Abel summeringsformel

I matematikk er Abels summeringsformel , oppkalt etter forfatteren Niels Henrik Abel , en formel som brukes mye i analytisk tallteori . Den brukes til å beregne numeriske serier .

Stater

La være en sekvens av reelle eller komplekse tall og en reell eller kompleks funksjon av klasse $C$ $1$ . $(a_ {n}) _ {{n \ in \ mathbb {N} ^ {*}}}$ $\ varphi$

Vi stiller

A (x) = \ sum _ {{1 \ leq n \ leq x}} {a_ {n}}.

Så for alle virkelige $x$ ,

{\ displaystyle \ sum _ {1 \ leq n \ leq x} a_ {n} \ varphi (n) = A (x) \ varphi (x) - \ int _ {1} ^ {x} A (u) \ varphi '(u) \, \ mathrm {d} u}

Demonstrasjon

Det er en integrering av deler i en Stieltjes-integral , men denne spesielle saken kan demonstreres direkte.

Funksjonen $A$ er null over $] -\infty, 1 [$ så hvis $x <1$ , koker ligningen ned til 0 = 0.

Anta nå $x \geq 1$ og betegne med $N \geq 1$ dens heltall (derav $A ( x ) = A ( N )$ ). Formelen for summering av deler gir:

{\ displaystyle {\ begin {justert} \ sum _ {1 \ leq n \ leq x} {a_ {n} \ varphi (n)} - A (x) \ varphi (x) & = A (N) \ varphi (N) - \ sum _ {n = 1} ^ {N-1} A (n) {\ big (} \ varphi (n + 1) - \ varphi (n) {\ big)} - A (x) \ varphi (x) \\ & = - \ sum _ {n = 1} ^ {N-1} A (n) {\ big (} \ varphi (n + 1) - \ varphi (n)) {\ big )} - A (N) {\ big (} \ varphi (x) - \ varphi (N) {\ big)} \\ & = - \ sum _ {n = 1} ^ {N-1} \ int _ {n} ^ {n + 1} A (u) \ varphi '(u) \ mathrm {d} u- \ int _ {N} ^ {x} A (u) \ varphi' (u) \, \ mathrm {d} u \\ & = - \ int _ {1} ^ {x} A (u) \ varphi '(u) \ mathrm {d} u. \ end {aligned}}}

Eksempler

Euler-Mascheroni konstant

For og ved å merke heltall av $x$ , finner vi (for alle reelle $x$ ≥ 1, eller til og med $x$ > 0): $a_ {n} = 1$ ${\ displaystyle \ varphi (u) = 1 / u}$ $\ lfloor x \ rfloor$

\ sum _ {{1 \ leq n \ leq x}} {\ frac 1n} = {\ frac {\ lfloor x \ rfloor} x} + \ int _ {1} ^ {x} {{\ frac {\ lfloor u \ rfloor} {u ^ {2}}} {\ mathrm d} u}

hvorfra vi utleder et integrert uttrykk for Euler-Mascheroni-konstanten :

{\ displaystyle \ gamma = 1- \ int _ {1} ^ {\ infty} \ {\ frac {xE (x)} {x ^ {2}}} \, {\ rm {d}} x}

(der $E$ er heltalsfunksjonen ).

Dirichlet-serien

For enhver klassisk Dirichlet-serie

{\ displaystyle f (s) = \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} {\ frac {a_ {n}} {n ^ {s}}}}

Abels summeringsformel, brukt på , viser at for ethvert komplekst nummer s med en reell del som er strengt større enn 0 og konvergensabscissen i serien: ${\ displaystyle \ varphi (u) = u ^ {- s}}$

{\ displaystyle f (s) = s \ int _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {A (u)} {u ^ {1 + s}}} \ mathrm {d} u}

Nedenfor er to eksempler. En annen finnes i artikkelen " Funksjon av von Mangoldt ".

Riemann zeta-funksjon

For vi får: $a_ {n} = 1$

{\ displaystyle \ sum _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {s}}} = s \ int _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {\ lfloor u \ rfloor } {u ^ {1 + s}}} \, \ mathrm {d} u}

Denne formelen er gyldig for $Re$ ( s ) > 1. Man trekker spesielt fram setningen til Dirichlet ifølge hvilken funksjonen zeta til Riemann $ζ$ ( s ) innrømmer en enkel pol av rest 1 i s = 1.

Omvendt av Riemanns zeta-funksjon

For ( Möbius-funksjonen ): ${\ displaystyle a_ {n} = \ mu (n)}$

{\ displaystyle \ sum _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {\ mu (n)} {n ^ {s}}} = s \ int _ {1} ^ {\ infty} {{\ frac { M (u)} {u ^ {1 + s}}} \, \ mathrm {d} u}}

Denne formelen er gyldig for $Re$ ( s )> 1. Symbolet $M$ betegner Mertens-funksjonen , definert av

{\ displaystyle M (u) = \ sum _ {1 \ leq n \ leq u} {\ mu (n)}}

Merk

Dette er et spesielt tilfelle av en eiendom fra den generelle Dirichlet-serien, som er demonstrert på samme måte.