Utvidelse av grupper

I matematikk, spesielt i teorien om grupper , en gruppe utvidelse er en måte å beskrive en gruppe i form av to "mindre" grupper. Mer presist er en utvidelse av en gruppe Q med en gruppe N en gruppe G som passer inn i en kort eksakt sekvens

{\ displaystyle 1 \ til N \ til G \ til Q \ til 1.}

Med andre ord: G er en utvidelse av Q med N hvis (opp til isomorfier ) N er en normal undergruppe av G og Q er kvotientgruppen G / N

Relaterte begreper

Utvidelsen er kalt sentral hvis N er inkludert i sentrum av G .
Den ubetydelig forlengelse av Q med N er en som svarer til den direkte hurtigprodukt N x Q .
En del av utvidelsen ${\ displaystyle 1 {\ xrightarrow {}} N {\ xrightarrow {i}} G {\ xrightarrow {p}} Q {\ xrightarrow {}} 1}$ er en morfisme ${\ displaystyle s: Q \ til G \ quad {\ text {som}} \ quad p \ circ s = \ mathrm {id} _ {Q}.}$ Utvidelsen sies da å være delt . Utvidelsene delt fra Q med N er de som tilsvarer semi-direkte produkter . ${\ displaystyle N \ rtimes Q}$
En morfisme av utvidelser ${\ displaystyle {\ text {de}} \ quad 1 {\ xrightarrow {}} N {\ xrightarrow {i}} G {\ xrightarrow {p}} Q {\ xrightarrow {}} 1 \ quad {\ text {in }} \ quad 1 {\ xrightarrow {}} N {\ xrightarrow {i '}} G' {\ xrightarrow {p '}} Q {\ xrightarrow {}} 1}$ er en morfisme ${\ displaystyle \ varphi: G \ til G '}$ slik som tilhørende diagram ${\ displaystyle {\ begin {matrix} &&& G &&& \\ && {\ overset {i} {\ nearrow}} && {\ overset {p} {\ searrow}} && \\ N &&& \ downarrow ^ {\ varphi} &&& Q \\ && {\ underset {i '} {\ searrow}} && {\ underset {p'} {\ nearrow}} && \\ &&& G '&&& \ end {matrix}}}$ pendler , dvs. slik at ${\ displaystyle \ varphi \ circ i = i '\ quad {\ text {and}} \ quad p' \ circ \ varphi = p.}$ En slik morfisme er alltid en isomorfisme. $\ varphi$

Henvisning

N. Bourbaki , Elementer av matematikk , Algebra , kap. Jeg, § 6

Relaterte artikler