Coxeter-gruppe

En Coxeter-gruppe er en gruppe generert av refleksjoner i et rom. Coxeters grupper finnes i mange områder av matematikk og geometri . Spesielt er tosidige grupper , eller isometriske grupper av vanlig polyhedra , Coxeter-grupper. De Weyl grupper er andre eksempler på Coxeter grupper.

Disse gruppene er oppkalt etter matematikeren HSM Coxeter .

Formell definisjon

En Coxeter-gruppe er en W-gruppe som har en presentasjon av typen:

⟨r1,r2,...,rikke∣(rJegrj)mJegj⟩{\ displaystyle \ left \ langle r_ {1}, r_ {2}, \ ldots, r_ {n} \ mid (r_ {i} r_ {j}) ^ {m_ {ij}} \ right \ rangle}

hvor er verdsatt i , er symmetrisk ( ) og sjekker , hvis . Betingelsen innebærer ved konvensjon at det ikke pålegges noe forhold mellom og . Merk at det ikke betyr noe annet enn det faktum at og pendler. Betingelsen betyr at generatorene er av orden to: vi tenker på dem som refleksjoner. La S være settet med generatorer. Når vi vil indikere dette settet, sier vi at (W, S) er et Coxeter-system. mJegj{\ displaystyle m_ {ij}}IKKE∪{∞}{\ displaystyle \ mathbb {N} \ cup \ {\ infty \}}mJegj=mjJeg{\ displaystyle m_ {ij} = m_ {ji}}mJegJeg=1{\ displaystyle m_ {ii} = 1}mJegj≥2{\ displaystyle m_ {ij} \ geq 2}Jeg≠j{\ displaystyle i \ neq j}(rJegrj)∞{\ displaystyle (r_ {i} r_ {j}) ^ {\ infty}}rJeg{\ displaystyle r_ {i}}rj{\ displaystyle r_ {j}}mJegj=2{\ displaystyle m_ {ij} = 2}rJeg{\ displaystyle r_ {i}}rj{\ displaystyle r_ {j}}mJegJeg=1{\ displaystyle m_ {ii} = 1}

Grunnleggende egenskaper

Som kunngjort innledningsvis, kan en Coxeter-gruppe sees på som en gruppe ortogonale refleksjoner i en viss forstand. Nøyaktig, hvis W er en Coxeter-gruppe, eksisterer det et reelt vektorrom V utstyrt med en ikke-degenerert bilinær form q slik at W injiserer i gruppen O (q) automorfismer av V som bevarer q. Siden de er i orden 2, sendes generatorene gitt av presentasjonen deretter på ortogonale refleksjoner. OBS: q er ikke nødvendigvis positiv, V er da ikke et euklidisk rom. rJeg{\ displaystyle r_ {i}}

Presentasjonen av en Coxeter-gruppe gjør det mulig å definere lengden på elementene: hvis w er i W, kaller vi lengden på w og vi betegner med l (w) minimum antall generatorer som skal multipliseres for å oppnå w. Følgende lengdegenskaper er enkle: la (W, S) være et Coxeter-system, da

l(ws)=l(w)-1{\ displaystyle l (ws) = l (w) -1}eller for s i S l(ws)=l(w)+1{\ displaystyle l (ws) = l (w) +1}

l(w-1)=l(w){\ displaystyle l (w ^ {- 1}) = l (w)}

Eksempel

Den symmetriske gruppen er en Coxeter-gruppe. Vi kan se det som gruppen av isometrier til en n-dimensjonal simpleks , eller bruke følgende presentasjon: genereres av transposisjonene av skjemaet (1,2), (2,3), ..., ( n -1 , n ). Forholdene er: Sikke{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {n}}Sikke{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {n}}

- to transposisjoner pendler hvis de ikke er fortløpende,

- er av ordre 3. (k,k+1)(k+1,k+2){\ displaystyle (k, k + 1) (k + 1, k + 2)}

De to-plans gruppene er en annen type av eksempler. Gruppen er gruppen transformasjoner som bevarer en regelmessig polygon med sider. Dikke{\ displaystyle D_ {n}}Dikke{\ displaystyle D_ {n}}ikke{\ displaystyle n}

Karakterisering

En av de mest bemerkelsesverdige fakta om Coxeter-grupper er at vi har et enkelt kriterium, kalt utvekslingsbetingelsen, for å identifisere dem og finne presentasjonene deres (husk at generelt å finne en presentasjon av en gruppe er en veldig vanskelig operasjon).

Endelige Coxeter-grupper er fullstendig klassifisert, gjennom Coxeter-diagrammer .

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">