Logaritmiske identiteter

Her er en liste over nyttige identiteter når du arbeider med logaritmer . Alle er gyldig under forutsetning av at den faktiske bruken ( , , og ) er strengt positive . Også baser må av logaritmene være forskjellig fra en. $Til$ $b$ $vs.$ $d$

Spesielle verdier

${\ displaystyle \ log _ {a} 1 = 0}$ .
${\ displaystyle \ log _ {a} a = 1}$ .

Multiplikasjon, deling og eksponentiering

${\ displaystyle \ log _ {c} (ab) = \ log _ {c} a + \ log _ {c} b}$ .
${\ displaystyle \ log _ {c} \ left ({\ frac {a} {b}} \ right) = \ log _ {c} a- \ log _ {c} b}$ .
${\ displaystyle \ forall r \ in \ mathbb {R} \ quad \ log _ {c} (a ^ {r}) = r \ log _ {c} a}$ .

Disse tre identiteter tillate oss å bruke logaritmen tabeller og lysbilde regler ; Når vi kjenner logaritmen til to tall, kan vi multiplisere og dele dem raskt, eller vi kan også beregne krefter eller røtter til dem.

Addisjon og subtraksjon

Disse formlene tillater i visse tilfeller å beregne numerisk i henhold til og samtidig unngå å overskride de numeriske grensene. ${\ displaystyle \ log (a + b)}$ ${\ displaystyle \ log (a)}$ ${\ displaystyle \ log (b)}$

${\ displaystyle \ log _ {c} (a + b) = \ log _ {c} a + \ log _ {c} b- \ log _ {c} \ left ({\ frac {ab} {a + b) }} \ høyre)}$
${\ displaystyle \ log _ {c} (a + b) = \ log _ {c} a + \ log _ {c} \ left (1 + {\ frac {b} {a}} \ right)}$

Gjensidighet

${\ displaystyle a ^ {\ log _ {a} b} = b}$ .
for ethvert reelt tall , . $r$ ${\ displaystyle \ log _ {a} (a ^ {r}) = r}$

De foregående formlene brukes til å løse ligninger hvis ukjente er eksponent.

Baseendring

{\ displaystyle \ log _ {a} b = {\ frac {\ log _ {c} b} {\ log _ {c} a}}}

Og spesielt (for $c = b$ ) . ${\ displaystyle \ log _ {a} b = {\ frac {1} {\ log _ {b} a}}}$

Denne identiteten er nyttig for å beregne logaritmer med beregningsmaskiner, siden de fleste av de sistnevnte bare tilbyr desimal- og naturlige logaritmer .

Siden ikke avhenger av $c$ , utleder vi: ${\ displaystyle \ log _ {a} b}$

{\ displaystyle {\ frac {\ log _ {c} b} {\ log _ {c} a}} = {\ frac {\ log _ {d} b} {\ log _ {d} a}}}

Grenser

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0 ^ {+}} \ log _ {a} x = - \ infty}

til

a> 1

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0 ^ {+}} \ log _ {a} x = + \ infty}

til

{\ displaystyle a <1}

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to + \ infty} \ log _ {a} x = + \ infty}

til

{\ displaystyle a> 1}

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to + \ infty} \ log _ {a} x = - \ infty}

til

{\ displaystyle a <1}

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0 ^ {+}} x ^ {b} \ log _ {a} x = 0}

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to + \ infty} {\ frac {\ log _ {a} x} {x ^ {b}}} = 0}

Den siste grensen tolkes ofte som "i uendelig grad vokser logaritmen saktere enn noen (strengt positiv) kraft av variabelen".

Derivat

{\ displaystyle \ forall x> 0 \ quad \ log '_ {a} (x) = {\ frac {1} {x \ ln a}}}

derfor i det spesielle tilfellet av basen $e$ :

{\ displaystyle \ ln 'x = {\ frac {1} {x}}}

Primitiv

{\ displaystyle \ int _ {x_ {0}} ^ {x} \ log _ {a} t \; \ mathrm {d} t = \ left [t \ left (\ log _ {a} t - {\ frac {1} {\ l a}} \ høyre) \ høyre] _ {x_ {0}} ^ {x}}

derfor i det spesielle tilfellet av basen $e$ :

{\ displaystyle \ int _ {x_ {0}} ^ {x} \ ln t \; \ mathrm {d} t = \ left [t \ left (\ ln t-1 \ right) \ right] _ {x_ { 0}} ^ {x}}

Forfatterkreditt

(no) Denne artikkelen er delvis eller helt hentet fra den engelske Wikipedia- artikkelen med tittelen " List of logarithmic identities " ( se listen over forfattere ) . <img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">