Semi-direkte produkt
I gruppen teori , det semi-direkte produkt gjør det mulig å definere en gruppe G fra to gruppene H og K , og generaliserer begrepet direkte produkt av to grupper.
Internt semi-direkte produkt
En gruppe G er et internt semi-direkte produkt av en normal undergruppe H av en undergruppe K hvis og bare hvis en av følgende ekvivalente definisjoner holder:
-
H∩K={1} og G=HK{\ displaystyle H \ cap K = \ {1 \} {\ text {and}} G = HK}(med andre ord, H og K er komplement til hverandre i G );
-
∀g∈G,∃!(h,k)∈H×K,g=hk{\ displaystyle \ forall g \ i G, \ eksisterer! (h, k) \ i H \ ganger K, g = hk}(ethvert element av G er skrevet unikt som produktet av et element av H og et element av K );
- den begrensning til K av den kanoniske surjection er en isomorfi mellom og ; G→G/H{\ displaystyle G \ til G / H}K{\ displaystyle K}G/H{\ displaystyle G / H}
- den kanoniske overgivelsen er delt av en slik morfisme .G→G/H→1{\ displaystyle G \ til G / H \ til 1} s{\ displaystyle s}s(G/H)=K{\ displaystyle s (G / H) = K}
Nedbrytningen av elementene i G som produktet av et element av H og et element av K er på en eller annen måte kompatibel med loven om sammensetning av gruppen. Enten faktisk
g1=h1k1 og g2=h2k2 {\ displaystyle g_ {1} = h_ {1} k_ {1} {\ text {and}} g_ {2} = h_ {2} k_ {2} \}to elementer av G spaltes dermed. Vi har :
g1g2=h1k1h2k2=(h1k1h2k1-1)(k1k2) {\ displaystyle g_ {1} g_ {2} = h_ {1} k_ {1} h_ {2} k_ {2} = (h_ {1} k_ {1} h_ {2} k_ {1} ^ {- 1 }) (k_ {1} k_ {2}) \}dekomponeres i et element av H (her bruker vi det faktum at H er normalt) og et element av K .
h1k1h2k1-1{\ displaystyle h_ {1} k_ {1} h_ {2} k_ {1} ^ {- 1}}k1k2{\ displaystyle k_ {1} k_ {2}}
I dette tilfellet virker gruppen K ved konjugasjon på H , og gruppen G er derfor isomorf til det eksterne semi-direkte produktet, dvs. til gruppen definert av det kartesiske produktet av H av K, som er gitt med loven:
(h1,k1)(h2,k2)=(h1(k1h2k1-1),k1k2){\ displaystyle (h_ {1}, k_ {1}) (h_ {2}, k_ {2}) = (h_ {1} (k_ {1} h_ {2} k_ {1} ^ {- 1}) , k_ {1} k_ {2})}For alt , applikasjonen
k∈K{\ displaystyle k \ in K}
f(k):H→H:h↦khk-1{\ displaystyle \ quad f (k): H \ til H: h \ mapsto khk ^ {- 1}}er en automorphism av H . I tillegg søknaden
f:K→PÅut(H):k↦f(k){\ displaystyle f: K \ til Aut (H): k \ mapsto f (k)}er en morfisme av grupper.
Eksternt semi-direkte produkt
Vi blir derfor ledet til å legge følgende mer generelle definisjon. To grupper, og , og en morfisme av i gruppen av automorfismer av gitt, kan vi definere det eksterne semi-direkte produktet av og det følgende som det kartesiske produktet av og utstyrt med gruppeloven:
H{\ displaystyle H}K{\ displaystyle K}f{\ displaystyle f}K{\ displaystyle K}PÅut(H){\ displaystyle {\ rm {Aut}} (H)}H{\ displaystyle H}G{\ displaystyle G}H{\ displaystyle H}K{\ displaystyle K}f{\ displaystyle f}H{\ displaystyle H}K{\ displaystyle K}
(h1,k1)(h2,k2)=(h1f(k1)(h2),k1k2) {\ displaystyle (h_ {1}, k_ {1}) (h_ {2}, k_ {2}) = (h_ {1} f (k_ {1}) (h_ {2}), k_ {1} k_ {2}) ~}der det inverse av et element er .
(h,k){\ displaystyle \ left (h, k \ right)}(f(k-1)(h-1), k-1){\ displaystyle \ left (f (k ^ {- 1}) (h ^ {- 1}), \ k ^ {- 1} \ right)}
Vi kan injisere inn av kanoniske injeksjon , og injisere inn av kanoniske injeksjon . Det blir deretter sjekket som er det interne semi-direkte produktet av par i den forstand som er gitt i begynnelsen av artikkelen. Vi bekrefter også at automorfismen er konjugering automorfisme av . Vi merker det
H{\ displaystyle H}G{\ displaystyle G} h ↦ (h,eK){\ displaystyle h \ \ mapsto \ (h, e_ {K})}K{\ displaystyle K}G{\ displaystyle G} k ↦ (eH,k){\ displaystyle k \ \ mapsto \ (e_ {H}, k)}G{\ displaystyle G}H{\ displaystyle H}K{\ displaystyle K}f(k){\ displaystyle f (k)}k{\ displaystyle k}
G=H⋊fK{\ displaystyle G = H \ rtimes _ {f} K}eller rett og slett .
G=H×fK{\ displaystyle G = H \ times _ {f} K}Tilfellet hvor er den trivielle gruppemorfismen (dvs. ) tilsvarer det direkte produktet .
f{\ displaystyle f}f(k1)(h2)=h2{\ displaystyle f (k_ {1}) (h_ {2}) = h_ {2}}
La H, H 1 , K, K 1 være grupper, f en morfisme fra H til Aut (K), f 1 en morfisme fra H 1 til Aut (K 1 ). Da kan f og f 1 sees på henholdsvis som handlinger (til venstre) av H på K og av H 1 på K 1 av automorfismer . Hvis disse handlingene er nesten likeverdige (som handlinger fra automorfismer), de semi-direkte produktene
H⋊fK{\ displaystyle H \ rtimes _ {f} K} og
H1⋊f1K1{\ displaystyle H_ {1} \ rtimes _ {f_ {1}} K_ {1}}
er isomorfe grupper.
Eksempler
- Den tosidige gruppen D 2 n er det semi-direkte produkt av en syklisk gruppe C n av orden n av en syklisk gruppe C 2 av orden 2 , hvor enheten av C 2 virker på C n som den identiske kartleggingen og det andre elementet i C 2 virker på C n ved inversjon. Eksplisitt, den morphism av C- 2 i Aut ( C n er) definert ved:f{\ displaystyle f}hvis og , daVSikke=⟨x⟩{\ displaystyle C_ {n} = \ langle x \ rangle}VS2=⟨y⟩{\ displaystyle C_ {2} = \ langle y \ rangle}∀k∈{0;1;2;...;ikke-1},f(1)(xk)=xk,f(y)(xk)=x-k.{\ displaystyle \ forall k \ in \ {0; 1; 2; \ dots; n-1 \}, f (1) (x ^ {k}) = x ^ {k}, f (y) (x ^ {k}) = x ^ {- k}.}Geometrisk, gruppen C n blir generert av en rotasjon, gruppen C- 2 ved en refleksjon.
- Den affine gruppe er det halv direkte produkt av tilsetnings gruppe dannet av vektorrommet e som ligger under det affine rom (isomorf med gruppen av oversettelser ), av den lineære gruppe av denne vektorrommet. Ved å identifisere det affine rom med dens vektorrommet E , et element f i affine gruppe er på formen , hvor er et element av den lineære gruppe og u en vektor av E . f er derfor definert av dataene til paret . Sammensetningen av affine kart vil da resultere i følgende gruppelov:f(v)=u+φ(v){\ displaystyle f (v) = u + \ varphi (v)}φ{\ displaystyle \ varphi}(u,φ){\ displaystyle (u, \ varphi)}
(u,φ)(v,ψ): =(u+φ(v),φ∘ψ).{\ displaystyle (u, \ varphi) (v, \ psi): = (u + \ varphi (v), \ varphi \ circ \ psi).}
- Spesielt er gruppen av affine isometrier det semi-direkte produktet av gruppen oversettelser av gruppen isometrier som etterlater et gitt punkt invariant.
- Den symmetriske gruppen er det semi-direkte produktet av gruppen vekslet av gruppen generert av en transponering.
- Den lineære gruppe på en kommutativ ring R er den halv direkte produkt av den lineære panel (endomorphism determinant 1) med gruppen R x av inverterbare elementer av R .
- Den holomorph en gruppe G kan defineres som det halv direkte produkt av G ved Aut ( G ) (automorphism gruppe G ) i forhold til den naturlige Aut drift ( G ) av G .
Avledet gruppe
Den avledede gruppen D ( G ) av et semi-direkte produkt G = H ⋊ K er lik undergruppen (D ( H ) [ H , K ]) ⋊ D ( K ).
Faktisk er D ( G )
undergruppen generert av foreningen av de tre undergruppene D ( H ),
[ H , K ] (inkludert i H ) og D ( K ), og settet produserer D ( H ) [ H , K ]
er en undergruppe av H , stabil ved handlingen av K og derfor av den til undergruppen D ( K ).
Relaterte artikler
Merknader og referanser
Merknader
-
Se (in) Michael Aschbacher , Endite Group Theory , UPC ,2000, 2 nd ed. ( 1 st ed. 1993), 304 s. ( ISBN 978-0-521-78675-1 , leses online ) , s. 30, uttalelse 10.3.
-
Se Aschbacher 2000 , s. 141.
-
(i) Daciberg Lima Gonçalves og John GUASCHI, " Den nedre sentrale serien og avledet av flettegruppene i sfæren " , Trans. Bitter. Matte. Soc. , vol. 361,2009, s. 3375-3399 ( les online )(Proposisjon 3.3), arXiv : math / 0603701 (Proposition 29).
Referanser
- Daniel Perrin , Kurs i algebra , Editions Ellipses ,1996, 207 s. ( ISBN 978-2-7298-5552-9 ) , s. 21-24
- (no) Saunders Mac Lane og Garrett Birkhoff , Algebra , Macmillan Publishers ,1999, 3 e ed. , 626 s. ( ISBN 978-0-8284-0330-6 , les online )
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">