Bilde (matematikk)

I matematikk er forestillingen om bilde knyttet til forestillingen om anvendelse med flere forskjellige definisjoner.

Gitt en søknad : $f: E \ til F$

for ethvert element $x$ av $E$ , kalles det unike elementet som er koblet til det i $F$ bildet av $x$ av $f$ , og i dette tilfellet sier vi at $x$ er en fortilfelle av av $f$ ; $f (x)$ $f (x)$
settet med bilder av elementene i $E$ kalles bildet av $f$ , eller bare bildet av $f$ , og betegnes med ; ${\ displaystyle \ operatorname {Im} (f) = \ left \ {f (x), x \ in E \ right \}}$

for et hvilket som helst delmengde er det direkte bildet av $A$ av $f$ settet av elementer av bildene av $A$ av $f$ : med andre ord er det settet av elementer $E$ med minst ett fortilfelle av $f$ ; $A \ delmengde E.$ ${\ displaystyle f (A) = \ left \ {f (x), x \ in A \ right \}}$
for ethvert delmengde er det omvendte bildet eller forhåndsbildet til $B$ av $f$ settet med fortilfellene til elementene til $B$ ved $f$ : ${\ displaystyle B \ delmengde F}$ ${\ displaystyle f ^ {- 1} (B) = \ venstre \ {x \ i A: f (x) \ i B \ høyre \}}$

Denne terminologien er ikke bare reservert for funksjonene til en reell variabel, men for enhver transformasjon; dermed snakker vi om bildet av figuren ved symmetri .

Bildesettet skal ikke forveksles med destinasjonssettet (eller kodens) på f . For en gitt funksjon f : X → Y , er hele definisjonen X og settet av ankomst er Y . Bildet f ( X ) av X ved f , også kalt bildet av f er typisk bare et delsett streng Y . Vi har f ( X ) = Y hvis og bare hvis f er en overføring .

Bilde av en funksjon

En numerisk eller kompleks funksjon assosierer alltid med ethvert element i definisjonssettet E et enkelt element i settet med ankomst F , dette er definisjonen på en funksjon. Bildet av par er notert og tilsvarer tallet assosiert med x ved f . Flere antecedents kan tilsvare et bilde. ${\ displaystyle f: {\ begin {cases} E \ rightarrow F \\ x \ mapsto y = f (x) \ end {cases}}}$ $x$ $f$ ${\ displaystyle f (x)}$

eksempel: for , 8 har for bilde , men 64 for tidligere ${\ displaystyle f: {\ begin {cases} \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R} \\ x \ mapsto 8x ^ {2} \ end {cases}}}$ ${\ displaystyle f (8) = 64}$ ${\ displaystyle x = 8 \ lor x = -8}$