Trekantet ulikhet

I geometri er trekantet ulikhet det faktum at lengden på den ene siden i en trekant er mindre enn summen av lengden på de to andre sidene. Denne ulikheten er selvfølgelig intuitiv til det punktet at den er åpenbar. I det vanlige livet, som i euklidisk geometri , resulterer dette i at en rett linje er den korteste banen  : den korteste banen fra punkt A til punkt B er å gå rett frem, uten å passere et tredje punkt C som ikke er på rett linje.

Mer abstrakt tilsvarer denne ulikheten det faktum at direkte avstand er en minimumsverdi av avstand. Det er også en egenskap eller tilstand som er nødvendig for definisjonen av en god avstand . Denne avstanden er et mulig valg i matematiske beregninger , men ikke nødvendigvis det beste, avhengig av tilfelle og bruk.

Uttalelser

I geometri

La et trekant ABC i et euklidisk plan . Så tilfredsstiller lengdene AB , AC og CB følgende tre ulikheter:

• PÅB≤PÅVS+VSB{\ displaystyle AB \ leq AC + CB} ;
• PÅVS≤PÅB+BVS{\ displaystyle AC \ leq AB + BC} ;
• BVS≤BPÅ+PÅVS{\ displaystyle BC \ leq BA + AC}.

Omvendt, gitt tre lengder som hver (eller, som er tilstrekkelig: den største) er mindre enn summen av de to andre, eksisterer det en trekant med disse sidelengdene.

En eiendom trekkes fra disse ulikhetene: |PÅVS-VSB|≤PÅB{\ displaystyle | AC-CB | \ leq AB} Denne siste ulikheten betyr at lengden på den ene siden i en trekant er større enn forskjellen på lengden på de andre to. Som derfor fremstår som en egenskap knyttet til topologien til trekanten.

En annen fullfører dem: PÅB=PÅVS+VSB⇔VS∈[PÅB]{\ displaystyle AB = AC + CB \ Leftrightarrow C \ i [AB]}.

For komplekse tall

Ved å bruke en kompleks representasjon av det euklidiske planet kan vi merke oss

• x=påføring av PÅVS→{\ displaystyle x = {\ text {affix of}} {\ overrightarrow {AC}}}
• y=påføring av VSB→{\ displaystyle y = {\ text {affix of}} {\ overrightarrow {CB}}}

Denne ekvivalente formuleringen er oppnådd.

For vi har: (x,y)∈VS2{\ displaystyle (x, y) \ in \ mathbb {C} ^ {2}}

• |x+y|≤|x|+|y|{\ displaystyle | x + y | \ leq | x | + | y ​​|} ;
• |x+y|=|x|+|y|⟺∃(λ,μ)∈R+2∖{(0,0)}, λy=μx{\ displaystyle | x + y | = | x | + | y ​​| \ Longleftrightarrow \ eksisterer (\ lambda, \ mu) \ i \ mathbb {R} _ {+} ^ {2} \ setminus \ {(0 , 0) \}, \ \ lambda y = \ mu x}.

Generalisering til prehilbertiske rom

La være et ekte prehilbertisk rom. Vi noterer oss normen knyttet til skalarproduktet . For sjekker vi deretter: (E,⟨⋅|⋅⟩){\ displaystyle (E, \ langle \ cdot | \ cdot \ rangle)}‖⋅‖{\ displaystyle \ | \ cdot \ |}(x,y)∈E2{\ displaystyle (x, y) \ i E ^ {2}}

• ‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖{\ displaystyle \ | x + y \ | \ leq \ | x \ | + \ | y \ |} ;
• ‖x+y‖=‖x‖+‖y‖⟺∃(λ,μ)∈R+2∖{(0,0)}, λy=μx{\ displaystyle \ | x + y \ | = \ | x \ | + \ | y \ | \ Longleftrightarrow \ eksisterer (\ lambda, \ mu) \ i \ mathbb {R} _ {+} ^ {2} \ setminus \ {(0,0) \}, \ \ lambda y = \ mu x}.

(Ethvert komplekst prehilbertisk rom er et reelt prehilbertisk rom, for prikkproduktet , som induserer den samme normen som det Hermitiske produktet .) (E,⟨⋅|⋅⟩′){\ displaystyle (E, \ langle \ cdot | \ cdot \ rangle ')}⟨x|y⟩: =Re(⟨x|y⟩′){\ displaystyle \ langle x | y \ rangle: = \ mathrm {Re} (\ langle x | y \ rangle ')} ⟨⋅|⋅⟩′{\ displaystyle \ langle \ cdot | \ cdot \ rangle '}

Aksiomatisk synspunkt

La E være et sett og . Vi sier at d er en avstand på E hvis: d:E×E→R+{\ displaystyle d: E \ ganger E \ til \ mathbb {R} ^ {+}}

• ∀(x,y)∈E2, d(x,y)=d(y,x){\ displaystyle \ forall (x, y) \ i E ^ {2}, \ d (x, y) = d (y, x)}
• ∀(x,y)∈E2, d(x,y)=0⟺x=y{\ displaystyle \ forall (x, y) \ i E ^ {2}, \ d (x, y) = 0 \ Longleftrightarrow x = y}
• ∀(x,y,z)∈E3, d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z){\ displaystyle \ forall (x, y, z) \ i E ^ {3}, \ d (x, z) \ leq d (x, y) + d (y, z)}

Den tredje egenskapen som kreves for å være en avstand, er å verifisere den trekantede ulikheten. Sluttet seg til den første, innebærer det d{\ displaystyle d}

• ∀(x,y,z)∈E3, |d(x,z)-d(y,z)|≤d(x,y){\ displaystyle \ forall (x, y, z) \ i E ^ {3}, \ | d (x, z) -d (y, z) | \ leq d (x, y)}

og mer generelt, for en ikke-tom del A av E , (se "  Avstand fra et punkt til en del  "). |d(x,PÅ)-d(y,PÅ)|≤d(x,y){\ displaystyle | d (x, A) -d (y, A) | \ leq d (x, y)}

Motsatt . |d(x,z)-d(y,z)|≤d(x,y)⟹d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z){\ displaystyle | d (x, z) -d (y, z) | \ leq d (x, y) \ Longrightarrow d (x, z) \ leq d (x, y) + d (y, z)}

Ethvert normalisert vektorrom - spesielt - er naturlig utstyrt med en avstand , definert av , som økningen omskrives for: (E,‖ ‖){\ displaystyle (E, \ | ~ \ |)}(VS,| |){\ displaystyle (\ mathbb {C}, | ~ |)}d{\ displaystyle d}d(x,y)=‖x-y‖{\ displaystyle d (x, y) = \ | xy \ |}|d(x,0)-d(y,0)|≤d(x,y){\ displaystyle | d (x, 0) -d (y, 0) | \ leq d (x, y)}

• |‖x‖-‖y‖|≤‖x-y‖{\ displaystyle {\ Big |} \ | x \ | - \ | y \ | {\ Big |} \ leq \ | xy \ |}.

Demonstrasjon

La være et ekte prehilbertiansk rom og . (E,⟨⋅|⋅⟩){\ displaystyle (E, \ langle \ cdot | \ cdot \ rangle)}(x,y)∈E2{\ displaystyle (x, y) \ i E ^ {2}}

Ulikhet

Det har vi . ‖x+y‖2=‖x‖2+‖y‖2+2⟨x|y⟩{\ displaystyle \ | x + y \ | ^ {2} = \ | x \ | ^ {2} + \ | y \ | ^ {2} +2 \ langle x | y \ rangle}

Ved Cauchy-Schwarz , . ⟨x|y⟩≤|⟨x|y⟩|≤‖x‖‖y‖{\ displaystyle \ langle x | y \ rangle \ leq | \ langle x | y \ rangle | \ leq \ | x \ | \ | y \ |}

Fra hvor . ‖x+y‖2≤‖x‖2+‖y‖2+2‖x‖‖y‖=(‖x‖+‖y‖)2{\ displaystyle \ | x + y \ | ^ {2} \ leq \ | x \ | ^ {2} + \ | y \ | ^ {2} +2 \ | x \ | \ | y \ | = (\ | x \ | + \ | y \ |) ^ {2}}

Og så . ‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖{\ displaystyle \ | x + y \ | \ leq \ | x \ | + \ | y \ |}

(If er den euklidske plan, identifiseres den komplekse plan med den indre produkt ⟨ u , v ⟩ = Sv ( u v ) - som har forbindelse til standard er den modul - Cauchy-Schwarz ulikheten blir brukt her, så vel som den likhet tilfellet nedenfor , en elementær egenskap med komplekse tall .) E{\ displaystyle E}

Tilfelle av likhet

Anta at og . ‖x+y‖=‖x‖+‖y‖{\ displaystyle \ | x + y \ | = \ | x \ | + \ | y \ |}y≠0{\ displaystyle y \ neq 0}

Etter det som foregår, har man altså . ⟨x|y⟩=|⟨x|y⟩|=‖x‖‖y‖{\ displaystyle \ langle x | y \ rangle = | \ langle x | y \ rangle | = \ | x \ | \ | y \ |}

Så, av Cauchy-Schwarz likestillingssak , med . x=λy{\ displaystyle x = \ lambda y}λ=⟨x|y⟩/‖y‖2=‖x‖/‖y‖≥0{\ displaystyle \ lambda = \ langle x | y \ rangle / \ | y \ | ^ {2} = \ | x \ | / \ | y \ | \ geq 0}

Endelig har vi bra , med . λy=μx{\ displaystyle \ lambda y = \ mu x}μ=1{\ displaystyle \ mu = 1}

Relaterte artikler

• Minkowski ulikhet
• Helt bestilt gruppe

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">