Integrerbarhet

I matematikk er integrerbarheten til en numerisk funksjon dens kapasitet til å kunne integreres, det vil si å ha en bestemt integral (som har en betydning) og endelig (som ikke er lik uendelig ).

Begrepet integrerbarhet avhenger av begrepet integral som blir vurdert. Det finnes flere typer integraler, den mest kjente og brukte er Riemann-integralen og Lebesgue-integralen .

Integrerbarhet i Riemann-forstand

Trappefunksjoner

La være et lukket intervall inkludert i og . Vi sier det er en trappefunksjon hvis det er en underavdeling og reelle tall som f.eks $[a, b]$ $\ mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ psi: [a, b] \ longrightarrow \ mathbb {R}}$ $\ psi$ ${\ displaystyle a = x_ {0} <x_ {1} <\ dots <x_ {n} = b}$ ${\ displaystyle c_ {1}, \ dots, c_ {n}}$

${\ displaystyle \ psi (x) = c_ {i} ~~~ \ forall x \ in \ left] x_ {i-1}, x_ {i} \ right [~~~ \ forall i \ in \ {1, \ prikker, n \}}$ .

Hvis er en trinnfunksjon på, er dens integral (i betydningen Riemann) definert som $\ psi$ $[a, b]$

${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} \ psi (t) dt: = \ sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} (x_ {i} -x_ {i-1}) }$ .

Integrerbarhet over et lukket intervall

La være et lukket intervall inkludert i og . Vi antar at det er avgrenset , det vil si at det eksisterer en virkelig slik at for alle . Merk $[a, b]$ $\ mathbb {R}$ ${\ displaystyle f: [a, b] \ longrightarrow \ mathbb {R}}$ $f$ ${\ displaystyle M> 0}$ ${\ displaystyle f (x) \ leq M}$ ${\ displaystyle x \ i [a, b]}$

${\ displaystyle I _ {+} (f): = \ inf \ left \ {\ int _ {a} ^ {b} \ psi (t) dt: \ psi {\ text {er en trappefunksjon slik at}} \ psi \ geq f \ right \}}$ og

${\ displaystyle I _ {-} (f): = \ sup \ left \ {\ int _ {a} ^ {b} \ varphi (t) dt: \ varphi {\ text {er en trappefunksjon slik at}} \ varphi \ leq f \ right \}}$ .

Vi sier da at det er integrerbart (i betydningen Riemann) hvis og i dette tilfellet dens integral (i betydningen Riemann) er definert som $f$ ${\ displaystyle I _ {-} (f) = I _ {+} (f)}$

${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (t) dt: = I _ {-} (f) = I _ {+} (f)}$ .

Integrerbarhet over ethvert intervall

Er et intervall med internt ikke- tomt inkludert i og . Vi antar at det er lokalt integrerbart (i betydningen Riemann) på , det vil si at begrensningen av på et lukket intervall som er inkludert i er integrerbart (i betydningen Riemann). Betegn venstre ende av og høyre ende. Vi sier da at det er integrert på (i betydningen av upassende Riemann- integraler ) hvis vi har alt i det indre av at følgende to grenser konvergerer: $Jeg$ $\ mathbb {R}$ $f: Jeg \ longrightarrow \ mathbb {R}$ $f$ $Jeg$ $f$ $Jeg$ $på$ $Jeg$ $b$ $f$ $Jeg$ $vs.$ $Jeg$

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to a} \ int _ {x} ^ {c} f (t) dt}$ og . ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to b} \ int _ {c} ^ {x} f (t) dt}$

I dette tilfellet defineres integralet (i betydningen ukorrekte Riemann-integraler) som summen av de to foregående grensene. $f$

Kriterier for integrering

En regulert funksjon kan integreres over et lukket intervall. Spesielt trekker vi ut at de kontinuerlige , stykkevise kontinuerlige , monotone eller til og med avgrensede variasjonsfunksjonene er integrerbare over et lukket intervall.
En lineær kombinasjon av integrerbare funksjoner er integrerbare over ethvert intervall.
Hvis er integrerbare over det lukkede intervallet da ${\ displaystyle f, g: [a, b] \ longrightarrow \ mathbb {R}}$ $[a, b]$

For enhver kontinuerlig kan forbindelsen integreres på . ${\ displaystyle \ Phi: \ mathbb {R} \ longrightarrow \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ Phi \ circ f}$ $[a, b]$
Produktet kan integreres på . $fg$ $[a, b]$
Den minste kan integreres på . ${\ displaystyle \ min (f, g)}$ $[a, b]$
Den maksimale kan integreres på . ${\ displaystyle \ max (f, g)}$ $[a, b]$
Den absolutte verdien kan integreres på . $| f |$ $[a, b]$

Hvis den absolutte verdien til en funksjon er integrerbar over et hvilket som helst intervall, er selve funksjonen også. Det omvendte gjelder for et lukket intervall, men er usant for et ikke lukket intervall. Hvis en funksjon er integrerbar, men dens absolutte verdi ikke er det, sier vi at integralen er semi-konvergent .
Hvis er positive, lokalt integrerbare og at dessuten når integrerbarheten av on innebærer den av . Merk som er sjekket om for eksempel eller når . ${\ displaystyle f, g: [a, b [\ longrightarrow \ mathbb {R} _ {+}}$ ${\ displaystyle f (x) = O (g (x))}$ ${\ displaystyle x \ to b}$ $g$ ${\ displaystyle [a, b [}$ $f$ ${\ displaystyle f (x) = O (g (x))}$ ${\ displaystyle 0 \ leq f \ leq g}$ ${\ displaystyle f (x) \ sim g (x)}$ ${\ displaystyle x \ to b}$
La være et ikke-tomt interiørintervall der venstre og høyre ende er betegnet og . Anta at og er endelig. Hvis er lokalt integrerbar og har endelige grenser i og deretter er integrerbar på . $Jeg$ $på$ $b$ $på$ $b$ ${\ displaystyle f: I \ longrightarrow \ mathbb {R}}$ $på$ $b$ $f$ $Jeg$

Eksempler og moteksempler

Den indikator funksjon av rasjonale tall mellom 0 og 1, kan ikke integreres.
Riemann-kriterium: funksjonen er integrerbar på hvis og bare hvis . Den samme funksjonen kan integreres på hvis og bare hvis . ${\ displaystyle x \ mapsto x ^ {- \ alpha}}$ ${\ displaystyle] 0.1]}$ $\ alpha <1$ ${\ displaystyle [1, + \ infty [}$ $\ alpha> 1$
Bertrand-kriterium: funksjonen er integrerbar på hvis og bare hvis eller ( og ). Den samme funksjonen kan integreres på hvis og bare hvis eller ( og ). ${\ displaystyle x \ mapsto x ^ {- \ alpha} \ ln (x) ^ {- \ beta}}$ ${\ displaystyle] 0, e ^ {- 1}]}$ $\ alpha <1$ $\ alpha = 1$ ${\ displaystyle \ beta> 1}$ ${\ displaystyle [e, + \ infty [}$ $\ alpha> 1$ $\ alpha = 1$ ${\ displaystyle \ beta> 1}$
Funksjonen kan integreres på, men ikke dens absolutte verdi. Integralet, som kalles Dirichlet-integralet , er derfor semi-konvergent. ${\ displaystyle x \ mapsto \ sin (x) / x}$ ${\ displaystyle] 0, + \ infty [}$

Integrerbarhet i betydningen Lebesgue

La $( X , ?, μ) være$ et målt rom og $f$ en funksjon på $X$ , med verdier i ℝ eller ℂ og $?$ - målbare . Vi sier at $f$ er integrerbart over $X$ hvis

\ int_X | f (x) | ~ \ mathrm d \ mu (x) <+ \ infty.

Merknader

Merk at i definisjonen av en trapp funksjon, verdien av en les er ikke viktig. Imidlertid krever noen forfattere at likeverdigheten er sant i det semi-lukkede intervallet eller til og med . $\ psi$ $x_ {i}$ ${\ displaystyle [x_ {i-1}, x_ {i} [}$ ${\ displaystyle] x_ {i-1}, x_ {i}]}$
Det faktum at det er avgrenset, lar oss si det og er godt definert; faktisk settene de har en nedre og øvre grense av, er ikke tomme: det finnes alltid trappefunksjoner som øker eller reduseres . $f$ ${\ displaystyle I _ {+} (f)}$ ${\ displaystyle I _ {-} (f)}$ $f$
Den lokale integrerbarhetshypotesen gjør det mulig å sikre at integralene og er veldefinerte for alt . ${\ displaystyle \ int _ {x} ^ {c} f (t) dt}$ ${\ displaystyle \ int _ {c} ^ {x} f (t) dt}$ ${\ displaystyle x \ in \ left] a, b \ right [}$
Tallene og kan være uendelige. $på$ $b$
Definisjonen av integralet avhenger ikke av . Videre er det nok å vise at det eksisterer slik at de to nevnte grensene konvergerer for å være integrerbare (det er derfor ikke nødvendig å vise at dette er sant for alt ). $vs.$ $vs.$ $f$ $vs.$
Dette er ikke nødvendigvis sant i ethvert intervall, for eksempel er identitetsfunksjonen kontinuerlig, derfor satt, men ikke integrerbar . $\ mathbb {R}$
Disse 5 egenskapene blir falske når intervallet ikke er lukket. Her er noen moteksempler: 1) Funksjonen er integrerbar, men hvis vi tar , er den ikke. 2) Funksjonen kan integreres på, men produktet er ikke. 3) Funksjonen kan integreres på, men er ikke. 4) På samme måte er det ikke integrerbart . 5) Moteksempel 3 fungerer også i dette tilfellet. ${\ displaystyle x \ mapsto 1 / x ^ {2}}$ ${\ displaystyle [1, + \ infty [}$ ${\ displaystyle \ Phi (t) = {\ sqrt {t}}}$ ${\ displaystyle x \ mapsto \ Phi (1 / x ^ {2}) = 1 / x}$ ${\ displaystyle f = g: x \ mapsto 1 / {\ sqrt {x}}}$ ${\ displaystyle] 0.1]}$ ${\ displaystyle fg: x \ mapsto 1 / x}$ ${\ displaystyle f: x \ mapsto \ sin (x) / x}$ ${\ displaystyle] 0, + \ infty [}$ ${\ displaystyle \ max (f, -f) = | f |}$ ${\ displaystyle \ min (f, -f) = - | f |}$ ${\ displaystyle] 0, + \ infty [}$
Her betegner den "store o" av Landaus notasjon . $O$
Denne eiendommen blir usann hvis vi utelater positivitet tilstand. For eksempel hvis har en semi-konvergent integral så har vi når men ikke er integrerbar. ${\ displaystyle f: [a, b [\ longrightarrow \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle | f | (x) = O (f (x))}$ ${\ displaystyle x \ to b}$ $| f |$
Hvis endene ikke er ferdige, blir denne egenskapen falsk. For eksempel innrømmer funksjonen 0 som grense i, men er ikke integrerbar på . ${\ displaystyle x \ mapsto 1 / x}$ $+ \ infty$ ${\ displaystyle [1, + \ infty [}$