Fibonacci ordfraktal

Den Fibonacci ord fraktal er et plan fraktal kurve definert fra den Fibonacci ord .

Definisjon

Denne kurven er konstruert iterativt ved å anvende på Fibonacci-ordet : 0100101001001 ... OEDR-regelen (Odd-Even Drawing Rule). For hvert siffer i posisjon k :

hvis tallet er 1: tegn et segment med lengde 1 i forrige retning
hvis tallet er 0, tegner du et segment av lengde 1 etter en kvart sving:
- til høyre hvis k er jevn
- til venstre hvis k er merkelig

I en Fibonacci ordlengde som er den n -te Fibonacci tall , er forbundet med en kurve som dannes av segmenter. Kurven er presentert i tre forskjellige aspekter avhengig av om n har formen 3 k , 3 k +1 eller 3 k +2. $F_ {n}$ $F_ {n}$ $F_ {n}$

Eiendommer

Eiendommer.

Kurven , med segmenter, viser rette vinkler og flate vinkler. ${\ mathcal {F}} _ {n}$ $F_ {n}$ $F _ {{n-1}}$ $F _ {{n-2}}$
Kurven har aldri et selvskjæringspunkt eller doble punkter. Til syvende og sist presenterer den en uendelig mengde av asymptotisk nærpunkter.
Kurven viser selvlikheter i alle skalaer. Reduksjonsfaktoren er gyldig . Dette tallet, også kalt sølvnummeret , er til stede i mange av de geometriske egenskapene som er diskutert nedenfor. ${\ displaystyle 1 + {\ sqrt {2}}}$ ${\ displaystyle \ delta _ {Ag} = \ varphi _ {2}}$
Det autosimilar kopienummeret ved grad n er et Fibonacci-tall minus 1 (nærmere bestemt :) . $F _ {{3n + 3}} - 1$
Kurven avgrenser en uendelig kvadratstruktur med avtagende størrelse, i et forhold på . ${\ displaystyle 1 + {\ sqrt {2}}}$
Dette antallet kvadrater er et Fibonacci-tall.
Kurven kan også konstrueres på forskjellige måter (se galleri ):
- system med itererte funksjoner med 4 og 1 homothetisk forhold og ; ${\ displaystyle 1 / \ left (1 + {\ sqrt {2}} \ right)}$ ${\ displaystyle 1 / \ left (1 + {\ sqrt {2}} \ right) ^ {2}}$
- sidestilling av kurver n - 1 og n - 2;
- Lindermayer system ;
- iterert konstruksjon av 8 firkantede mønstre rundt hvert firkantede mønster;
- iterert konstruksjon av oktagoner.
Den Hausdorff dimensjon av kurven er , sammen med den gylne snitt . ${\ displaystyle {\ frac {3 \ log \ varphi} {\ log \ left (1 + {\ sqrt {2}} \ right)}} \ approx 1 {,} 6379}$ $\ varphi = {\ frac {1 + {\ sqrt 5}} 2}$
Ved å generalisere i en hvilken som helst vinkel mellom 0 og , er dens Hausdorff-dimensjon lik , med . $\ alfa$ $\ pi / 2$ ${\ displaystyle {\ frac {3 \ log \ varphi} {\ log \ left (1 + a + {\ sqrt {(1 + a) ^ {2} +1}} \ right)}}$ ${\ displaystyle a = \ cos \ alpha}$
Hausdorff-dimensjonen til grensen er gyldig . ${\ displaystyle {\ frac {\ log 3} {\ log \ left (1 + {\ sqrt {2}} \ right)}} \ ca 1 {,} 2465}$
Hvis du bytter rolle "0" og "1" i Fibonacci-ordet, eller i regelen, genereres den samme kurven, men orientert ved 45 °.
Fra Fibonacci-ordet kan vi definere det "tette Fibonacci-ordet", på et alfabet med 3 bokstaver: 102210221102110211022102211021102110221022102211021 ... (fortsettelse A143667 av OEIS ). Anvendelsen, på dette ordet, av en "naturlig" plottregel gjør det mulig å definere et uendelig sett med varianter av kurven, blant annet:
- den “diagonale” varianten;
- “hakekors” -varianten;
- den ”kompakte” varianten.
Vi antar at mønsteret for fraktal av Fibonacci-ordet er funnet for ethvert Sturmian-ord hvis direktivsekvens (derfor utvidelse av skråningen i fortsatte brøker ) slutter med en uendelig sekvens av "1".

Galleri

Kurve etter iterasjoner. $\ textstyle {F _ {{23}}}$
Selvlikheter
Dimensjoner
Konstruksjon ved siden av hverandre (1)
Konstruksjon ved siden av hverandre (2)
Byggemodus ved iterert sletting av firkanter.
Byggemetode iterert av oktagoner.
Iterativ konstruksjon fra firkanter.
Med en vinkel på 60 °.
Inversjon av rollene "0" og "1".
Varianter generert fra det tette Fibonacci-ordet.
"Kompakt" variant
Variant "hakekors"
"Diagonal" variant
Variant "pi / 8"

Fibonacci Tile

Sammenstillingen av 4 Fibonacci-kurver av typen gjør det mulig å konstruere en lukket kurve som avgrenser en tilkoblet overflate med ikke-null-område. Denne figuren kalles en "Fibonacci-flis". $F _ {{3k}}$

Fibonacci-flisen baner nesten flyet. Sammenstillingen av fire fliser (se illustrasjon) etterlater i midten et fritt kvadrat hvis overflate har en tendens mot null når k har en tendens til uendelig. Til slutt baner Fibonacci-flisen flyet.
Hvis Fibonacci-flisen passer inn i et kvadrat med side 1, har området en tendens mot . ${\ displaystyle 2 - {\ sqrt {2}} \ ca 0 {,} 5857}$

Fibonacci flak

Fibonacci-flak er en Fibonacci-flis som er definert i henhold til følgende regel:

${\ displaystyle q_ {n} = q_ {n-1} q_ {n-2}}$ hvis ; ${\ displaystyle n \ equiv 2 {\ pmod {3}}}$
${\ displaystyle q_ {n} = q_ {n-1} {\ overline {q_ {n-2}}}$ Hvis ikke.

Med og , "ta til venstre" og "ta til høyre", og , $q_ {0} = \ epsilon$ $q_ {1} = D$ $G =$ $D =$ ${\ displaystyle {\ overline {D}} = G}$

Noen bemerkelsesverdige egenskaper:

Det er Fibonacci-flisen assosiert med den "diagonale" varianten som ble definert tidligere.
Han legger planen til enhver iterasjon (i hvilken som helst rekkefølge)
Det banet flyet ved oversettelse på to forskjellige måter, så det er et dobbelt pseudo-kvadrat.
omkretsen, for å bestille , er verdt . $ikke$ ${\ displaystyle 4F_ {3n + 1}}$
området, for å bestille , følger de påfølgende oddetallsindeksene til Pell-sekvensen (definert av , og ). $ikke$ ${\ displaystyle P_ {0} = 0}$ ${\ displaystyle P_ {1} = 1}$ ${\ displaystyle P_ {n} = 2P_ {n-1} + P_ {n-2}}$

Merknader og referanser

(i) A. Monnerot-Dumaine, Fibonacci fraktal Word mars 2009, på HAL .
(no) A. Blondin-Massé, S. Labbé og S. Brlek, Christoffel og Fibonacci fliser , september 2009.
(in) A. Blondin Masse, S. Labbé, S. Brlek og Mendes-France, " Fibonacci snøflak " ( Arkiv • Wikiwix • Archive.is • Google • Hva skal jeg gjøre? ) ,2010.

Se også

Relatert artikkel

Liste over fraktaler etter Hausdorff-dimensjon

Ekstern lenke

(no) S. Brlek, kombinatoriske aspekter av doble firkanter ,juli 2009 (konferansemateriale, med A. Blondin-Massé og S. Labbé)