjellige måter (1 + 1) • ( u + v ): jfr. lignende notater i artiklene " Enhetsring " og " Modulus på en ring ".
Denne tilstanden er nødvendig, som det følgende counterexample viser. Hvis vi for eksempel tar E = K , og den eksterne loven er definert som alltid null-operasjonen (λ • u = 0 for alle λ av K og all u av E ), så er alle de andre aksiomene tilfredsstilt bortsett fra denne. .

Referanser

(en) Serge Lang, Algebra ,1965[ detalj av utgaver ] : felt definert i kapittel II, vektorrom i kapittel III. Teorien om legemer er gjenstand for kapittel VII til XII, mens andre forestillinger om algebra presenteres i kapittel XIII til XVIII.
Roger Godement , Cours d'Algebre , 1966: Kapittel 8 handler om ringer og kropper, og kapittel 10 om moduler og vektorrom.
(in) Michael Artin , Algebra [ publiseringsdetaljer ] : Kapittel 3, viet vektorrom, presenterer først vektorrom ℝ n før du gir en definisjon av kroppsstruktur.
Dieudonné 1964 , s. 31.
Serge Lang , Lineær algebra , vol. 1, Interéditions, kap. 1 og 2.
Stéphane Balac og Frédéric Sturm, algebra og analyse: førsteårs matematikkurs med korrigerte øvelser , PPUR ,2003( les online ) , s. 302, rekvisitt. 8.1.3.
Lang 1965 , s. 85.
(De) B. Bolzano, Betrachtungen über einige Gegenstände der Elementargeometrie , 1804.
(fra) A. Möbius, Der barycentrische Calcül , 1827.
(De) H. Grassmann, Die Ausdehnungslehre .
(It) G. Peano, Calcolo geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann preceduto dalle operazioni della logica deduttiva , 1888.

Se også

Bibliografi

(de) Helmut Boseck, Einführung in die Theorie der linearen Vektorräume , 1967
Jean Dieudonné , lineær algebra og elementær geometri , Hermann ,1964
(en) Leon Mirsky (en) , En introduksjon til lineær algebra , 1955, siv. 1990 [ les online ]

Ekstern lenke

(no) John J. O'Connor og Edmund F. Robertson , "Abstrakte lineære rom" , i MacTutor History of Mathematics archive , University of St. Andrews ( les online ).

Relaterte artikler

Endomorfismeduksjon og diagonalisering (metodikk for å bestemme normale former for operatører)
Tensor (nyttig objekt i geometri og fysikk)