Dødelighetskraft

Den kraft dødelighet utpeker, i demografi , biologi og aktuariell vitenskap , funksjonen som beskriver utviklingen av risiko for død etter alder i en befolkning. Formelt er det definert som den øyeblikkelige sannsynligheten for død etter alder betinget av overlevelse, noe som derfor gjør det tilsvarende feilprosenten i pålitelighetsteknikk og overlevelsesanalyse . Det brukes som grunnlag for beregning av mange syntetiske indikatorer på dødelighet avledet av dødelighetstabeller , inkludert spesielt forventet levealder .

Definisjon

Dødelighetskraften er definert som en kontinuerlig positiv funksjon av alder, vanligvis bemerket . Det kan oppfattes som en ikke-observerbar funksjon som definerer sannsynlighetsloven som dødsfallet etter alder er den diskrete og observerbare erkjennelsen. Formelt sett kan antall observerte dødsfall i aldersgruppen sees på som en tilfeldig realisering av en Poisson-fordeling med en parameter som er lik integralen over en periode av produktet mellom dødelighetskraften og befolkningen utsatt for risikoen innen denne aldersgruppen. $\ mu (x)$ ${\ displaystyle {} _ {n} d_ {x}}$ ${\ displaystyle [x; x + n [}$ $\ mu (x)$ $N (x)$

${\ displaystyle {} _ {n} d_ {x} \ sim P {\ Bigl (} \ int _ {x} ^ {x + n} \ mu (a) \ cdot N (a) \ operatorname {da} { \ biggr)}}$

Den observerte dødeligheten tilsvarer forholdet mellom de observerte dødsfallene og befolkningen utsatt for risikoen . ${\ displaystyle {} _ {n} m_ {x}}$ ${\ displaystyle {} _ {n} d_ {x}}$ ${\ displaystyle {} _ {n} N_ {x}}$

${\ displaystyle {} _ {n} m_ {x} = {\ frac {{} _ {n} d_ {x}} {{} _ {n} N_ {x}}}}$

Ved å bruke dette forholdet mellom den latente funksjonen og observasjonene , er det mulig å enten estimere dødelighetskraften basert på observerte dødelighetsgrader (se modelleringsdelen ), eller å simulere diskrete dødelighetsgrader basert på 'en vilkårlig definert dødelighetskraft (for eksempel for å estimere konfidensintervallene etter Monte-Carlo-metoden ). $\ mu (x)$ ${\ displaystyle {} _ {n} m_ {x}}$

Avledede indikatorer

Overlevelseskurve

Dødelighetskraften gir grunnlag for beregning for andre vanlige funksjoner som overlevelseskurven (eller i henhold til poengkonvensjonen), som indikerer sannsynligheten for å overleve til alder . Faktisk kan dødelighetskraften også tolkes som den betingede tetthetsfunksjonen til døden, som er lik forholdet mellom den ubetingede tettheten og sannsynligheten for å overleve . Med andre ord er dødelighetens kraft øyeblikkelig sannsynlighet for å dø i en alder av x, forutsatt at du har overlevd til samme alder. Formelt, $S (x)$ $l (x)$ $x$ $\ mu (x)$ $f (x)$ $S (x)$

${\ displaystyle \ mu (x) = {\ frac {f (x)} {S (x)}}$

Ved å integrere og anvende den grunnleggende analysen , kan vi vise at det direkte forholdet mellom dødelighetskraften og overlevelseskurven er som følger:

${\ displaystyle S (x) = e ^ {- \ int _ {0} ^ {x} \ mu (t) \, \ operatorname {dt} \,}}$

Forventet levealder

Den levealder ved fødselen er definert som antall år en person kan forvente å leve fra fødsel til grunn at dødeligheten nåværende forholdene forblir uendret i løpet av sin levetid. Formelt kan den defineres som summen av årene som ble levd av en fiktiv kohorte mellom fødsel og maksimal aldersgrense, relatert til den opprinnelige størrelsen på denne kohorten. Algebraisk betyr dette å definere forventet levealder ved fødselen som integral av overlevelsesfunksjonen relatert til verdien ved fødselen . Ved å posere kan vi definere , og derfor , hvor det betegner den høyeste alderen som er observert. Denne definisjonen av forventet levealder kan utvides til alle aldre til å beregne forventet gjenstående levetid ved alder , og selv i en alder intervall for å få et begrep forventet levealder mellom og , . $e_ {0}$ $S (x)$ ${\ displaystyle S (0)}$ ${\ displaystyle S (0) = 1}$ ${\ displaystyle e_ {0} = \ int _ {0} ^ {\ omega} S (a) \ operatorname {da}}$ ${\ displaystyle e_ {0} = \ int _ {0} ^ {\ omega} e ^ {- \ int _ {0} ^ {a} \ mu (t) \, dt \,} \ operatorname {da}}$ ${\ displaystyle \ omega}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle e (x) = \ int _ {x} ^ {\ omega} e ^ {- \ int _ {0} ^ {a} \ mu (t) \, dt \,} \ operatorname {da}}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle x + n}$ ${\ displaystyle e (x, n) = \ int _ {x} ^ {x + n} e ^ {- \ int _ {0} ^ {a} \ mu (t) \, dt \,} \ operatorname { da}}$

Aldringsrate

Aldringsgraden (bokstavelig og uoffisiell oversettelse av engelsk milt av aldring ), vanligvis bemerket , refererer til det relative derivatet av dødelighetskraften. Det er formelt definert av . Det indikerer i prosent økningen i dødelighetskraften mellom to aldre på rad. Aldringsgraden er spesielt interessant fordi det er materialiseringen av det biologiske aldersbegrepet . Faktisk er den økte risikoen for død med alderen en direkte konsekvens av kroppens aldringsprosess og følger en bemerkelsesverdig regelmessig frekvens hos mennesker på rundt 15% per år, en verdi som ser ut til å ha økt over tid gjennom århundrene som svar på reduksjon i det generelle dødelighetsnivået. I andre organismer kan imidlertid denne aldringsgraden følge andre baner, som stagnasjon eller til og med reduksjon med alderen. $r (x)$ ${\ displaystyle r (x) = {\ frac {\ frac {\ partial \ mu (x)} {\ partial x}} {\ mu (x)}} = {\ frac {\ partial ln (\ mu (x ))} {\ partial x}}}$

Uobservert heterogenitet

Formen på dødelighetskraften og aldringsgraden målt på befolkningsnivå gjenspeiler ikke nødvendigvis endringer i den individuelle dødsrisikoen. Selve eksistensen av en individuell dødelighetskraft er omstridt på grunn av det faktum at den per definisjon ikke kan observeres, siden det bare er mulig å observere direkte på individnivå bare en dikotom tilstand (leve / død) og ikke en tilbøyelighet til å dø. Umuligheten av å utlede formen til en mulig kraft av individuell dødelighet fra kraften til den samlede dødeligheten har ført til at noen demografer har utviklet begrepet uobservert heterogenitet for å måle innvirkningen på formen på den samlede risikoen. individuell risiko. For eksempel er det mulig å vise at dødelighetskraften som observeres i skalaen til en befolkning kan ha form av et platå, eller til og med redusere med alderen, selv når alle individer opplever en økning i risikoen for død. Med alderen. Disse statistiske gjenstandene skyldes at de mest skjøre individer i gjennomsnitt dør tidligere enn de mest robuste, og endrer ved en seleksjonseffekt kohortsammensetningen under aldring, sistnevnte består gradvis av et flertall. Robuste individer hvis dødelighet kraft følger en lavere bane. I overlevelsesanalyse tilsvarer tilstedeværelsen av uobservert heterogenitet begrepet svakhet , vanligvis modellert ved bruk av flernivåmodeller (eller hierarkiske) modeller forutsatt en parametrisk fordeling av denne svakheten.

Modellering

Den funksjonelle formen for den menneskelige dødelighetsstyrken har vært gjenstand for mange studier som har som mål å identifisere en "naturlig" lov som gjør det mulig å beskrive utviklingen av risikoen for død med alderen. De tidligste forsøk av denne typen går tilbake minst til XVIII th århundre med publikasjoner Abraham de Moivre og fødte en rekke forskjellige para modeller for å anslå utviklingen av kraft dødelighet dødelighet etter alder observert. Disse modellene er vanligvis utstyrt med den ikke-lineære minste kvadratmetoden , selv om den bayesiske tilnærmingen noen ganger er å foretrekke. Den mest kjente av disse modellene er trolig den som ble foreslått i 1825 av Benjamin Gompertz, og som beskriver dødelighetskraften som en funksjon eksponentielt med en parameter som måler det generelle nivået av dødelighet og en andre fangsthastighet for aldring . ${\ displaystyle \ mu (x) = \ alpha \ cdot e ^ {\ beta x}}$

Denne modellen har tjent som grunnlag for mange generaliseringer som gjør det mulig å vurdere hele dødelighetskraften fra fødselen, spesielt den som Siler foreslår, og som tar hensyn til reduksjonen i risikoen for død de første leveårene, det av Heligman og Pollard, som inkluderer en overdreven dødelighet av unge voksne. Mer nylig har en ikke-parametrisk versjon av sistnevnte modell blitt foreslått ved hjelp av en sum av splines . Vi kan også vurdere at modellene av livstabeller som er foreslått for studiet av populasjoner med manglende data, er en form for modellering av dødelighetskraften.

Komponenter

De fleste modeller, parametriske eller ikke, som er designet for å beskrive utviklingen av dødelighetskraften med alderen, er additive i naturen. Faktisk er disse modellene designet med den forutsetningen at dødelighetskraften består av flere uavhengige komponenter hvis sum i hver alder utgjør dødelighetskraften. Hver av disse komponentene tilsvarer en livsfase og gjenspeiler en spesifikk biologisk, sosiologisk og / eller epidemiologisk prosess som gjelder for den livsperioden. Vi kan skille mellom fire livsfaser av denne typen, i kronologisk rekkefølge, ontogenescensen som gjelder barndommen, overdreven dødelighet hos unge voksne som ofte markerer inngangen til voksenlivet, senescence som karakteriserer utviklingen av dødeligheten i voksen alder, samt det observerte dødelighetsplatået blant (super-) hundreårige.

Merknader og referanser

(in) WF Scott , " NOE ANVENDELSER AV FISKEDISTribUSJONEN I DØDELIGHETSSTUDIER " , Transaksjoner fra fakultetet for aktuarer , Vol. 38,1 st januar 1981, s. 255–263 ( online presentasjon ).
(in) Evgeny Mr. Andreev, " Regneark for beregning av tillitsgrenser for ethvert livstabell eller sunt livstabellmengde " , MPIDR TECHNICAL REPORT ,juni 2010( les online ).
(i) Samuel Preston , Patrick Heuveline og Michel Guillot , demografi: Måling og modellering populasjonsprosesser , Wiley,3. oktober 2000, 308 s. ( ISBN 978-1-55786-451-2 , les online ).
(i) Eduardo E. Arriaga , " Måle og forklare endring i forventet levealder " , Demography , vol. 21, n o 1,1 st januar 1984, s. 83–96 ( DOI 10.2307 / 2061029 , lest online , åpnet 25. november 2016 ).
(in) Caleb E. Finch , Longevity, Senescence, and the Genom , University of Chicago Press,16. mai 1994, 938 s. ( ISBN 978-0-226-24889-9 , les online ).
(in) " Research Project on the Rate of Aging " på www.demogr.mpg.de (åpnet 25. november 2016 ) .
(i) Owen R. Jones , Alexander Scheuerlein Roberto Salguero-Gómez og Carlo Giovanni Camarda , " Mangfold av aldring over livets tre " , Nature , vol. 505, n o 7482,9. januar 2014, s. 169–173 ( ISSN 0028-0836 , PMID 24317695 , PMCID 4157354 , DOI 10.1038 / nature12789 , lest online , åpnet 25. november 2016 ).
(i) W. Lazarus og TB Sprague , " Vi priser på dødelighet og deres årsaker " , Journal of Institute of Actuaries and Insurance Magazine , vol. 18, n o 1,1 st januar 1873, s. 54–61 ( les online , konsultert 25. november 2016 ).
(i) James W. Vaupel , Kenneth G. Manton og Eric Stallard , " The impact of heterogenity in individual fragility on the dynamics of mortality " , Demography , vol. 16 n o 3,1979, s. 439–454 ( ISSN 0070-3370 og 1533-7790 , DOI 10.2307 / 2061224 , lest online , åpnet 25. november 2016 ).
(i) James W. Vaupel og Anatoly I. Yashin , " Heterogeneity's Tricks: Some Surprising Effects of Selection on Population Dynamics " , The American Statistician , vol. 39, n o 3,1 st august 1985, s. 176–185 ( ISSN 0003-1305 , DOI 10.1080 / 00031305.1985.10479424 , lest online , åpnet 25. november 2016 ).
(in) OO Aalen , " Effects of fragility in survival analysis " , Statistical Methods in Medical Research , vol. 3, n o 3,1 st oktober 1994, s. 227–243 ( ISSN 0962-2802 og 1477-0334 , PMID 7820293 , DOI 10.1177 / 096228029400300303 , lest online , åpnet 25. november 2016 ).
(i) Patrick Heuveline og Samuel J. Clark , International Handbook of Adult Dødelighet , Springer Nederland, al. "International Handbooks of Population",1 st januar 2011( ISBN 978-90-481-9995-2 og 9789048199969 , DOI 10.1007 / 978-90-481-9996-9_24 , les online ) , s. 511-532.
(i) Guillaume Wunsch , Michel Mouchart og Josianne Duchene , The Life Tabell: Modellering Survival and Death , Springer Science & Business Media,9. mars 2013, 306 s. ( ISBN 978-94-017-3381-6 , les online ).
(i) Petros Dellaportas , Adrian FM Smith og Fotis Stavropoulos , " Bayesiansk analyse av dødelighet data " , Journal of the Royal Statistical Society: Serie A (statistikk i samfunnet) , vol. 164, n o to1 st januar 2001, s. 275–291 ( ISSN 1467-985X , DOI 10.1111 / 1467-985X.00202 , leses online , åpnes 25. november 2016 ).
(i) Benjamin Gompertz , " On the Nature of the Expressive Function of the Law of Human Mortality, and was New Method of Bestemming the Value of Life Contingencies " , Philosophical Transactions of the Royal Society of London , vol. 115,1 st januar 1825, s. 513-583 ( les online , åpnet 25. november 2016 ).
(i) William Siler , " A-Competing Risk Model for Animal Mortality " , Ecology , vol. 60, n o 4,1 st august 1979, s. 750–757 ( ISSN 1939-9170 , DOI 10.2307 / 1936612 , lest online , åpnet 25. november 2016 ).
(in) L. Heligman og JH Pollard , " The age pattern of mortality " , Journal of the Institute of Actuaries , Vol. 107,1 st januar 1980, s. 49–80 ( ISSN 0020-2681 , DOI 10.1017 / S0020268100040257 , leses online , åpnes 25. november 2016 ).
(i) Carlo G. Camarda , HC Paul Eilers og Jutta Gampe , " Sums of exponentials smooth to decompose complex series of count " , Statistical Modelling ,30. mai 2016, s. 1471082X16641796 ( ISSN 1471-082X og 1477-0342 , DOI 10.1177 / 1471082X16641796 , lest online , åpnet 25. november 2016 ).
(i) Ansley J. Coale , Paul Demény og Barbara Vaughan , Regional Modell Rednings Tabeller og stabile bestander: Studier i Befolkning , Elsevier,22. oktober 2013, 504 s. ( ISBN 978-1-4832-1752-9 , les online ).
(in) Daniel A. Levitis , " Before senescence: the evolutionary demography of ontogenesis " , Proceedings of the Royal Society of London B: Biological Sciences , vol. 278, nr . 170722. mars 2011, s. 801–809 ( ISSN 0962-8452 og 1471-2954 , PMID 21123273 , PMCID 3049054 , DOI 10.1098 / rspb.2010.2190 , lest online , åpnet 25. november 2016 ).
Remund, Adrien , “ Sårbar ungdom? Tiltak, komponenter og årsaker til overdreven dødelighet blant unge voksne , doktorgradsavhandling i demografi , Universitetet i Genève,2015( les online , konsultert 25. november 2016 ).
(i) James W. Vaupel , James R. Carey , Kaare Christensen og Thomas E. Johnson , " Biodemographic Trajectories of Longevity " , Science , vol. 280, n o 5365,8. mai 1998, s. 855–860 ( ISSN 0036-8075 og 1095-9203 , PMID 9599158 , DOI 10.1126 / science.280.5365.855 , lest online , åpnet 25. november 2016 ).