Bilinær ikke-degenerert form

I matematikk er en ikke-degenerert bilinær form en bilinær form hvis to entallrom (til høyre og til venstre) er redusert til {0}.

For eksempel er et prikkprodukt et spesielt tilfelle av en ikke-degenerert bilinær form.

Definisjoner

La K et legeme , e en K - vektorrom venstre, F en K -vector plass til høyre og f en bilineær skjema på E x F .

Vi sier at f er degenerert til høyre (resp. Til venstre ) hvis det eksisterer et ikke-null-element av F (resp. Of E ) slik at det for alle (resp. For alle ). $y_ {0}$ $x_ {0}$ ${\ displaystyle f (x, y_ {0}) = 0}$ $x \ i E.$ ${\ displaystyle f (x_ {0}, y) = 0}$ ${\ displaystyle y \ i F}$
Vi kaller entallrom til høyre for følgende underområde av F : ${\ displaystyle S_ {d} (f) = \ {y \ i F, \ \ forall x \ i E, \ f (x, y) = 0 \}}$
Vi definerer på samme måte entallrommet til venstre ${\ displaystyle S_ {g} (f) \ delmengde E.}$
Vi sier at f er ikke-degenerert hvis det ikke er degenerert til høyre og til venstre.

For en vektor $x$ av E , betegner du den delvise funksjonen til $f$ som assosierer . Det er en lineær form på F , derfor et element i den algebraiske doble F * (som er, som E , et K- vektorrom til venstre). Videre er kartet over E i F * som skal assosieres lineært. Ved bygging, ${\ displaystyle f (x, \ cdot)}$ ${\ displaystyle y \ i F}$ $f (x, y)$ ${\ hat {f}}$ $x$ ${\ displaystyle f (x, \ cdot)}$ ${\ displaystyle S_ {g} (f) = \ ker {\ hat {f}}.}$
Hvis E og F er endelig dimensjonale, hvis og bare hvis , og dette tilsvarer å si at f er ikke-degenerert. ${\ displaystyle S_ {g} (f) = \ {{\ overrightarrow {0}} \}}$ ${\ displaystyle S_ {d} (f) = \ {{\ overrightarrow {0}} \}}$
Når E er et reelt vektorrom, en hvilken som helst positiv ikke-degenererte symmetrisk bilineær skjemaet E x E er definert (er det derfor en prikk-produktet ). Dette er en konsekvens av Cauchy-Schwarz ulikhet for positive bilineære former.

J.-M. Arnaudiès og H. Fraysse, matematikkurs 4: Bilinær algebra og geometri , Dunod , 1990
N. Bourbaki , Elements of mathematics , vol. II: Algebra, kapittel 9 , Berlin, Hermann ,1959( opptrykk 2007), 205 s. ( ISBN 978-3-540-35338-6 , online presentasjon )