Baumslag-Solitar Group
I matematikk og spesielt i gruppeteori er Baumslag-Solitar-grupper eksempler på grupper med to generatorer og en relator som spiller en viktig rolle i kombinatorisk gruppeteori og i geometrisk gruppeteori som eksempler eller moteksempler.
Definisjon
Baumslag-Solitar-gruppene BS ( m , n ) er definert, for ethvert par relative heltall, av presentasjonenm,ikke{\ displaystyle m, n}
BS(m,ikke)=⟨på,b∣på-1bmpå=bikke⟩{\ displaystyle {\ text {BS}} (m, n) = \ left \ langle a, b \ mid a ^ {- 1} b ^ {m} a = b ^ {n} \ right \ rangle}.
der notasjonen betyr at gruppen er kvotienten til den frie gruppen generert av generatorer a og b av den fremtredende undergruppen generert av .
på-1bmpåb-ikke{\ displaystyle a ^ {- 1} b ^ {m} ab ^ {- n}}
Ulike BS ( m , n ) grupper er velkjente. Dermed er BS (1, 1) den frie abelske gruppen over to generatorer , og BS (1, -1) er den grunnleggende gruppen i Klein-flasken .
Grupper ble definert av Gilbert Baumslag og Donald Solitar i 1962 for å gi eksempler på ikke-hopfiske grupper . De omfatter residualt endelige grupper, Hopfian grupper som ikke residualt endelig, og ikke-Hopfian grupper.
Eiendommer
-
BS(m,ikke){\ displaystyle {\ text {BS}} (m, n)}er gjenværende endelig hvis og bare hvis eller eller .|m|=|ikke|{\ displaystyle | m | = | n |}|m|=1{\ displaystyle | m | = 1}|ikke|=1{\ displaystyle | n | = 1}
-
BS(m,ikke){\ displaystyle {\ text {BS}} (m, n)}er hopfien hvis og bare hvis det er gjenværende endelig eller hvis og har samme sett med hoveddelere. Det er relativt enkelt å bevise at en endelig generert og gjenværende endelig gruppe er Hopfian.m{\ displaystyle m}ikke{\ displaystyle n}
Den mest kjente av gruppene er . Han er ikke Hopfien; applikasjonen er virkelig en epimorfisme som ikke er en isomorfisme. Det er virkelig lett å verifisere at det er i kjernen av morfismen siden bildet er .
BS(2,3)=⟨på,b∣på-1b2på=b3⟩{\ displaystyle {\ text {BS}} (2,3) = \ left \ langle a, b \ mid a ^ {- 1} b ^ {2} a = b ^ {3} \ right \ rangle}på→på,b→b2{\ displaystyle a \ til a, b \ til b ^ {2}}(b-1på-1bpå)(b-1på-1bpå)b-1{\ displaystyle (b ^ {- 1} a ^ {- 1} ba) (b ^ {- 1} a ^ {- 1} ba) b ^ {- 1}}(b-2på-1b2på)2b-2=(b-2b3)2b-2=1{\ displaystyle (b ^ {- 2} a ^ {- 1} b ^ {2} a) ^ {2} b ^ {- 2} = (b ^ {- 2} b ^ {3}) ^ {2 } b ^ {- 2} = 1}
Baumslag-Solitar-gruppene er delt inn i tre familier: de som er restbegrensede, de som er hopfianere uten å være restitusjonsbegrensede og de som ikke er hopfianere. Forskjellen er mer markert i henhold til parametrene: de som eller på den ene siden, og de som på den andre.
|m|=1{\ displaystyle | m | = 1}|ikke|=1{\ displaystyle | n | = 1}|m|,|ikke|≠1{\ displaystyle | m |, | n | \ neq 1}
Saken m=1{\ displaystyle m = 1}
For en gruppe
BS(1,ikke)=⟨på,b∣på-1bpå=bikke⟩{\ displaystyle {\ text {BS}} (1, n) = \ left \ langle a, b \ mid a ^ {- 1} ba = b ^ {n} \ right \ rangle}det er en åpenbar homomorfisme på den uendelige sykliske gruppen ved å sette , og det kan vises at kjernen er isomorf til additivgruppen med rasjonelle tall -adisk . Dermed er disse gruppene metabelians og har sterke strukturelle egenskaper; spesielt har de ikke en gratis undergruppe av rang 2. I tillegg har elementene i disse gruppene spesielt enkle normale former: ethvert element er representert unikt i formen , med og hvis i tillegg , så er det ikke delbart med . Når , det er alltid en normal form fordi Baumslag-Solitar-grupper er eksempler, og faktisk de enkleste eksemplene, på HNN-utvidelser . Dette resulterer i følgende egenskaper:
b=1{\ displaystyle b = 1}ikke{\ displaystyle n}påJegbkpå-j{\ displaystyle a ^ {i} b ^ {k} a ^ {- j}}Jeg,j≥0{\ displaystyle i, j \ geq 0}Jeg,j>0{\ displaystyle i, j> 0}k{\ displaystyle k}ikke{\ displaystyle n}|m|,|ikke|≠1{\ displaystyle | m |, | n | \ neq 1}
La et ord reduseres fritt som representerer enhetselementet. Så har en formfaktor med , eller med .
w{\ displaystyle w}BS(m,ikke){\ displaystyle {\ text {BS}} (m, n)}w{\ displaystyle w}på-1bkpå{\ displaystyle a ^ {- 1} b ^ {k} a}m|k{\ displaystyle m | k}påbkpå-1{\ displaystyle ab ^ {k} a ^ {- 1}}ikke|k{\ displaystyle n | k}Dette viser at, i , ordet
BS(2,3){\ displaystyle {\ text {BS}} (2,3)}
b-1på-1bpåb-1på-1bpåb-1{\ displaystyle b ^ {- 1} a ^ {- 1} bab ^ {- 1} a ^ {- 1} bab ^ {- 1}}representerer ikke enhet, og kan også brukes til å vise at når , da inneholder en gratis undergruppe av rang to.
|m|,|ikke|≠1{\ displaystyle | m |, | n | \ neq 1}BS(m,ikke){\ displaystyle {\ text {BS}} (m, n)}
Merknader og referanser
-
Gilbert Baumslag og Donald Solitar, “ Some two-generator one-relator non-Hopfian groups ”, Bulletin of the American Mathematical Society , vol. 68,1962, s. 199-201 ( Matematikkanmeldelser 0142635 , lest online , åpnet 20. juli 2018 ).
-
Stephen Meskin, “ Non-residually endite one-relator groups ”, Trans. Bitter. Matte. Soc. , vol. 64,1972, s. 105–114 ( matematiske anmeldelser 285589 ).
Bibliografi
- Michaël Cadilhac, Dmitry Chistikov og Georg Zetzsche, “Rational Subsets of Baumslag-Solitar Groups” , i Artur Czumaj Anuj Dawar Emanuela Merelli (redaktører), Proceedings of ICALP 2020 , Schloss Dagstuhl - Leibniz-Zentrum für Informatik, koll. "LIPIcs" ( nr . 168)2020( DOI 10.4230 / LIPIcs.ICALP.2020.116 , arXiv 2006.11898 (detaljert versjon) , les online ) , s. 116: 1-116: 16
-
Margot Bouette, On the growth of automorphisms of Baumslag-Soliltar groups , Thesis, University of Rennes I,2016( les online ).
- (en) Donald J. Collins , “Baumslag - Solitar group” , i Michiel Hazewinkel , Encyclopædia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , lest online )
Relaterte artikler
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">