Kontinuerlig funksjon er ikke forskjellig

I matematikk er en ingensteds differensierbar kontinuerlig funksjon en numerisk funksjon som er topologisk regelmessig (dvs. kontinuerlig ), men ikke i det hele tatt differensiell kalkulasjonssynspunkt (dvs. den er ikke avledbar på noe tidspunkt).

Den kontinuiteten til en funksjon som betyr at den representative kurve ikke innrømme et "hull". Avledbarheten sikrer at den er godt "avrundet". Det er ganske enkelt å demonstrere at en hvilken som helst differensierbar funksjon over et intervall er kontinuerlig over det samme intervallet. De matematikere har trodd til XIX th  århundre at den var motsatt delvis, de punkter hvor en kontinuerlig funksjon er ikke deriverbar er sjeldne. Det er ikke sånn. Mange moteksempler ble oppdaget.

Siden den gang har studiet av disse funksjonene vist at de er viktige, ikke bare med tanke på intern logikk i matematikk, for å forstå begrepet funksjon, men også for å gi modeller som er nyttige for andre vitenskaper. De fraktaler gir også eksempler på kontinuerlige kurver uten tangenter .

Historie

Selve begrepet funksjon har avklart at det XIX th  -tallet , da i 1837 Dirichlet utgjør en moderne definisjon av begrepet funksjon.

Definisjon  -  En størrelse y er en (entydig) funksjon av en størrelse x , i et gitt intervall når hver verdi som tilskrives x i dette intervallet tilsvarer en unik og bestemt verdi på y , uten å spesifisere noe om hvordan de forskjellige verdiene til y er knyttet til hverandre.

På den tiden trodde matematikere at enhver kontinuerlig funksjon er forskjellig, bortsett fra muligens i noen få spesielle punkter, men denne oppfatningen motsies ikke av deres praksis med differensialregning. For eksempel, i 1806, prøvde Ampère å bevise at en hvilken som helst funksjon er avledbar "med unntak av bestemte bestemte og isolerte verdier" , uten å imidlertid avklare hva han mente med funksjon .

Fra 1833-1834 presenterte Bernard Bolzano det første eksemplet på en kontinuerlig funksjon overalt og ingen steder avledbar. Den bygger Bolzano-kurven, iterativt, fra et hvilket som helst segment, og erstatter et hvilket som helst segment med 4 segmenter bygget ved hjelp av et åttende rutenett illustrert i bildet motsatt. For ham er en grense for kontinuerlige funksjoner en kontinuerlig funksjon. Han viser at den oppnådde funksjonen ikke er monoton i noe intervall, og at den ikke har noe derivat i et tett sett. Dette eksemplet er faktisk rikere fordi vi kan bevise at funksjonen ikke har noe derivat eller til og med et uendelig derivat med et bestemt tegn på et hvilket som helst punkt i studieintervallet, bortsett fra til høyre i utgangspunktet der grensen for hastighetsøkningen er + ∞ . Men manuskriptene til hans arbeid med denne funksjonen, kjent som Bolzano-funksjonen , ble ikke gjenoppdaget før i 1920 og ble kun publisert i 1922. Charles Cellérier oppdaget også rundt 1860 et annet eksempel på en kontinuerlig funksjon som ingen steder kan avledes uten å vite det om Bolzano. Hans arbeid forble også upublisert til han døde i 1890.

Dette var grunnen til at Bernhard Riemann overrasket det matematiske fellesskapet da han på en konferanse i 1861 viste et eksempel på en funksjon som er kontinuerlig, men som kun kan avledes på sjeldne punkter. Denne funksjonen er definert av R{\ displaystyle \ mathbb {R}}

f(x)=∑k=1+∞1k2synd⁡(k2x){\ displaystyle f (x) = \ sum _ {k = 1} ^ {+ \ infty} {\ frac {1} {k ^ {2}}} \ sin (k ^ {2} x)}

og kan bare differensieres i x når x =p π/qder p og q er odde heltall.

I 1872 var Karl Weierstrass den første til å publisere ikke bare en, men en hel familie av kontinuerlige og ingen steder avledbare funksjoner . De er definert av

f(x)=∑k=0+∞påkcos⁡(bkπx){\ displaystyle f (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {+ \ infty} a ^ {k} \ cos (b ^ {k} \ pi x)}

der a og b er reelle konstanter , et vesen i] 0; 1 [og produktet ab strengt større enn 1 + 3π ⁄ 2 ( Godfrey Harold Hardy vil generalisere det optimalt i 1916 ved å vise at ab ≥ 1 er tilstrekkelig). Etter denne oppdagelsen fant matematikere andre.

Vi gikk til og med lenger ved å bevise at det for en vilkårlig kontinuerlig funksjon eksisterer en kontinuerlig funksjon overalt og ingen steder avledbar så nær den som vi vil. Dette betyr at disse funksjonene er spesielt mange og danner en "stor" helhet fra et topologisk synspunkt .

Oppfatning

Interessen for å introdusere disse funksjonene, som noen ganger blir kvalifisert som patologiske, ble noen ganger avvist av matematikere. La oss sitere for eksempel Charles Hermite som erklærte i 1893:

“Jeg vender meg med terror og redsel fra denne beklagelige plagen av kontinuerlige funksjoner som ikke har noen derivater. "

eller til og med Henri Poincaré som kvalifiserer disse funksjonene som "monstre".

I The Value of Science , når det er nødvendig å gi eksempler som intuisjon har feil i matematikk, gir Poincaré disse funksjonene først.

Oppdagelsen av eksistensen av disse funksjonene har dypt modifisert synet som matematikere hadde av begrepet funksjon og kurve . Ekte kontinuerlige digitale funksjoner blir noen ganger presentert som de hvis kurve kan tegnes "uten å løfte blyanten" . Imidlertid kan ikke grafen for en kontinuerlig funksjon ingensteds differensierbar tegnes.

Disse funksjonene blir fremdeles ansett på begynnelsen av 2000-tallet som kontraintuitive og som en blokkerende faktor for å lære matematikk:

”Selvfølgelig vet vi nå at det ikke finnes noen avledede kontinuerlige funksjoner, men på videregående utdanningsnivå er det ingenting galt med å stole på den motsatte intuisjonen. "

Mandelbrot , kjent for å ha populariserte fraktaler , argumenterte tvert imot at kontinuerlige kurver uten tangenter er intuitive, men innrømmet å ha funnet, blant sine forgjengere, bare to matematikere som delte denne oppfatningen.

Et eksempel

Artikkelfunksjonen til Weierstrass presenterer et historisk eksempel på en klasse med kontinuerlige funksjoner overalt, ingen steder avledbare. Vi vil gi en til.

Vi definerer en funksjon etter

g(x): ={1+xhvis x∈[-2,0]1-xhvis x∈[0,2].{\ displaystyle g (x): = {\ begin {cases} 1 + x & {\ text {si}} x \ i [-2,0] \\ 1-x & {\ text {si}} x \ i [0.2]. \ End {cases}}}

Vi kan utvide den med periodisitet på alle reelle tall ved å posere for alle reelle x

g(x+4)=g(x){\ displaystyle g (x + 4) = g (x)}

Vi spør da

f(x): =∑k=1+∞12kg(22kx).{\ displaystyle f (x): = \ sum _ {k = 1} ^ {+ \ infty} {\ frac {1} {2 ^ {k}}} g (2 ^ {2 ^ {k}} x) .}

Denne funksjonen er kontinuerlig på , men kan ikke avledes på noe tidspunkt fra . R{\ displaystyle \ mathbb {R}}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}

Prinsipp for konstruksjon. Funksjonen f er en enhetlig grense for funksjoner f n definert av:

fikke(x): =∑k=1ikke12kg(22kx).{\ displaystyle f_ {n} (x): = \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {2 ^ {k}}} g (2 ^ {2 ^ {k}} x ).}

Disse funksjonene f n er kontinuerlige, stykkevise affin, men deres grafiske fremstillinger består av linjesegmenter hvor stigningene blir stadig brattere .

Demonstrasjon Kontinuitet

Per definisjon av g har vi

supx∈R|12kg(22kx)|=12k{\ displaystyle \ sup _ {x \ in \ mathbb {R}} \ left | {\ frac {1} {2 ^ {k}}} g (2 ^ {2 ^ {k}} x) \ right | = {\ frac {1} {2 ^ {k}}}}

Imidlertid er den geometriske serien konvergent, slik at sekvensen normalt konvergerer jevnt mot f . Ettersom dessuten er kontinuerlig på , så er f n og dens ensartede grense f . ∑k2-k{\ displaystyle \ sum _ {k} 2 ^ {- k}}(fikke){\ displaystyle (f_ {n})} x↦2-kg(22kx){\ displaystyle x \ mapsto 2 ^ {- k} g (2 ^ {2 ^ {k}} x)}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}

Avledbarhet

Enten . Vi vil bygge en sekvens av reelle tall som konvergerer til 0 og slik at x∈R{\ displaystyle x \ in \ mathbb {R}}(hikke){\ displaystyle (h_ {n})}

limikke→+∞|f(x+hikke)-f(x)hikke|=+∞{\ displaystyle \ lim _ {n \ to + \ infty} \ left | {\ frac {f (x + h_ {n}) - f (x)} {h_ {n}}} \ right | = + \ infty }

som vil sikre at f ikke skiller seg ut i x .

For dette faste og for alt velger vi slik at og er i samme intervall for skjemaet . Vi poserer da . x{\ displaystyle x}ikke∈IKKE∗{\ displaystyle n \ in \ mathbb {N} ^ {*}}εikke=±1{\ displaystyle \ varepsilon _ {n} = \ pm 1}22ikkex{\ displaystyle 2 ^ {2 ^ {n}} x}22ikkex+εikke{\ displaystyle 2 ^ {2 ^ {n}} x + \ varepsilon _ {n}}[2IKKE;2IKKE+2]{\ displaystyle [2N; 2N + 2]}hikke: =εikke2-2ikke{\ displaystyle h_ {n}: = \ varepsilon _ {n} 2 ^ {- 2 ^ {n}}}

• For vi vet at det er et multiplum av 4, og siden g har periode 4, har vi det k>ikke{\ displaystyle k> n}22khikke{\ displaystyle 2 ^ {2 ^ {k}} h_ {n}}g(22k(x+hikke))-g(22kx)=0.{\ displaystyle g (2 ^ {2 ^ {k}} (x + h_ {n})) - g (2 ^ {2 ^ {k}} x) = 0.}
• For , vi har k=ikke{\ displaystyle k = n}|g(22ikke(x+hikke))-g(22ikkex)|=|g(εikke+22ikkex)-g(22ikkex)|=1.{\ displaystyle | g (2 ^ {2 ^ {n}} (x + h_ {n})) - g (2 ^ {2 ^ {n}} x) | = | g (\ varepsilon _ {n} + 2 ^ {2 ^ {n}} x) -g (2 ^ {2 ^ {n}} x) | = 1.}
• For , som vi vet, ved konstruksjon av funksjonen g det k<ikke{\ displaystyle k <n}|g(b)-g(på)|≤|b-på|{\ displaystyle | g (b) -g (a) | \ leq | ba |} (hellingen til linjen som forbinder to punkter av C g er alltid mellom -1 og 1). Vi har spesielt |g(22k(x+hikke))-g(22kx)|≤|22khikke|≤22ikke-12-2ikke=2-2ikke-1{\ displaystyle | g (2 ^ {2 ^ {k}} (x + h_ {n})) - g (2 ^ {2 ^ {k}} x) | \ leq | 2 ^ {2 ^ {k} } h_ {n} | \ leq 2 ^ {2 ^ {n-1}} 2 ^ {- 2 ^ {n}} = 2 ^ {- 2 ^ {n-1}}} derfor |∑k=1ikke-12-k(g(22k(x+hikke))-g(22kx))|≤(∑k=1ikke-12-k)2-2ikke-1≤2-2ikke-1.{\ displaystyle \ left | \ sum _ {k = 1} ^ {n-1} 2 ^ {- k} \ left (g (2 ^ {2 ^ {k}} (x + h_ {n})) - g (2 ^ {2 ^ {k}} x) \ høyre) \ høyre | \ leq \ venstre (\ sum _ {k = 1} ^ {n-1} 2 ^ {- k} \ høyre) 2 ^ { -2 ^ {n-1}} \ leq 2 ^ {- 2 ^ {n-1}}.}

Vi kan derfor redusere økningen av f i x  :

|f(x+hikke)-f(x)hikke|=22ikke|∑k=1+∞2-k(g(22k(x+hikke))-g(22kx))|=22ikke|∑k=1ikke2-k(g(22k(x+hikke))-g(22kx))|≥22ikke(2-ikke-|∑k=1ikke-12-k(g(22k(x+hikke))-g(22kx))|)≥22ikke(2-ikke-2-2ikke-1)=22ikke-ikke(1-2ikke-2ikke-1)⟶+∞ når ikke→+∞{\ displaystyle {\ begin {align} \ left | {\ frac {f (x + h_ {n}) - f (x)} {h_ {n}}} \ right | & = 2 ^ {2 ^ {n }} \ left | \ sum _ {k = 1} ^ {+ \ infty} 2 ^ {- k} \ left (g (2 ^ {2 ^ {k}} (x + h_ {n})) - g (2 ^ {2 ^ {k}} x) \ høyre) \ høyre | \\ & = 2 ^ {2 ^ {n}} \ venstre | \ sum _ {k = 1} ^ {n} 2 ^ {- k} \ left (g (2 ^ {2 ^ {k}} (x + h_ {n})) - g (2 ^ {2 ^ {k}} x) \ right) \ right | \\ & \ geq 2 ^ {2 ^ {n}} \ left (2 ^ {- n} - \ left | \ sum _ {k = 1} ^ {n-1} 2 ^ {- k} \ left (g (2 ^ { 2 ^ {k}} (x + h_ {n})) - g (2 ^ {2 ^ {k}} x) \ høyre) \ høyre | \ høyre) \\ & \ geq 2 ^ {2 ^ {n }} (2 ^ {- n} -2 ^ {- 2 ^ {n-1}}) = 2 ^ {2 ^ {n} -n} (1-2 ^ {n-2 ^ {n-1} }) \\ & \ longrightarrow + \ infty {\ text {when}} n \ til + \ infty \ end {justert}}}

Dette viser at f ikke kan differensieres ved x , men dette punktet er vilkårlig, så f kan ikke skilles fra på noe tidspunkt . R{\ displaystyle \ mathbb {R}}

Tetthet

Teorem  -  Hver kontinuerlig funksjon på [0, 1] er en ensartet grense for kontinuerlige funksjoner og kan ikke skilles fra på [0, 1].

Dette betyr at det for en fast kontinuerlig funksjon og for en vilkårlig eksisterer en ingensteds differensierbar kontinuerlig funksjon slik at f:[0,1]→R{\ displaystyle f: [0,1] \ rightarrow \ mathbb {R}}ε>0{\ displaystyle \ varepsilon> 0}g:[0,1]→R{\ displaystyle g: [0,1] \ rightarrow \ mathbb {R}}

supt∈[0,1]|f(t)-g(t)|<ε.{\ displaystyle \ sup _ {t \ in [0,1]} | f (t) -g (t) | <\ varepsilon.}

Med andre ord betyr dette at settet med kontinuerlige og ingensteds differensierbare funksjoner er tett i settet med kontinuerlige funksjoner, for topologien om ensartet konvergens .

Vi kan angi et analogt resultat på  : hvilken som helst kontinuerlig funksjon på er lokalt ensartet grense for kontinuerlige funksjoner og kan ikke skilles fra hverandre. R{\ displaystyle \ mathbb {R}}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}

Demonstrasjon

Enten fortsett. Vi så fra forrige avsnitt at det eksisterer minst en kontinuerlig funksjon overalt, ingen andre steder. Vi vet da at det er en kontinuerlig funksjon av [0, 1] i , derfor er det ifølge Stone-Weierstrass-teoremet en jevn grense på [0, 1] av en sekvens av polynomfunksjoner. Funksjonen er da ensartet grense for [0, 1] -funksjoner , som er kontinuerlige (som summer av to kontinuerlige funksjoner) men ingen steder differensierbare (som summer av en funksjon ingensteds differensierbare og av en polynomfunksjon derfor overalt differensierbare). f:[0,1]→R{\ displaystyle f: [0,1] \ rightarrow \ mathbb {R}}g:[0,1]→R{\ displaystyle g: [0,1] \ rightarrow \ mathbb {R}}f-g{\ displaystyle fg}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}(Pikke)ikke∈IKKE{\ displaystyle (P_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}f{\ displaystyle f}g+Pikke{\ displaystyle g + P_ {n}}

Vi kan også gi et ikke-konstruktivt bevis (det vil si å ikke kreve å vise et eksempel på en kontinuerlig funksjon som ikke er forskjellig) ved hjelp av Baires lemma .

Demonstrasjon

Hvis en funksjon f er kontinuerlig over [0, 1] og kan differensieres ved et punkt x , utvides funksjonen y ↦ ( f ( y ) - f ( x )) / ( y - x ) , definert andre steder enn i x , til en kontinuerlig funksjon på [0, 1] derfor begrenset . I rommet C ([0, 1]) av de kontinuerlige funksjonene til [0, 1] i ℝ, er derfor underområdet F av funksjonene som kan differensieres i minst ett punkt inkludert i foreningen, for n ∈ ℕ, av

Fikke: ={f∈VS([0,1])∣∃x∈[0,1] ∀y∈[0,1] |f(y)-f(x)|≤ikke|y-x|}.{\ displaystyle F_ {n} {: =} \ {f \ i C ([0,1]) \ mid \ eksisterer x \ i [0,1] ~ \ forall y \ i [0,1] ~ | f (y) -f (x) | \ leq n | yx | \}.}

For topologien om ensartet konvergens er hver av disse F n :

• lukket fordi hvis f k ∈ F n og f k → f så f ∈ F n . La oss for hvert k være et vitne x k om medlemskapet til f k til F n . Deretter er en hvilken som helst adhesjonsverdi på ( x k ) et vitne om tilhørelsen av f til F n .
• av indre tom fordi det ville inneholde positive hvis en radiuskule, sentrert i et polynom P (fra teoremet Stone-Weierstrass ). Nå for enhver konstant M konstruerer vi enkelt en funksjon g (for eksempel affinert etter brikker) slik at P + g tilhører denne kulen og slik at for alle x , | g ( y ) - g ( x ) | > ( M + n ) | y - x | i minst ett y derfor, ved å ha valgt M en øvre grense på | P ' |, | ( P + g ) ( y ) - ( P + g ) ( x ) | > n | y - x |, derav en motsetning.

Så, F er mager . I følge Baires lemma er interiøret derfor tomt. Med andre ord: dens komplement - funksjonssettet til C ([0, 1]) ingensteds differensierbart - er tett.

Det er til og med mulig å oppnå et mye sterkere resultat: "  nesten hvilken som helst  " kontinuerlig funksjon på [0,1] kan ikke skilles fra hverandre. Betydningen av "nesten alle" i denne uttalelsen må svekkes litt, fordi det ikke er noe Lebesgue-mål i uendelig dimensjon  ; en presis beskrivelse av tiltaket som brukes, finner du i Wiener- romartikkelen .

Brownsk bevegelse

Nesten enhver realisering av brunisk bevegelse er kontinuerlig og kan ikke skilles fra hverandre. Dette fikk Jean Perrin , nobelprisvinner i fysikk, til å si:

“Dette er et tilfelle der det er veldig naturlig å tenke på de kontinuerlige funksjonene uten derivater som matematikere har forestilt seg, og som feilaktig ble sett på som bare matematiske kuriositeter, siden erfaring kan tyde på dem. "

- Jean Perrin

Vedlegg

Bibliografi

• Gaston Darboux , “  Memoir on discontinuous functions  ”, ASENS , vol.  4,1875, s.  57-112 ( les online )
• (no) Marek Jarnicki og Peter Pflug, Kontinuerlig ingensteds forskjellig funksjoner: Monstrene av analyse , Springer ,2015( les online )
• Henri Poincaré , vitenskap og metode , Flammarion,1908( les online )
• (en) Johan Thim , kontinuerlig ingensteds differensierbare funksjoner , Luleå teknologiske universitet ,desember 2003( les online ) - En avhandling. Komplett studie av historien om kontinuerlige funksjoner som ikke kan skilles.

Merknader

1. Det eksakte sitatet er: "Logikk avler noen ganger monstre." Det dukket opp en hel rekke bisarre funksjoner som så ut til å prøve å ligne minst mulig på de ærlige funksjonene som tjener noe formål. Ikke mer kontinuitet, eller til og med kontinuitet, men ingen derivater [...] Tidligere, da vi oppfant en ny funksjon, var det med tanke på noe praktisk mål; i dag oppfinner vi dem med vilje for å beseire våre fedres resonnement, og vi vil aldri få noe fra dem. » Poincaré 1908 , s.  132.
2. "Intuisjon kan ikke gi oss strenghet, eller til og med sikkerhet, vi har lagt merke til mer og mer. La oss nevne noen eksempler. Vi vet at det er kontinuerlige funksjoner uten derivater. Ingenting mer sjokkerende for intuisjonen enn dette tilbudet som pålegges oss av logikken. Våre fedre ville ikke ha unnlatt å si: ”Det er åpenbart at hver kontinuerlig funksjon har et derivat, siden hver kurve har en tangens. ""
3. Kurvene for kontinuerlige funksjoner overalt ingen steder som kan skilles, har ofte fraktalstrukturer, og omvendt gir fraktaler eksempler på slike funksjoner.

Referanser

1. Encyclopedia of Pure and Applied Mathematical Sciences , t.  II , vol.  1, Gauthier-Villars , 1909, s.  13 .
2. Thim 2003 , s.  4.
3. Ampère, “Research on some points of the theory of derivative functions […]”, Journal de l'École polytechnique , 13 e  cahier, t.  VI , 1806, s.  148-191, [ les online ] .
4. Thim 2003 .
5. Jan Sebestik, Logikk og matematikk ved Bernard Bolzano , Vrin, 1992, s.  418 på Google Bøker .
6. Karel Rychlik , Funksjonsteorien til Bolzano .
7. Dette er ikke sant generelt, men konvergens mot sin funksjon blir uniform, er kontinuiteten faktisk sikret.
8. Thim 2003 , s.  11.
9. Thim 2003 , s.  18.
10. (in) GH Hardy, "  Weierstrass's ikke-differensierbare funksjon  " , Trans. Bitter. Matte. Soc. , vol.  17,1916, s.  301-325 ( les online ).
11. "Letter 374 fra Hermite til Stieljtes av 20 mai 1893", Korrespondanse d'Hermite et de Stieltjes , ed. B. Baillaud og H. Bourget. bind 2, Gauthier-Villars, 1905, s.  317-319 .
12. For eksempel, de offisielle 2001 matematikk programmere for S terminal klassene i Frankrike.
13. Fremdriftsrapport om geometri og dens undervisning , Commission de ré fl ection on the matematics, januar 2000, kjent som Kahane- rapport , på nettstedet til Mathematical Society of France .
14. Benoît Mandelbrot , Fraktale objekter: form, tilfeldighet og dimensjon , Paris, Flammarion ,1995, 4 th  ed. , 208  s. ( ISBN  2-08-081301-3 ) , kap.  2 - Referansebok om fraktaler, deres funn og deres applikasjoner.
15. Xavier Gourdon, Les Maths en tête: analyse , Ellipses utgaver .
16. Stefan Mazurkiewicz , “  On non-derivable functions  ”, Studia Math. , vol.  3, n o  1,1931, s.  92-94 ( les online ).
17. (de) Stefan Banach , “  Über die Baire'sche Kategorie gewisser Funktionenmengen  ” , Studia Math. , vol.  3, n o  1,1931, s.  174-179 ( les online ).
18. For et bevis på denne teoremet i artikkelen av Brian Hunt (i) Forekomsten av ingensteds differensierbare funksjoner , Proc. av AMS, 1994 ( les online ).

Relatert artikkel

Patologisk tilfelle

Eksterne linker

• http://ljk.imag.fr/membres/Bernard.Ycart/mel/dc/node16.html
• http://www.brouty.fr/Maths/noderiv.html

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">