Möbius-funksjon

I matematikk , den Möbius funksjon generelt en bestemt multiplikativ funksjon , definert på strengt positive heltall , og med verdier i mengden {-1, 0, 1}. Det er involvert i Möbius inversjonsformelen .

Det brukes i forskjellige grener av matematikk. Sett fra en elementær vinkel, gjør det mulig for Möbius funksjon enkelte telle beregninger , særlig for studium av p -grupper eller i grafteori . I aritmetikk blir det noen ganger definert som det inverse av den konstante multiplikasjonsfunksjonen 1 , for Dirichlet-konvolusjonsoperasjonen . Det er også funnet for studiet av cyclotomic polynomer over feltet av rasjonale tall . Dens rolle er analog for endelige feltog følgelig griper Möbius-funksjonen inn i teorien om korrigerende koder . I analytisk tallteori introduseres Möbius-funksjonen oftere ved hjelp av Dirichlet-serien . Den griper inn i visse bevis knyttet til studien av Riemann-hypotesen om primtall .

Bruken av denne funksjonen er gammel: vi finner den i Euler i 1748 eller til og med i Gauss i hans Disquisitiones arithmeticae i 1801. Det var likevel Möbius som først studerte den systematisk, i 1832.

Definisjon og egenskaper

Definisjon

Gjennom resten av artikkelen betegner N settet med naturlige tall og N * som strengt positive heltall. Den vanligste definisjonen er:

Definisjon av Möbius-funksjonen - Möbius- funksjonen $μ$ er definert fra N * i {–1, 0, 1}. Bildet μ ( n ) av et helt tall n > 0 er lik:

0 hvis n er delelig med et annet perfekt kvadrat enn 1;
1 hvis n er produktet av et jevnt antall forskjellige primtall;
–1 hvis n er produktet av et oddetall av forskjellige primtall.

Tabellen over de første tjue verdiene er derfor:

ikke	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	1. 3	14	15	16	17	18	19	20
μ ( n )	1	-1	-1	0	-1	1	-1	0	0	1	-1	0	-1	1	1	0	-1	0	-1	0

og grafen over de første femti verdiene er:

Tilsvarende definisjon

Karakterisering av Möbius-funksjonen - Möbius- funksjonen er den omvendte av konstantfunksjonen $1$ for Dirichlet-konvolusjon , det vil si den unike aritmetiske funksjonen $μ$ slik at for ethvert heltall $n > 0$ blir sumverdiene av $μ$ på alle positive divisorer av $n$ er:

\ sum _ {{d | n}} \ mu (d) = \ left \ {{\ begin {matrix} 1 & {\ mbox {si}} n = 1 \\ 0 & {\ mbox {si}} n > 1. \ End {matrise}} \ høyre.

Med denne andre definisjonen er $μ$ automatisk , som $1$ , multiplikativ , det vil si at:

${\ displaystyle \ mu (1) = 1}$ og alt relativt prime , . ${\ displaystyle m, n \ in \ mathbb {N} ^ {*}}$ ${\ displaystyle \ mu (nm) = \ mu (n) \ mu (m)}$

Bevis på ekvivalensen av de to definisjonene

La oss vise at funksjonen $μ$ i den første definisjonen tilfredsstiller godt

{\ displaystyle \ sum _ {d \ mid n} \ mu (d) = \ left \ {{\ begin {matrix} 1 & {\ mbox {si}} n = 1 \\ 0 & {\ mbox {si} } n> 1. \ slutt {matrise}} \ høyre.}

Hvis n = 1, er resultatet åpenbart. Hvis n > 1, la P være settet med primfaktorer for n og s = kort ( P ) (≥ 1). De eneste delene av n hvis bilde av μ ikke er null, er de uten en kvadratfaktor, dvs. produktene av forskjellige elementer av P , ved å bruke at antall deler av P med kardinal t er lik binomialkoeffisienten, deretter ved å bruke binomial formel :

{s \ velg t}

{\ begin {align} \ sum _ {{d \ mid n}} \ mu (d) & = \ sum _ {{D \ subset P}} \ mu \ left (\ prod _ {{p \ in D} } p \ right) = \ sum _ {{D \ subset P}} (- 1) ^ {{{\ rm {card}}} (D)}} \\ & = \ sum _ {{t = 0 }} ^ {s} (- 1) ^ {t} {{\ rm {card}}} (\ {D \ subset P \ mid {{\ rm {card}}} (D) = t \}) \ \ & = \ Sum _ {{t = 0}} ^ {s} {s \ velg t} (- 1) ^ {t} = (- 1 + 1) ^ {s} = 0, \ end { justert}}

som avslutter demonstrasjonen.
I stedet for å bruke binomialformelen, kan vi dessuten direkte bevise det i dette spesielle tilfellet, det vil si å vise at det eksisterer i P like mange deler av en jevn kardinal som en merkelig kardinal. For det er det tilstrekkelig å fikse et element p av P og å gruppere delene av P to og to, etter par av skjemaet ( S , S ∪ { p } ) der S er en del av P som ikke inneholder p . Hver del av P vises i et par og bare en, og hvert par har en del av jevn kardinal og en av odde kardinal, noe som tydelig viser at P har like mange jevne og rare deler.

Möbius inversjonsformel

Den andre definisjonen lar oss raskt demonstrere det for enhver aritmetisk funksjon f :

Den aritmetiske funksjonen g definert av

\ forall n \ i \ mathbb {N} ^ {*} \ quad g (n) = \ sum _ {{d \ mid n}} f (d)

sjekket

{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} ^ {*} \ quad f (n) = \ sum _ {d \ mid n} \ mu \ left ({\ tfrac {n} {d}} \ right ) g (d)}

Kombinatorisk

Grunnleggende definisjoner og egenskaper

En kombinatorisk tilnærming gjør det mulig å generalisere studien ovenfor. Teknikken består i å studere et endelig og delvis ordnet mengde A hvis rekkefølge er notert ≤. Vi bruker følgende definisjon:

Definisjon av en kjede - La $a$ og $b være$ to elementer i $A$ slik at $a \leq b$ . For ethvert naturlig tall p , kaller vi en kjede med lengde p som forbinder $a$ til $b$ , hvilken som helst endelig sekvens $( x 0 , x 1 , ..., x p )$ slik at:

{\ displaystyle a = x_ {0} <x_ {1} <\ cdots x_ {p-1} <x_ {p} = b}

I resten av avsnittet betegner vi med c p ( a , b ) antall kjeder med lengde p som forbinder a til b . Vi har umiddelbart noen få eiendommer. For eksempel, hvis a er et element av A , er c p ( a , a ) 1 for p = 0 og 0 for p > 0, og hvis b er et element av A som er strengt større enn a da er c 0 ( a , b ) = 0 og c 1 ( a , b ) = 1. Mer generelt etablerer vi følgende lemma:

Lemma - Hvis $a$ og $b$ er to elementer av $A$ slik at $a < b$ , for hvert naturlige tall $p$ ,

{\ displaystyle c_ {p + 1} (a, b) = \ sum _ {a \ leq c <b} c_ {p} (a, c) = \ sum _ {a <c \ leq b} c_ {p } (c, b)}

Faktisk er enhver kjede med lengde p + 1 som forbinder $a$ til $b$ sammensatt av en kjede med lengde p som forbinder $a$ til $c$ og en kjede med lengde 1 som forbinder $c$ til $b$ , noe som viser den første likheten. Den andre vises på samme måte.

Gian-Carlo Rota definerer en ny Möbius-funksjon , som han betegner μ A , og som vi vil se generaliserer μ :

Definisjon av G.-C. Rota for Möbius-funksjonen μ A - Möbius-funksjonen μ A , med heltallverdier, er definert på A × A av:

{\ displaystyle \ forall a, b \ i A \ quad a \ leq b \ Rightarrow \ mu _ {A} (a, b) = \ sum _ {p \ in \ mathbb {N}} (- 1) ^ { p} c_ {p} (a, b) \ quad {\ text {and}} \ quad a \ not \ leq b \ Rightarrow \ mu _ {A} (a, b) = 0}

Med andre ord teller vi positivt alle kjedene med jevne lengder som forbinder a til b og negativt de med ulige lengder. Vi merker videre at disse definisjonene forblir gyldige hvis A er uendelig, forutsatt at det bare eksisterer et endelig antall elementer som ligger mellom a og b (vi sier da at rekkefølgen er lokalt endelig (in) ). Lemmaet gjør det mulig å bevise følgende analog av karakteriseringen av μ:

Karakterisering av μ A - La $a$ og $b være$ to elementer i $A$ slik at $a < b$ :

{\ displaystyle \ mu _ {A} (a, a) = 1 \ quad {\ text {and}} \ quad \ sum _ {a \ leq c \ leq b} \ mu _ {A} (a, c) = \ sum _ {a \ leq c \ leq b} \ mu _ {A} (c, b) = 0}

. Demonstrasjon

Den første likheten kommer av det faktum at den unike kjeden som forbinder $a$ til $a$ er av lengde 0. Den andre er en direkte konsekvens av det foregående proposisjonen:

{\ displaystyle \ sum _ {a \ leq c \ leq b} \ mu _ {A} (a, c) = \ sum _ {a \ leq c \ leq b} \ sum _ {p \ in \ mathbb {N }} (- 1) ^ {p} c_ {p} (a, c) = \ sum _ {p \ in \ mathbb {N}} (- 1) ^ {p} \ sum _ {a \ leq c \ leq b} c_ {p} (a, c)}

Den forrige proposisjonen viser at:

{\ displaystyle \ sum _ {a \ leq c \ leq b} \ mu _ {A} (a, c) = \ sum _ {p \ in \ mathbb {N}} (- 1) ^ {p} {\ stor (} c_ {p + 1} (a, b) + c_ {p} (a, b) {\ big)} = c_ {0} (a, b) = 0}

Den siste uavgjort vises på samme måte.

Dirichlet-konvolusjonsproduktet generaliserer, noe som gjør det mulig å assosiere med en lokal endelig rekkefølge A, dens forekomstalgebra (in) , og resultatet ovenfor blir deretter omformulert ved tolkningen av μ A som en omvendt i denne ringenheten .

Dette resultatet også å vise en inversjon formel for μ A .

Forholdet mellom definisjonen av Möbius og Rota

Her betegner settet A det for strengt positive heltall utstyrt med rekkefølge: a ≤ b når a er en skillevegg av b .

Denne rekkefølgen er lokalt endelig, og når vi bruker karakteriseringen av μ A på den med 1 som den første variabelen, finner vi karakteriseringen μ.

Vi legger også merke til at hvis a deler b , knytter kartet til en streng ( x 1 , x 1 , ..., x p ) strengen (1, x 2 / x 1 , ..., x p / x 1 ) utgjør en sammenheng mellom alle kjedene med lengde p som forbinder a til b og de som forbinder 1 med b / a .

Vi utleder derfor:

Forholdet mellom definisjonene av Möbius-funksjonene - I to strengt positive heltall $a$ og $b$ slik at $a$ deler $b$ , er funksjonen μ av Möbius og at μ A av Rota er relatert av:

{\ displaystyle \ mu _ {A} (a, b) = \ mu _ {A} \ left (1, {\ frac {b} {a}} \ right) = \ mu \ left ({\ frac {b } {a}} \ høyre)}

Via denne koblingen, kan den konvensjonelle inversjon formelen for μ bli sett på som et spesialtilfelle av den for μ A .

Dirichlet-serien

For noen komplekse tall er av reell del strengt større enn 1,

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ mu (n)} {n ^ {s}}} = {\ frac {1} {\ zeta (s)}} \ quad {\ text {et}} \ quad \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {| \ mu (n) |} {n ^ {s}}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(\ mu (n)) ^ {2}} {n ^ {s}}} = {\ frac {\ zeta (s)} {\ zeta (2s)}} }

hvor er Riemann zeta-funksjonen . $\ zeta$

Den Mertens funksjon er definert ved . $M$ ${\ displaystyle M (n) = \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ mu (k)}$

Den primtall teorem tilsvarer og til . En mer avansert versjon av primtall teorem (med en eksplisitt evaluering av begrepet restene) ble brukt i 1899 av Edmund Landau å demonstrere: . ${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ mu (n)} {n}} = 0}$ ${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {M (n)} {n}} = 0}$ ${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ mu (n) \ ln n} {n}} = - 1}$

Merknader og referanser

G. Villemin, “ Möbius-funksjonen ” , om tall: kuriositeter - teori - bruk .
Françoise Badiou, “ Möbius inversjonsformel ”, Delange-Pisot-Poitou Seminar Theory of numbers , vol. 2, eksp. 1,1960, s. 2-3 ( les online [PDF] ).
For et bevis, se Badiou 1960 , s. 2-3, eller "Aritmetiske funksjoner", i "Introduksjon til tallteori" leksjon på Wikiversity .
(en) G.-C. Rota, “ On the fundaments of combinatorial theory, I: Theory of Möbius features ”, Z. Wahrscheinlechlichkeitstheorie u. verw. Gebiete , vol. 2, 1963, s. 340-368.
IREM of Marseille , Kurs og aktiviteter i regning for de avsluttende klassene ( les online ) , s. 75.
IREM-Marseille , s. 76.
IREM-Marseille , s. 80.
Se for eksempel G. Tenenbaum , Introduksjon til analytisk og sannsynlig tallteori , [ detalj av utgaver ] , SMF , koll. “Spesialiserte kurs”, Paris, 1995, I.3.6, eller (en) Tom M. Apostol , Introduksjon til analytisk tallteori , Springer ,1976, 340 s. ( ISBN 978-0-387-90163-3 , les online ), th. 4.15 og 4.16.
(fra) E. Landau, Handbuch der Lehre von der Verteiligung der Primzahlen ,1909( les online ) , s. 569.

Ekstern lenke

(no) Eric W. Weisstein , “ Möbius-funksjonen ” , på MathWorld