Den logikken , den greske λογική / logiké , er et begrep som stammer fra λόγος / logoer - som betyr både " grunn ", " språk " og " resonnement " - er i en første tilnærming, studiet av formelle regler som må være oppfylt noen riktig argument . Begrepet ville ha blitt brukt for første gang av Xenocrates .
Eldgammel logikk brytes først ned i dialektikk og retorikk .
Siden antikken har det vært en av de store disipliner av filosofi , sammen med etikk ( moralfilosofi ) og fysikk ( realfag i naturen ).
I middelalderen ble den ikke eksplisitt oppført blant de syv liberale kunstene :
Arbeidet til George Boole , Jevons tillot siden XIX E århundre den blendende utviklingen av en matematisk logikk. Dens konvergens betjenes med datamaskinen siden slutten av XX th århundre ga ham en fornyet vitalitet.
Det er fra XX th århundre mange programmer i ingeniørfag , i språket , i kognitiv psykologi , i analytisk filosofi eller kommunikasjon .
Logikk er studiet av inferens .
Logikk er opprinnelig søket etter generelle og formelle regler som gjør det mulig å skille et resonnement som er avgjørende fra det som ikke er det. Den finner sine første famler i matematikk og spesielt i geometri, men det er hovedsakelig under drivkraften til Megarics og deretter Aristoteles at den tar av.
Logikk ble brukt veldig tidlig mot seg selv, det vil si mot selve diskursbetingelsene: sofisten Gorgias bruker den i sin avhandling om ikke-væren for å bevise at det ikke er mulig ontologi : "det er ikke det er gjenstand for våre tanker " : logikkens materielle sannhet blir dermed ødelagt. Språket tilegner seg dermed sin egen lov, logikken, uavhengig av virkeligheten. Men sofistene ble ekskludert fra filosofiens historie ( sofist fikk en nedslående betydning), slik at logikken, i den forståelse vi hadde om den for eksempel i middelalderen , forble gjenstand for tanken på å være .
I XVII th århundre , den filosofen Gottfried Wilhelm Leibniz driver grunnleggende forskning i logikk som revolusjonere dypt aristoteliske logikk. Han krever stadig fra tradisjonen syllogismer av Aristoteles og forsøker å integrere sitt eget system. Han er den første som forestiller seg og utvikler en formell logikk .
Immanuel Kant definerer på sin side logikk som "en vitenskap som angir i detalj og demonstrerer strengt de formelle reglene for all tanke" . De seks verkene til Aristoteles samlet under tittelen Organon , inkludert kategorier og studiet av syllogismen , ble lenge ansett som referanse om dette emnet.
I 1847 ble boken av George Boole utgitt , med tittelen Mathematical Analysis of Logic , then An Investigation Into the Laws of Thought, on which are Founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities . Boole utvikler en ny form for logikk der, både symbolsk og matematisk. Målet er å oversette ideer og konsepter til uttrykk og ligninger , å bruke bestemte beregninger på dem og å oversette resultatet til logiske termer, og dermed markere begynnelsen på moderne logikk, basert på en algebraisk og semantisk tilnærming , som vi senere kalte boolsk algebra. til ære.
Svært generelt er det fire tilnærminger til logikk:
Den Organon er den viktigste logikken i arbeidet med Aristoteles , herunder særlig de Prior Analytics ; det utgjør det første eksplisitte arbeidet med formell logikk , særlig med innføring av syllogistikk .
Aristoteles verk blir betraktet i Europa og Midtøsten i klassisk middelalder som selve bildet av et fullt utviklet system . Imidlertid var Aristoteles ikke den eneste, heller ikke den første: Stoikerne foreslo et system med proposisjonslogikk som ble studert av middelalderens logikere. I tillegg ble problemet med flere generaliteter anerkjent i middelalderen .
Regnestykket for proposisjoner er et formelt system der formlene representerer proposisjoner som kan dannes ved å kombinere atomproposisjoner og bruke logiske koblinger , og der et system med formelle bevisregler etablerer visse " teoremer ".
En predikatregning er et formelt system , som enten kan være førsteordenslogikk , eller logikken til andreordens eller høyereordenslogikken , er den uendelige logikken . Det uttrykker ved kvantifisering et stort utvalg av naturlige språkforslag . For eksempel barberparadokset til Bertrand Russell , "det er en mann som barberer alle menn som ikke barberer seg", kan formaliseres med formelen : ved å bruke predikatet til å indikere at det er en mann, kan det binære forholdet til å indikere at det er barbert av og andre symboler for å uttrykke kvantisering , sammenheng , implikasjon , negasjon og ekvivalens .
På naturlig språk er en modalitet en bøyning eller et tillegg for å endre semantikken til en proposisjon .
Uttalelsen "Vi går til spillene" kan for eksempel modifiseres til å lese "Vi bør gå til spillene", eller "Vi kan gå til spillene" eller "Vi skal gå til spillene" eller "Vi må gå til spillene ”.
Mer abstrakt påvirker modalitet rammeverket som en påstand er tilfredsstilt innenfor.
I formell logikk er en modal logikk en logikk utvidet med tillegg av operatører , som brukes på proposisjonene for å endre deres betydning.
Den filosofiske logikken omhandler formelle beskrivelser av naturlig språk . Disse filosofene mener at essensen av hverdagen resonnement kan transkribert til logikk, hvis ett eller flere metoden (e) klarer (lykkes) å oversette vanlig språk i denne logikken. Filosofisk logikk er egentlig en utvidelse av tradisjonell logikk som går forut for matematisk logikk og er opptatt av sammenhengen mellom naturlig språk og logikk.
Derfor har filosofiske logikere bidratt sterkt til den ikke-standardiserte utviklingslogikken (for eksempel fri logikk , den tidsmessige logikken ) og de forskjellige logiske utvidelsene (f.eks. Modalogikk ) og semantikken i denne logikken (f.eks. Supervaluationisme (en) av Kripke i semantikken til logikken).
Et logisk språk er definert av en syntaks , det vil si et system med symboler og regler for å kombinere dem i form av formler . I tillegg er en semantikk knyttet til språket. Det gjør det mulig å tolke det, det vil si å knytte en mening til disse formlene så vel som til symbolene. Et fradragssystem gjør det mulig å resonnere ved å lage demonstrasjoner.
Logikken inkluderer konvensjonelt:
Til som er lagt:
Den Syntaksen av den logikken forslag er basert på proposisjonen variabler også kalt atomer som vi betegner med små bokstaver (p, q, r, s, etc.) Disse symbolene representerer forslag på hvilken vi ikke passerer dom vis - med hensyn til sin sannhet: de kan være sanne eller falske, men vi kan heller ikke ønske å si noe om deres status. Disse variablene kombineres ved hjelp av logiske kontakter som for eksempel er:
Disse variablene danner deretter komplekse formler.
Syntaksen for andre-ordens logikk , i motsetning til første ordens logikk , anser:
I det følgende vil vi med V betegne settet med variabler (x, y, z ...), F settet med funksjonsymboler (f, g ...) og P settet med predikatsymboler (P, Q .. .). Vi har også et såkalt m arityskart . Betydningen av formlene er emnet for semantikk og varierer i henhold til det språket som vurderes.
I tradisjonell logikk (også kalt klassisk logikk eller logikk for "ekskludert tredjepart"), er en formel enten sann eller usann. Mer formelt sett er sannhetsverdiene et sett B med to boolere : sant og usant. Betydningen av kontaktene er definert ved hjelp av funksjoner fra boolere til boolere. Disse funksjonene kan representeres i form av en sannhetstabell .
Betydningen av en formel avhenger derfor av sannhetsverdien til variablene. Vi snakker om tolkning eller oppgave. Imidlertid er det vanskelig, i betydningen algoritmisk kompleksitet , å bruke semantikk for å avgjøre om en formel er tilfredsstillende (eller ikke) eller til og med gyldig (eller ikke). For det ville det være nødvendig å kunne telle opp alle tolkningene som er eksponentielle i antall.
Et alternativ til semantikk er å undersøke velformede bevis og vurdere konklusjonene deres. Dette gjøres i et system for fradrag . Et deduksjonssystem er et par (A, R), hvor A er et sett med formler kalt aksiomer og R et sett av slutningsregler , dvs. av forhold mellom sett med formler (premissene) og formler (konklusjonen).
Vi kaller avledning fra et gitt sett med hypoteser en ikke-formelig sekvens av formler som er: enten aksiomer , eller formler utledet fra de foregående formlene i sekvensen. Et bevis på en formel ϕ fra et sett med formler Γ er en avledning fra Γ hvis siste formel er ϕ.
Vi introduserer i hovedsak to kvantifiserere i moderne logikk:
Takket være negasjon spiller eksistensielle og universelle kvantifiserere to roller, og derfor kan vi i klassisk logikk basere beregningen av predikater på en enkelt kvantifier.
Et binært predikat, kalt likhet , sier at to termer er like når de representerer det samme objektet. Det styres av aksiomer eller ordninger av spesifikke aksiomer. Blant de binære predikatene er det imidlertid et veldig bestemt predikat, hvis vanlige tolkning ikke bare er begrenset av dets egenskaper angitt av aksiomene: spesielt er det vanligvis bare ett mulig likhetspredikat per modell, det som tilsvarer det forventede tolkning (identitet). Dens tilskudd til teorien bevarer noen gode egenskaper som det klassiske predikatets fullstendighetssetning . Vi vurderer derfor veldig ofte at likhet er en del av den grunnleggende logikken, og vi studerer deretter beregningen av egalitære predikater .
I en teori som inneholder likhet, introduseres ofte en kvantifiseringsenhet, som kan defineres fra de foregående kvantifiserere og likhet:
Andre kvantifiserere kan introduseres i beregningen av egalitære predikater (det er høyst ett objekt som verifiserer en slik egenskap, det finnes to objekter ...), men nyttige kvantifiseringsmidler i matematikk, for eksempel "det er en uendelig ..." eller "Det eksisterer et endelig antall ..." kan ikke representeres der og krever andre aksiomer (som de i mengdeteorien ).
Det var ikke før i begynnelsen av XX th tallet til prinsippet om bivalenspunkt er tydelig utfordret på mange forskjellige måter:
Om filosofi:
Om matematisk logikk:
Se også: