Kryss (matematikk)

I settet teori , at skjæringspunktet er et sett operasjon som bærer det samme navn som dens resultat, nemlig den settet av elementer som hører til begge operander samtidig : skjæringspunktet mellom to sett A og B er innstilt, betegnet A ∩ B , sa, " A kors B ", som inneholder alle de elementer som hører til både A og til B , og bare disse.

A og B er usammenhengende hvis og bare hvis A ∩ B er det tomme settet ∅.

En er inkludert i B hvis og bare hvis A ∩ B = A .

I reell analyse griper skjæringspunktene mellom kurver som representerer to funksjoner inn, i beskrivelsen av deres relative posisjon .

Eksempler innen geometri

Kryss av to linjer

I planen

I flyet er skjæringspunktet mellom to ikke- parallelle linjer et poeng : Vi sier at de er sekante. $start fra = \ {A \}.$
Hvis to linjer er strengt parallelle, har de ingen felles poeng; krysset deres er tomt: $d \ cap d '= \ varnothing.$
Hvis to linjer er forvirret, er alle poengene vanlige; krysset er en linje: $d \ cap d '= d = d'.$

I rommet

Hvis to linjer ikke er i samme plan, har de ikke noe poeng til felles; krysset deres er tomt: $d \ cap d '= \ varnothing.$
To parallelle eller secant-linjer er koplanære.

Andre eksempler

I rommet

skjæringspunktet mellom en ikke-parallell linje og et plan er et punkt.
krysset mellom to ikke-parallelle plan er en linje.

I planen

skjæringspunktet mellom en linje og en krets er dannet av null, en eller to punkter, avhengig av om avstanden fra sentrum av sirkelen til linjen er større enn, lik eller mindre enn radien i sirkelen. Hvis krysset reduseres til et punkt, er linjen tangent til sirkelen.
skjæringspunktet mellom to sirkler dannes av to punkter hvis avstanden mellom deres sentre er (strengt tatt) mindre enn summen av radiene og større enn forskjellen, med ett punkt hvis denne avstanden er lik summen eller differensieradien (tangens sirkler), ellers tom.

I analytisk geometri

I analytisk geometri er skjæringspunktet mellom to objekter definert av ligningssystemet dannet av foreningen av ligningene knyttet til hvert objekt.

I dimensjon 2 er skjæringspunktet mellom to linjer definert av et system med to ligninger med to ukjente, som generelt har en unik løsning, bortsett fra hvis dens determinant er null, i hvilket tilfelle den enten har null eller uendelig: vi finn de tre tilfellene av geometri.

I dimensjon 3 er skjæringspunktet mellom tre plan definert av et system med tre ligninger med 3 ukjente, som vanligvis har en unik løsning, med mindre dens determinant er null.

I boolsk algebra

I boolsk algebra er skjæringspunktet assosiert med den logiske operatoren et : hvis A er settet med elementer av E som har eiendommen P (eller tilfredsstiller betingelsen P) og B settet av elementer av E som har eiendommen Q (eller tilfredsstiller tilstanden Q), så er A ∩ B settet med elementer av E som har egenskapen P etQ (eller tilfredsstiller både betingelsen P og tilstanden Q).

Eksempel 1: hvis E er settet med naturlige tall mindre enn 10, A settet med oddelementene i E , og B settet med hovedelementene til E , så er A ∩ B settet med oddelementene i E og først:

A = {1, 3, 5, 7, 9}, B = {2, 3, 5, 7}, A ∩ B = {3, 5, 7}.

Eksempel 2: skjæringspunktet mellom settet med rektangler ( firsider som har sine fire rette vinkler) og settet med romber ( firsider med fire like sider) er settet med firkanter (firkantene som har sine fire rette vinkler og deres fire like sider) .

Vi definerer på samme måte skjæringspunktet til en uspesifisert klasse med sett (ikke nødvendigvis redusert til to sett, verken endelig, eller til og med indeksert av et sett: vi ber bare om at det ikke er fritt).

Algebraiske egenskaper

Krysset er assosiativt , det vil si at for alle mengder A , B og C har vi:
( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C ).
Skjæringspunktet er kommutativ , det vil si at for settene A og B noen, vi har:
A ∩ B = B ∩ A .
Den union er fordel på skjæringspunktet, dvs. for alle settene A , B og C , har vi:
A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ).

Skjæringspunkt mellom en familie

Vi generaliserer dette konseptet til en familie av sett ( E i ) i ∈ I (ikke nødvendigvis redusert til to sett, og ikke engang endelig). Skjæringspunktet til E i , betegnet ∩ i ∈ I E i , er settet med elementer som er felles for alle E i (hvis jeg er det tomme settet , er dette skjæringspunktet derfor ikke definert i det absolutte).

Formelt:

{\ displaystyle \ forall x, \ quad x \ in \ bigcap _ {i \ i I} E_ {i} \ Leftrightarrow (\ forall i \ i I, \ x \ i E_ {i}).}

Merknader

For å være streng, bør vi si her: "er en singleton "; misbruk "er et poeng" anses akseptabelt.
For å bevise det er det tilstrekkelig å anta sirklene, sentrert i A og B, sekant i M, og å skrive de trekantede ulikhetene i trekanten ABM.

Relaterte artikler