Denne artikkelen er en liste over fraktaler , ordnet etter økende Hausdorff-dimensjon .
I matematikk er en fraktal et metrisk rom hvis Hausdorff-dimensjon (bemerket δ) er strengere enn den topologiske dimensjonen . I det minste er dette definisjonen som Benoît Mandelbrot opprinnelig ga , men han erstattet den raskt med en mer vag definisjon , slik at for eksempel Hilbert-kurven ble inkludert .
δ (eksakt verdi) |
δ (omtrentlig verdi) |
Etternavn | Tegning | Merknader |
---|---|---|---|---|
0 ⇒ derfor ikke en fraktal, men dim boktelling = 1 | 0 | Rasjonelle tall | Hausdorff-dimensjonen til tellbare sett er alltid null. Disse settene kan ikke være fraktaler. La oss legge til at "box counting" -dimensjonen til et slikt sett kan være annerledes hvis det er en tett delmengde av et åpent område av R. Settet med rasjonelle tall har altså en "box-counting" dimensjon på "1" fordi lukkingen er R. | |
Regnet ut | 0,538 | Feigenbaum Attractor | ![]() |
Feigenbaum-tiltrekkeren (mellom pilene) er settet med punkter som genereres av suksessive iterasjoner av den logistiske funksjonen for den kritiske parameteren , hvor dobling av perioder er uendelig. Merk: denne dimensjonen er den samme for enhver differensierbar og unimodal funksjon. |
0,6309 | Cantor Ensemble | ![]() |
Bygget ved å fjerne den midterste tredjedelen for hver iterasjon. Ingen steder tett og av null mål, men utallige . Generalisering : Det generaliserte Cantor-settet er bygget ved å fjerne det sentrale lengdesegmentet ved hvert segment og ved den niende iterasjonen . Dens fraktaldimensjon er da verdt og kan ta alle verdiene mellom 0 og 1. Det vanlige Cantorsettet er bygget med . | |
0,6942 | Asymmetrisk kantorsett | ![]() |
Legg merke til at dimensjonen ikke lenger er , eller til og med (symmetrisk sak ovenfor med ). Bygget ved å fjerne andre kvartal for hver iterasjon. Ingen steder tett og uten mål, men utallige .
( gyldent forhold ). |
|
0,69897 | Virkelige tall med jevne desimaler | ![]() |
Husker et sett Cantor . | |
0,7325 | UNU fraktal | ![]() |
Selvbeskrivende fraktal konstruert av suksessive iterasjoner av følgende diagram: u → unu (a “u”) → unuunnunu (a “u”, en “n”, en “u”) → etc. |
δ (eksakt verdi) |
δ (omtrentlig verdi) |
Etternavn | Tegning | Merknader | |
---|---|---|---|---|---|
1 | 1.0000 | Smith-Volterra-Cantor Ensemble | ![]() |
Bygget ved å fjerne den fjerde og den sekstende, den 64 th ... sentralt i hver iterasjon. Er ingen steder tett, men er utellelig og har Lebesgue mål 1/2. Den har derfor dimensjon 1. | |
1.0000 | Takagi eller Blancmange kurve | ![]() |
Sett til enhetsintervallet ved , hvor er "sagtann" -funksjonen. Spesielt tilfelle av Takahi-Landsberg-kurven: med . Hausdorff-dimensjonen er gyldig . | ||
regnet ut | 1.0812 | Julia sett z² + 1/4 | ![]() |
Julia satt til c = 1/4. | |
Løsningen er av | 1.0933 | Rauzy Fractal Boundary | ![]() |
Geometrisk representasjon av den dynamiske systemet forbundet med substitusjon Tribonacci: , og . er en av to konjugerte komplekse røtter av . | |
1.12915 | Gosper Island | ![]() |
Navngitt av Mandelbrot (1977). Grense for Gosper-kurven . | ||
Målt ( kassetelling ) | 1.2 | Julia satt for c = i (dendrite) | Julia satte for c = i | ||
1.2083 | Fraktal Fibonacci-ord til 60 ° | ![]() |
Konstruert fra Fibonacci-ordet , med en vinkel på 60 °. Se også fraktalen til standard Fibonacci-ordet nedenfor. Med ( gyldent forhold ). | ||
1.2107 | Twindragon tam grense | ![]() |
En av de seks vanlige 2- carpaversene (kan banes med to eksemplarer av seg selv, av samme størrelse). | ||
1.2465 | Fibonacci ord fraktal grense | ![]() |
Konstruert fra Fibonacci-ordet . Se også fraktalen til standard Fibonacci-ordet nedenfor. Med ( gyldent forhold ). | ||
1.26 | Hénon tiltrekker | ![]() |
Det kanoniske Henon-kartet ( a = 1,4 og b = 0,3) har δ = 1,261 ± 0,003. Ulike parametere fører til forskjellige verdier av δ. | ||
1.2619 | Koch kurve | ![]() |
Ved å sidestille denne trekantkurven tre ganger, får vi Koch-flak og anti-Koch-flak hvis den er omvendt. | ||
1.2619 | Border of terdragon curve | ![]() |
L-System : ligner kurven til dragen med en vinkel på 30 °. Den Fudgeflake er bygget ved å sammenstille 3 initielle segmenter i en trekant. | ||
1.2619 | Cantor's Square | ![]() |
To-dimensjonalt Cantorsett . | ||
regnet ut | 1.2683 | Julia satt for z ²-1 | ![]() |
Julia satte til c = -1. | |
Målt (kassetelling) | 1.3 | Berylfraktal for k = 1 | ![]() |
For k = 1. Beryl-fraktalen er definert av med kompleks x og y , c et punkt på det komplekse planet, og kuttet i planet | |
regnet ut | 1.3057 | Baderne av Apollonius | ![]() |
Se | |
beregnet (kassetelling) | 1.328 | 5-sirkel inversjonsfraktal | ![]() |
Grensesettet genererte iterativt via inversjoner med hensyn til 5 tangensirkler. Også en kjerring av Apollonius med 4 grunnleggende sirkler. Se | |
regnet ut | 1.3934 | Douadys kanin | ![]() |
Julia satt for c = -0,123 + 0,745i. | |
Målt (kassetelling) | 1,42 ± 0,02 | Newtons fraktal | ![]() |
Trippel grense av tiltrekningsbassengene til ligningens 3 komplekse røtter etter Newtons metode . | |
1.4649 | Vicsek fraktal | ![]() |
Konstruert ved å erstatte hver firkant med et kryss på 5 firkanter. | ||
1.4649 | Kvadratisk Koch-kurve (type 1) | ![]() |
Vi finner det mønsteret av fraktal boksen (se ovenfor), konstruert annerledes. | ||
1,5000 | Kvadratisk Koch-kurve (type 2) | ![]() |
Også kalt “Minkowski pølse”. | ||
(antatt riktig) | 1,5000 | en Weierstrass-funksjon : | ![]() |
Hausdorff-dimensjonen til Weierstrass-funksjonen definert av med og er avgrenset av Det antas at dette er den eksakte verdien. Det samme resultatet kan etableres ved å bruke, i stedet for sinusfunksjonen, andre periodiske funksjoner som cosinus. | |
1.5236 | Dragon buet kant | ![]() |
Se Chang & Zhang. | ||
1,5236 | Twindragon- grensen | ![]() |
En av de seks vanlige 2- carpaversene (kan banes med to eksemplarer av seg selv, av samme størrelse). | ||
1.5849 | Tre med tre grener |
![]() ![]() |
Hver gren har tre grener (her 90 ° og 60 °). Den fraktale dimensjonen til treet er den av terminalgrenene. | ||
1.5849 | Sierpiński trekant | Det er også Pascals trekant modulo 2. | |||
1.5849 | Pilspissen Sierpiński kurve | Samme grense som Sierpiński-trekanten (ovenfor), men oppnådd ved gjentakelser av en endimensjonal kurve. | |||
1.5849 | Kant til brakettens brudd (en) (T-firkant) | ![]() |
|||
1.61803 = | en gylden drage | ![]() |
Bygget med to-skala skalering og , med . Dimensjonen er verdt fordi . Med ( gyldent forhold ). | ||
1.6309 | Pascals trekantmodul 3 | ![]() |
Generelt sett er fraktal dimensjon for en trekant modulo k, hvis k er prime (jf. Stephen Wolfram) | ||
1.6309 | Sierpinski sekskant | ![]() |
Bygget på samme måte som Sierpinski-teppet , på et sekskantet nettverk, med 6 likheter i forholdet 1/3. Vi merker Koch-snøfnuggets allestedsnærvær . | ||
1.6379 | Fibonacci ordfraktal | ![]() |
Fraktal basert på Fibonacci-ordet (eller kaninsekvens) Sloane A005614. Illustrasjon: Fraktal etter F 23 = 28657 segmenter. Med ( Golden ratio ). | ||
Løsning av | 1.6402 | Tiltrekker av en IFS med 3 likheter mellom forhold 1/3, 1/2 og 2/3 | ![]() |
Generalisering: Forutsatt at betingelsen med åpne alle tilfredsstilt, attraktor av en funksjon system iterert til simulitudes-forholdet , er Hausdorff dimensjon , løsning av ligningen: . | |
1.6826 | Pascals trekantmodul 5 | ![]() |
Generelt sett, for en modulo k trekant, hvis k er prime, er den fraktale dimensjonen (jfr. Stephen Wolfram) | ||
Målt (kassetelling) | 1.7 | Ikeda Attractor | ![]() |
For parameterverdiene a = 1, b = 0,9, k = 0,4 og p = 6 i Ikeda iterated system . Derivat av en modellering av interaksjoner mellom plane bølger i en laser. Ulike parametere gir forskjellige verdier. | |
1.7227 | Pinwheel fractal | ![]() |
Bygget fra den asfalterte vindmøllen til John Conway . | ||
1.7712 | Sierpinski sekskant | ![]() |
Konstruert ved å erstatte hver sekskant iterativt med en 7 sekskantflak. Grensen er Koch snøfnugg. Inneholder en uendelig Koch-flak (positiv og negativ). | ||
logg (7) / logg (3) | 1.7712 | Rivera Fractal HI | Fra og med et kvadrat som deler dimensjonene i tre like deler for å danne ni selvlignende firkanter med det første kvadratet, slettes to midtre firkanter (den ene over og den under den sentrale firkanten) i hver av de syv rutene som ikke er eliminert. prosessen gjentas, så den fortsetter på ubestemt tid. | ||
1.7848 | 85 ° Koch kurve, Cesàro fraktal | ![]() |
Generalisering av Koch-kurven basert på en vinkel er valgt mellom 0 og 90 °. Fraktaldimensjonen er da gyldig . Cesàros fraktal er basert på dette motivet. | ||
1,8272 | En selvraffinerende fraktal | ![]() |
Konstruert iterativt fra et gitter på en firkant, med . Hausdorff-dimensjonen er lik med og antall elementer i kolonne k. Den Minkowski - Bouligand dimensjon (boks telling) gir en annen formel, derfor ofte en annen verdi. I motsetning til selvlignende fraktaler, avhenger Hausdorff-dimensjonen av selvaffine fraktaler av posisjonen til de itererte elementene, og det er ingen enkel formel for det generelle tilfellet. | ||
1,8617 | Flake femkantet (en) ( pentaflake) | ![]() |
Konstruert ved å erstatte hver femkant iterativt med en flake på 6 pentagoner. Her er det gyldne forholdet og er verdt | ||
løsning av | 1,8687 | "Apetreet" | ![]() |
Denne kurven vises under dette navnet i ( Mandelbrot 1982 ). Den er basert på 6 utvidelse av forholdet 1/3 og 5 utvidelse av forholdet . | |
1.8928 | Sierpiński teppe | ||||
1.8928 | Cantor's Cube | ![]() |
Tredimensjonalt Cantorsett . | ||
1.8928 | Kartesisk produkt av von Koch-kurven og Cantor-settet | ![]() |
Generalisering: La F × G være det kartesiske produktet av to fraktalsett F og G. Deretter dim H (F × G) = dim H (F) + dim H (G) . | ||
Verdsatt | 1,9340 | Lévy fraktal grense | ![]() |
Anslått av Duvall og Keesling (1999). Selve Lévy-fraktalen har Hausdorff dimensjon 2. | |
1.974 | Penrose asfaltering | ![]() |
Se Ramachandrarao, Sinha & Sanyal |
δ (eksakt verdi) |
δ (omtrentlig verdi) |
Etternavn | Tegning | Merknader |
---|---|---|---|---|
2 | Mandelbrot satte grense | ![]() |
Grensen har samme dimensjon som helheten. | |
2 | noen sett med julia | ![]() |
For bestemte verdier av c (på grensen til Mandelbrot-settet) har Julia-settet dimensjon 2. | |
2 | Sierpiński kurve (in) | ![]() |
Ethvert kurvefyllingsrom har en Hausdorff-dimensjon δ = 2. | |
2 | Hilbert kurve | ![]() |
Kan utvides til tre dimensjoner. | |
2 | Peanokurve | ![]() |
og en familie med lignende konstruksjonskurver, inkludert Wunderlich-kurver . | |
2 | Curve Moore (en) | ![]() |
Kan utvides til 3 dimensjoner. | |
2 | Lebesgue-kurve | ![]() |
I motsetning til de ovennevnte kurvene, er denne forskjellig nesten overalt . En annen type 2D-kurve er også definert. Denne kurven kan utvides i 3D med en fraktal dimensjon på 3. | |
2 | Drakurve | ![]() |
Grensen har en fraktal dimensjon på 1.5236 (Se Chang & Zhang) | |
2 | Kurve "Terdragon" | ![]() |
L-system : F → F + FF; vinkel = 120 °. | |
2 | Peano-Gosper-kurve | ![]() |
Grensen er Gosper Island . | |
Løsning av | 2 | Kurve som fyller Koch snøfnugg | ![]() |
Foreslått av Mandelbrot i 1982, fyller det Koch snøfnugg . Den er basert på 7 1/3 forholdslikheter og 6 forholdsforhold . |
2 | Sierpinskis tetraeder | ![]() |
Som en konsekvens av dens dimensjon 2 forblir overflaten uendret fra iterasjon til iterasjon, opp til uendelig. | |
2 | Fractal H (in) | ![]() |
Også Mandelbrot-treet, som har en lignende struktur. | |
2 | Pythagoras tre | ![]() |
Hvert kvadrat genererer to kvadrater av siden redusert med 1 / rot (2). | |
2 | Gresk korsfraktal | ![]() |
Hvert segment erstattes av et kryss dannet av fire segmenter. |
δ (eksakt verdi) |
δ (omtrentlig verdi) |
Etternavn | Tegning | Merknader |
---|---|---|---|---|
Målt | 2,01 + -0,01 | Rössler tiltrekker | ![]() |
Fraktaldimensjonen til Rössler-tiltrekkeren er litt større enn 2. For a = 0,1, b = 0,1 og c = 14 er det estimert mellom 2,01 og 2,02. |
Målt | 2,06 + -0,01 | Lorenz's Strange Attractor | ![]() |
For tiltrekningsparametrene: v = 40, = 16 og b = 4. |
2.3219 | Fraktalpyramide | ![]() |
Hver pyramide erstattes av 5 pyramider. For ikke å forveksle med Sierpinskis tetraeder, de er firkantbaserte pyramider. | |
2.3296 | Fraktal dodekaeder | ![]() |
Hver dodekaeder erstattes av 20 dodekaeder. | |
2.33 | Type 1 tredimensjonalt kvadratisk Koch-overflate | ![]() |
Tredimensjonal utvidelse av type 1 todimensjonal Koch kvadratisk kurve (figuren illustrerer den andre iterasjonen). | |
2,47 | Mellomrom av kulene til Apollonius | ![]() |
Baderne av Apollonius i tre dimensjoner. Modell brødsmulene eller svampen. Dimensjon beregnet av M. Borkovec, W. De Paris og R. Peikert. | |
2,50 | Type 2 tredimensjonal kvadratisk Koch-overflate | ![]() |
Tredimensjonal utvidelse av type 2 todimensjonal Koch kvadratisk kurve (figuren illustrerer den andre iterasjonen). | |
2,5237 | Cantor's Hypercube | ingen representasjon mulig | Kantorsett i 4 dimensjoner. Generelt, i et rom med dimensjon n, har Cantor settet en fraktal dimensjon lik | |
2,529 | Jerusalem Cube | ![]() |
Dens homothetiske forhold er irrasjonelt, det er verdt . En iterasjon på en terning n bygger åtte kuber av neste rang n + 1 og tolv kuber av n + 2. Rangeres . Sammenlignes med Menger-svampen , hvis volum også har en tendens til null. | |
2.5819 | Fractal Icosahedron | ![]() |
Hver icosahedron erstattes av 12 icosahedra. | |
2.5849 | Fraktal oktaeder | ![]() |
Hver oktaeder erstattes av 6 oktaeder. | |
2.5849 | Koch overflate | ![]() |
Hver likesidig trekant erstattes av 6 trekanter dobbelt så små. 2-dimensjonal utvidelse av Koch-kurven . | |
2,59 | Tredimensjonal gresk korsfraktal | ![]() |
Hvert segment erstattes av et tredimensjonalt kors dannet av 6 segmenter. Tredimensjonal forlengelse av det todimensjonale korset. | |
2.7095 | Von Koch i 3D (Delta Fractal) | ![]() |
En del av et polyhedron med 6 likbenede flater med sider i forholdet 2: 2: 3. erstatt hver flerhet ikke tre eksemplarer av seg selv, 2/3 mindre. | |
2.7268 | Menger svamp | ![]() |
Overflaten har en fraktal dimensjon på . | |
2.8073 | Fraktal heptahedron | ![]() |
Bygget med 7 1/2 forholds skalering. Ansiktene består av Sierpinski-trekanter. Volumet har en tendens mot null. |
δ (eksakt verdi) |
δ (omtrentlig verdi) |
Etternavn | Tegning | Merknader |
---|---|---|---|---|
3 | Tredimensjonal Hilbert-kurve | ![]() |
Hilbert-kurven utvidet til tre dimensjoner | |
3 | Tredimensjonal Lebesgue-kurve | ![]() |
Lebesgue-kurven utvidet til tre dimensjoner | |
3 | Curve Moore (in) tredimensjonal | ![]() |
Moore-kurven utvidet til tre dimensjoner. | |
3 | 3 | Mandelbulb | ![]() |
Utvidelse av Mandelbrot-settet (kraft 8) til 3 dimensjoner. |
δ (eksakt verdi) |
δ (omtrentlig verdi) |
Etternavn | Tegning | Merknader |
---|---|---|---|---|
1/2 | 0,5 | Nuller av grafen til en brownisk funksjon ( Wiener-prosess ) | ![]() |
Nullene til grafen til en brownisk funksjon utgjør et intetsteds tett sett , av Lebesgue-mål 0, med en fraktal struktur. |
Løsning av med og | 0,7499 | Tilfeldig kantorsett 50% / 30% | ![]() |
På hver iterasjon er lengden på venstre intervall definert av en tilfeldig variabel : en variabel prosentandel av lengden på det originale segmentet. Ditto for intervallet til høyre, med en annen tilfeldig variabel . Hausdorff-dimensjonen tilfredsstilte deretter ligningen . ( er den matematiske forventningen til ). |
Målt | 1.05 | Menneskelig kromosom nr . 22 | ![]() |
Se referanse for detaljer om beregningsmetoden. |
Løsning av | 1144 ... | Koch-kurve med tilfeldig intervall | ![]() |
Lengden på medianintervallet er en jevnt fordelt tilfeldig variabel i (0; 1/3). |
Målt | 1.24 | Coast of Great Britain | ![]() |
Brøkdimensjon på vestkysten av Storbritannia, målt av Lewis Fry Richardson og sitert av Benoît Mandelbrot . |
1.2619 | Koch kurve med tilfeldig orientering | ![]() |
Vi introduserer her et tilfeldighetselement som ikke påvirker dimensjonen ved å velge tilfeldig, ved hver iterasjon, å plassere den ligesidige trekanten over eller under kurven. | |
1.33 | Brownske bevegelser frontier | ![]() |
||
1.33 | To-dimensjonal polymer | I likhet med bruniansk bevegelse uten selvkryss. | ||
1.33 | Front percolation , front korrosjon to-dimensjonal | ![]() |
Fraktal dimensjon av perkolasjonsfronten ved invasjon ved perkolasjonsterskelen (59,3%). Det er også den fraktale dimensjonen til korrosjonsfronten. | |
1.40 | Aggregat av aggregater i to dimensjoner | Aggregater kombineres gradvis til et enkelt 1,4-dimensjonalt aggregat. | ||
1.5 | Graf over en Brownsk funksjon ( Wiener-prosess ) | ![]() |
Graf av en funksjon slik at for et par positive realer og , forskjellen på bildene deres følger en sentrert gaussisk variansfordeling = . Generalisering: En brøkdel av Brownian av indeksen følger den samme definisjonen, men med en varians = , i dette tilfellet Hausdorff-dimensjonen i grafen = . | |
Målt | 1,52 | norske kysten | ![]() |
Se Feder. |
Målt | 1.55 | Tilfeldig gange uten kryss | ![]() |
Tilfeldig vandring i et firkantet nettverk uten selvkryss, med backtracking-algoritme for å unngå blindveier. |
1,66 | Tredimensjonal polymer | I likhet med bruniansk bevegelse i et kubisk gitter, men uten selvkryss. | ||
1,70 | To-dimensjonal diffusjon aggregat | ![]() |
I to dimensjoner dannes partikler gradvis ved diffusjon et aggregat av dimensjon 1,70. | |
1.7381 | Fraktal perkolasjon med 75% sannsynlighet | ![]() |
Fraktal perkolasjonsmodellen er bygget ved gradvis å erstatte hvert kvadrat med et 3x3 rutenett der det er plassert en tilfeldig samling av underkanter, hvor hvert underkvarter har en sannsynlighet p for å bli beholdt. Hausdorff-dimensjonen "nesten sikker" er lik . | |
7/4 | 1,75 | Grense for en todimensjonal perkolasjonsklynge | ![]() |
Grensen til en perkolasjonsklynge kan også simuleres ved en marsj som spesifikt genererer grensen eller bruker evolusjonen Schramm-Loewner (in) . |
1,8958 | Heap perkolasjon i to dimensjoner | ![]() |
Under perkolasjonsterskelen (59,3%) dekker invasjonens perkolasjonsklynge en overflate med fraktal dimensjon 91/48. Utover terskelen er klyngen uendelig og 91/48 blir "gladene" sin fraktale dimensjon. | |
2 | Brownsk bevegelse | ![]() |
Modellert av tilfeldig gange. Hausdorff-dimensjonen forblir lik 2 i alle dimensjoner større enn eller lik 2. | |
Målt | Omtrent 2 | Distribusjon av galaksehoper | ![]() |
Målt fra 2005 Sloan Digital Sky Survey-resultater. Se referanse |
2.33 | blomkål overflaten | ![]() |
Hver gren har ca 13 grener tre ganger kortere. | |
2,4 ± 0,2 | Krøllete papirkule | ![]() |
Diameteren på den krøllete papirkulen, hevet til en ikke-heltallseffekt mellom 2 og 3, er omtrent proporsjonal med arealet av brukt papir. Bretter dannes i alle skalaer. | |
2,50 | Tredimensjonal diffusjon aggregat | ![]() |
I tre dimensjoner dannes partikler gradvis ved diffusjon et aggregat av dimensjon 2.5. | |
2,50 | Lichtenberg-skikkelse | ![]() |
Arborescerende elektriske utladninger, kjent som Lichtenberg-figurer, vokser i form av diffusjon ved aggregering. | |
2.5 | Brun overflate | ![]() |
En funksjon , gir en høyde på et punkt slik at, for to positive intervaller og , følger en sentrert gaussisk fordeling av varians = . Generalisering: En brøkindeks Brownian overflate følger samme definisjon, men med en varians = , i dette tilfellet dens Hausdorff dimensjon = . | |
Målt | 2,52 | Haug percolation 3D | ![]() |
Ved perkolasjonsterskelen har 3D-invasjonen perkolasjonsklyngen en fraktal dimensjon på omtrent 2,52. |
Målt | 2.66 | Brokkoli | ![]() |
|
2,79 | Menneskelige hjerne flate | ![]() |
||
2,88 - 2,97 | lungeoverflaten | ![]() |
Lungealveolienettverket danner en fraktal overflate nær 3 | |
Regnet ut | 3 | Kvantestreng | ![]() |
Banen til en kvantestreng hvis representative poeng kommer tilfeldig. |