Standard (matematikk)

I geometri er normen en utvidelse av den absolutte verdien av tall til vektorer . Det gjør det mulig å måle lengden som er felles for alle representasjonene av en vektor i et affinert rom , men definerer også en avstand mellom to vektorer som er uforanderlige ved oversettelse og kompatible med den eksterne multiplikasjonen.

Den vanlige normen i planet eller i rommet sies å være euklidisk fordi den er assosiert med et skalarprodukt , ved foten av euklidisk geometri .

Andre standarder er mye brukt på vektorrom (av endelig eller uendelig dimensjon ), kalt da normaliserte vektorrom . De er spesielt viktige i funksjonell analyse for å oppnå markører , uttrykker differensiering på funksjonsrommene til en eller flere reelle eller komplekse variabler , beregner estimater og tilnærminger .

Det er en annen forestilling om norm, brukt i aritmetikk  : den er behandlet i artikkelen “  Norm (teori om organer)  ”.

Vanlig euklidisk geometri

Definisjon

Hvis og er to punkter i planet eller i det vanlige rommet, er vektorens norm avstanden, det vil si lengden på segmentet . Hun bemerker med doble barer: . PÅ{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}PÅB→{\ displaystyle {\ overrightarrow {AB}}}PÅB{\ displaystyle AB}[PÅB]{\ displaystyle [AB]}‖PÅB→‖{\ displaystyle \ | {\ overrightarrow {AB}} \ |}

Normen, retningen og retningen er de tre dataene som kjennetegner en vektor og som derfor ikke er avhengig av valg av representant.

I Unicode er den doble linjen “‖” tegnet U + 2016 (skilt fra parallellismesymbolet “∥”, U + 2225 ).

Beregning

• Den vanlige (euklidiske) normen til en vektor kan beregnes ved hjelp av koordinatene i et ortonormalt koordinatsystem ved bruk av Pythagoras teorem .
  • Hvis vektoren har koordinater i planet, blir normen skrevetu→{\ displaystyle {\ vec {u}}}(x,y){\ displaystyle (x, y)}‖u→‖=x2+y2.{\ displaystyle \ | {\ vec {u}} \ | = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}.}
    Hvis poengene og har sine respektive koordinater, og deretter:PÅ{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}(xPÅ,yPÅ){\ displaystyle (x_ {A}, y_ {A})}(xB,yB){\ displaystyle (x_ {B}, y_ {B})}‖PÅB→‖=(xB-xPÅ)2+(yB-yPÅ)2.{\ displaystyle \ | {\ overrightarrow {AB}} \ | = {\ sqrt {(x_ {B} -x_ {A}) ^ {2} + (y_ {B} -y_ {A}) ^ {2} }}.}
  • I rommet, hvis vektoren har koordinater , blir normen skrevet:u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}(x,y,z){\ displaystyle (x, y, z)}‖u→‖=x2+y2+z2.{\ displaystyle \ | {\ vec {u}} \ | = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}}.}
    Hvis poengene og har sine respektive koordinater, og deretter:PÅ{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}(xPÅ,yPÅ,zPÅ){\ displaystyle (x_ {A}, y_ {A}, z_ {A})}(xB,yB,zB){\ displaystyle (x_ {B}, y_ {B}, z_ {B})}
    
    ‖PÅB→‖=(xB-xPÅ)2+(yB-yPÅ)2+(zB-zPÅ)2.{\ displaystyle \ | {\ overrightarrow {AB}} \ | = {\ sqrt {(x_ {B} -x_ {A}) ^ {2} + (y_ {B} -y_ {A}) ^ {2} + (z_ {B} -z_ {A}) ^ {2}}}.}
• Den (euklidiske) normen til en vektor kan fås fra punktproduktet til vektoren med seg selv:‖u→‖=u→⋅u→.{\ displaystyle \ | {\ vec {u}} \ | = {\ sqrt {{\ vec {u}} \ cdot {\ vec {u}}}}.}

Eiendommer

• Normen kanselleres bare for nullvektoren .0→{\ displaystyle {\ vec {0}}}
• Produktets norm med et tall er produktet av normen med den absolutte verdien av dette tallet:‖ku→‖=|k|×‖u→‖.{\ displaystyle \ | k {\ vec {u}} \ | = | k | \ times \ | {\ vec {u}} \ |.}Spesielt har enhver vektor den samme normen som det motsatte:‖-u→‖=‖u→‖.{\ displaystyle \ | - {\ vec {u}} \ | = \ | {\ vec {u}} \ |.}

På et hvilket som helst vektorrom

Formell definisjon

La K være et kommutativt felt med en absolutt verdi og E et K - vektorrom .

En norm for E er en applikasjon på E med reelle verdier og tilfredsstiller følgende antagelser: IKKE{\ displaystyle {\ mathcal {N}}}

• atskillelse  : ;∀x∈EIKKE(x)=0⇒x=0E{\ displaystyle \ forall x \ i E \ quad {\ mathcal {N}} (x) = 0 \ Rightarrow x = 0_ {E}}
• absolutt homogenitet  : ;∀(λ,x)∈K×EIKKE(λx)=|λ|IKKE⁡(x){\ displaystyle \ forall (\ lambda, x) \ in K \ times E \ quad {\ mathcal {N}} (\ lambda x) = | \ lambda | \ operatorname {\ mathcal {N}} (x)}
• subadditivity (også kalt trekantulikheten ).∀(x,y)∈E2IKKE(x+y)≤IKKE(x)+IKKE(y){\ displaystyle \ forall (x, y) \ i E ^ {2} \ quad {\ mathcal {N}} (x + y) \ leq {\ mathcal {N}} (x) + {\ mathcal {N} } (y)}

Merknader.

• Det omvendte av separasjonsaksiomet er sant.Faktisk ved homogenitet .IKKE(0E)=IKKE(0⋅0E)=0IKKE⁡(0E)=0{\ displaystyle {\ mathcal {N}} (0_ {E}) = {\ mathcal {N}} (0 \ cdot 0_ {E}) = 0 \ operatorname {\ mathcal {N}} (0_ {E}) = 0}
• En standard er alltid positiv.Faktisk for en hvilken som helst vektor , (ved subadditivitet), det vil si (ved homogenitet) .x{\ displaystyle x}0=IKKE(0E)=IKKE(x-x)≤IKKE(x)+IKKE(-x){\ displaystyle 0 = {\ mathcal {N}} (0_ {E}) = {\ mathcal {N}} (xx) \ leq {\ mathcal {N}} (x) + {\ mathcal {N}} ( -x)}0≤2IKKE⁡(x){\ displaystyle 0 \ leq 2 \ operatorname {\ mathcal {N}} (x)}
• Feltene real og kompleks er ikke de eneste som innrømmer en absolutt verdi.
  Når det gjelder verdsatte kropper , kan en norm til og med være ultrametrisk hvis den tilfredsstiller en viss tilstand som er sterkere enn underadditivitet.
• En funksjon av E i ℝ + som bare tilfredsstiller antagelsene om homogenitet og subadditivitet kalles semi-norm .

En vektor plass med en norm kalles en norm vektorrom (noen ganger forkortet som EVN).

Bildet av en vektor x etter normen skrives vanligvis ║ x ║ og leser "norm for x  ".

Første eiendommer

• Normen er sublinear , dvs. den tilfredsstiller følgende egenskaper:∀(λ,x,y)∈K×E2 , ‖λx+y‖≤|λ|‖x‖+‖y‖,{\ displaystyle \ forall (\ lambda, x, y) \ in K \ times E ^ {2} \, \ \ | \ lambda x + y \ | \ leq | \ lambda | \ | x \ | + \ | y \ |,}som generaliserer ved gjentakelse til:‖λ1x1+...+λikkexikke‖≤|λ1|‖x1‖+...+|λikke|‖xikke‖.{\ displaystyle \ | \ lambda _ {1} x_ {1} + \ ldots + \ lambda _ {n} x_ {n} \ | \ leq | \ lambda _ {1} | \ | x_ {1} \ | + \ ldots + | \ lambda _ {n} | \ | x_ {n} \ |.}
• Separasjon og homogenitet garanterer egenskapene til separasjon og symmetri av funksjonend:(x,y)↦‖y-x‖.{\ displaystyle d \ colon (x, y) \ mapsto \ | yx \ |.}(For symmetri, bruker vi den , hvor e betegner den multiplikative nøytral av K , følgelig, for en hvilken som helst vektor z , ║- z ║ = ║ (- e ) z ║ = | - e | ║ z ║ = ║ z . ║) Underadditiviteten rettferdiggjør deretter den trekantede ulikheten ,∣-e∣ =1{\ displaystyle \ mid -e \ mid = 1}
  ‖z-x‖≤‖z-y‖+‖y-x‖,{\ displaystyle \ | zx \ | \ leq \ | zy \ | + \ | yx \ |,}nødvendig for å vise at d er en avstand på E , som er mer invariant ved oversettelse.
  Et normalisert vektorrom er derfor et homogent metrisk rom og tilhørende topologi er kompatibel med vektoroperasjoner.
• Underadditiviteten gjør det mulig å oppnå følgende egenskaper:∀(x,y)∈E2 , |‖x‖-‖y‖|≤‖x-y‖,{\ displaystyle \ forall (x, y) \ i E ^ {2} \, \ {\ big |} \ | x \ | - \ | y \ | {\ big |} \ leq \ | xy \ |,}som viser at normen er et 1-Lipschitzian-kart og derfor kontinuerlig .
• Normen er også, som enhver semi-norm, en konveks funksjon , som kan være nyttig for å løse optimaliseringsproblemer .

Topologi

Avstanden d assosiert med normen (jf. Ovenfor) gir E en struktur av metrisk rom , derfor av separat topologisk rom . En åpenhet for denne topologien er en del O av E slik at:

∀x∈O,∃ε>0{y∈E | ‖x-y‖<ε}⊂O.{\ displaystyle \ forall x \ i O, \; \ eksisterer \ varepsilon> 0 \ quad \ {y \ i E ~ | ~ \ | xy \ | <\ varepsilon \} \ delmengde O.}

Utstyrt med denne topologien er E et "evt" ( topologisk vektorrom ), det vil si at:

Proposisjon  -  Tilsetningen av E × E i E og den eksterne multiplikasjonen av K × E i E er kontinuerlig.

Demonstrasjon

La ( x , y ) være et punkt på E × E og ( h , k ) en økning, deretter:

‖(x+h+y+k)-(x+y)‖=‖h+k‖≤‖h‖+‖k‖≤2maks(‖h‖,‖k‖)=2‖(h,k)‖E×E.{\ displaystyle \ left \ Vert (x + h + y + k) - (x + y) \ right \ Vert = \ | h + k \ | \ leq \ | h \ | + \ | k \ | \ leq 2 \ max (\ | h \ |, \ | k \ |) = 2 \ | (h, k) \ | _ {E \ ganger E}.}

Den forrige økningen viser at tilsetningen er 2- Lipschitzian og derfor jevnt kontinuerlig .

La K × E være et poeng og en økning, så hvis og  : (λ,x){\ displaystyle (\ lambda, x)}(μ,h){\ displaystyle (\ mu, h)}‖(λ,x)‖K×E≤M{\ displaystyle \ | (\ lambda, x) \ | _ {K \ times E} \ leq M}‖(μ,h)‖K×E≤ε≤1{\ displaystyle \ | (\ mu, h) \ | _ {K \ times E} \ leq \ varepsilon \ leq 1}

‖(λ+μ)(x+h)-λx‖≤‖λh‖+‖μx‖+‖μh‖≤2Mε+ε2≤(2M+1)ε.{\ displaystyle \ left \ Vert (\ lambda + \ mu) (x + h) - \ lambda x \ right \ Vert \ leq \ | \ lambda h \ | + \ | \ mu x \ | + \ | \ mu h \ | \ leq 2M \ varepsilon + \ varepsilon ^ {2} \ leq (2M + 1) \ varepsilon.}

Den siste øker viser den jevne kontinuitet av den ytre multiplikasjon over hele ballen K x E med senteret 0 og radius M , slik at kontinuiteten av K x E .

Siden en norm på et vektorrom indusert på en topologi av e.vt og til og med et separat lokalt konveks rom ( se infra ), kan man lure på om topologien til en gitt evt kan induseres av en mulig norm på . Når dette er tilfelle, sier vi at e.vt er normalt . Separate lokalt konvekse mellomrom er ikke alle normerbare (for eksempel er et Montel-rom med uendelig dimensjon aldri normerbart). E{\ displaystyle E}E{\ displaystyle E}T{\ displaystyle T}T{\ displaystyle T}(E,T){\ displaystyle (E, T)}E{\ displaystyle E}(E,T){\ displaystyle (E, T)}

Ball

Denne konstruksjonen av en topologi gir all sin betydning for forestillingen om en åpen ball med senter x og radius r , det vil si settet med punkter hvis avstand til x er strengt mindre enn r . Enhver åpen ball er bildet av enhetsballen (åpen) sammensatt av en oversettelse med vektor x og en utvidelse med forholdet r .

De åpne ballene sentrert på et punkt danner en base av nabolag for det punktet; de karakteriserer derfor topologien. Hvis E er et vektorrom på ℝ (spesielt hvis det er et vektorrom på ℂ), er en hvilken som helst åpen ball konveks . Ettersom konveksiteten er bevart ved oversettelse og homøthet, er det tilstrekkelig å vise denne egenskapen for den åpne enhetsballen. Hvis x og y er to punkter i denne ballen, og hvis θ er en reell mellom 0 og 1, så:

‖θx+(1-θ)y‖≤θ‖x‖+(1-θ)‖y‖<1.{\ displaystyle \ | \ theta x + (1- \ theta) y \ | \ leq \ theta \ | x \ | + (1- \ theta) \ | y \ | <1.}

Følgende eiendom er derfor bekreftet:

Eiendom  -  Et reelt normalisert vektorrom er lokalt konveks .

Dette betyr at ethvert punkt innrømmer en base av konvekse nabolag, for eksempel de åpne ballene sentrert på dette punktet.

Tilsvarende standard

Jo flere åpninger topologien inneholder, jo mer presis blir den tilknyttede analysen. Av denne grunn sies det at en topologi som inneholder minst alle åpningene til en annen, er finere. Spørsmålet oppstår når det gjelder to standarder og på samme vektorrom E , å vite hvilket kriterium på standardene som tilsvarer en slik sammenligning mellom deres tilknyttede topologier. IKKE1{\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {1}}IKKE2{\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {2}}

• IKKE1{\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {1}}sies å være finere enn (vi sier også at dominerer ) hvis noen sekvens av vektorer av E som konvergerer for konvergerer for , eller igjen, hvis det eksisterer en strengt positiv virkelighet som:IKKE2{\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {2}}IKKE1{\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {1}}IKKE2{\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {2}}IKKE1{\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {1}}IKKE2{\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {2}}α{\ displaystyle \ alpha}∀x∈E, IKKE2(x)≤αIKKE1(x).{\ displaystyle \ forall x \ i E, \ {\ mathcal {N}} _ {2} (x) \ leq \ alpha {\ mathcal {N}} _ {1} (x).}Denne definisjonen legitimeres av det faktum at det er finere enn hvis og bare hvis dets tilknyttede topologi er finere enn .IKKE1{\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {1}}IKKE2{\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {2}}T1{\ displaystyle {\ mathcal {T}} _ {1}}T2{\ displaystyle {\ mathcal {T}} _ {2}}
• IKKE1{\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {1}}og sies å være ekvivalente hvis hver av de to er finere enn den andre, eller hvis det er to strengt positive realer og slik at:IKKE2{\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {2}}α{\ displaystyle \ alpha}β{\ displaystyle \ beta}∀x∈E, αIKKE1(x)≤IKKE2(x)≤βIKKE1(x).{\ displaystyle \ forall x \ i E, ~ \ alpha {\ mathcal {N}} _ {1} (x) \ leq {\ mathcal {N}} _ {2} (x) \ leq \ beta {\ mathcal {N}} _ {1} (x).}Dette tilsvarer det faktum at de åpne ballene til de to standardene kan inkluderes i hverandre opp til utvidelse, eller at de to tilknyttede topologiene er de samme. I metriske termer er de to strukturene til og med jevnt isomorfe. På et reelt vektorrom med endelig dimensjon er alle normene ekvivalente (se artikkelen “  Topologi av et vektorrom med endelig dimensjon  ”).

Generiske konstruksjoner

• Ethvert skalarprodukt på et reelt vektorrom E definerer den tilhørende euklidiske normen ved:∀x∈E, ‖x‖=x⋅x.{\ displaystyle \ forall x \ i E, \ \ | x \ | = {\ sqrt {x \ cdot x}}.}En norm er euklidisk (dvs. kommer fra et prikkprodukt) hvis og bare hvis applikasjonenIKKE{\ displaystyle {\ mathcal {N}}}(x,y)↦12(IKKE(x+y)2-IKKE(x)2-IKKE(y)2){\ displaystyle (x, y) \ mapsto {\ frac {1} {2}} \ left ({\ mathcal {N}} (x + y) ^ {2} - {\ mathcal {N}} (x) ^ {2} - {\ mathcal {N}} (y) ^ {2} \ right)}er bilinear , og i dette tilfellet er dette kartet det tilknyttede punktproduktet (se artikkelen “  Polarisasjonsidentitet  ”).
• Hvis f er et injektiv lineær transformasjon fra E til F og deretter en hvilken som helst norm på F induserer en norm på E ved hjelp av ligningen‖x‖E=‖f(x)‖F.{\ displaystyle {\ mathcal {\ |}} x \ | _ {E} = \ | f (x) \ | _ {F}.}
• Hvis C er en avgrenset og balansert konveks åpen plan for et reelt vektorrom E , så er måleren til C en norm J definert av ∀x∈E J(x)=inf{λ>0 | 1λx∈VS}{\ displaystyle \ forall x \ i E ~ J (x) = \ inf \ left \ {\ lambda> 0 ~ \ left | ~ {\ frac {1} {\ lambda}} x \ i C \ right. \ right \}}og hvor C er den åpne enhetskulen .
• Hvis E og F er to reelle eller komplekse normaliserte vektorrom, får du plass til kontinuerlige lineære kart med operatørnormen underordnet de respektive normene for E og F skrevet:L(E,F){\ displaystyle {\ mathcal {L}} (E, F)}∀T∈L(E,F), ‖T‖=supx∈E∖{0}‖T(x)‖F‖x‖E.{\ displaystyle \ forall T \ i {\ mathcal {L}} (E, F), \ \ | T \ | = \ sup _ {x \ i E \ setminus \ {0 \}} {\ frac {\ | T (x) \ | _ {F}} {\ | x \ | _ {E}}}.}

Eksempler

I endelig dimensjon

I denne delen betegner vi en vektor av K n  ; x→{\ displaystyle {\ vec {x}}}(x1,...,xikke){\ displaystyle (x_ {1}, \ prikker, x_ {n})}

• den euklidiske normen er hentet fra skalarproduktet eller det kanoniske Hermitian-produktet  :‖x→‖2=|x1|2+...+|xikke|2{\ displaystyle \ | {\ vec {x}} \ | _ {2} = {\ sqrt {| x_ {1} | ^ {2} + \ ldots + | x_ {n} | ^ {2}}}}og det tilsvarer normen som vanligvis brukes for avstanden mellom to punkter i det vanlige planet eller rommet (tilstedeværelsen av 2 i abonnement er forklart like etter - i tilfelle p = 2: norm 2 );
• den norm 1 er gitt ved summen av de modulene (eller absolutte verdier) for koeffisientene:‖x→‖1=|x1|+...+|xikke|{\ displaystyle \ | {\ vec {x}} \ | _ {1} = | x_ {1} | + \ ldots + | x_ {n} |}og induserer forskyvningsavstanden i rett vinkel på et rutebrett, kalt Manhattan-avstanden  ;
• mer generelt, for alle p større enn eller lik 1, er normen p (dette er Hölder- normene ) gitt av følgende formel:‖x→‖s=(|x1|s+...+|xikke|s)1s.{\ displaystyle \ | {\ vec {x}} \ | _ {p} = \ left (| x_ {1} | ^ {p} + \ ldots + | x_ {n} | ^ {p} \ right) ^ {\ frac {1} {p}}.}Den identifiserer derfor den euklidiske normen med 2-normen, men fremfor alt er den bare av interesse i dens generalisering til funksjonsrom;
• den "uendelige" normen er gitt av:‖x→‖∞=maks(|x1|,...,|xikke|).{\ displaystyle \ | {\ vec {x}} \ | _ {\ infty} = \ max \ left (| x_ {1} |, \ dots, | x_ {n} | \ right).}Det induserer forskyvningsavstanden av ansiktene og hjørnene i et nettverk, som kongen på sjakkbrettet, kalt Chebysjevs avstand .

Alle disse standardene er likeverdige, siden ‖x→‖∞≤‖x→‖s≤ikke1s‖x→‖∞{\ displaystyle \ | {\ vec {x}} \ | _ {\ infty} \ leq \ | {\ vec {x}} \ | _ {p} \ leq n ^ {\ frac {1} {p}} \ | {\ vec {x}} \ | _ {\ infty}}.

Den trekantede ulikhet for p- normer er kalt Minkowski ulikhet  ; det er en konsekvens av konveksitetsresultater inkludert Hölders ulikhet . Den sistnevnte, som generaliserer de ovenfor bundet, viser videre at det for en hvilken som helst vektor av K n , den avtagende kartet p ↦ ║ ║ p er kontinuerlig på [1, + ∞] . Faktisk, x→{\ displaystyle {\ vec {x}}} x→{\ displaystyle {\ vec {x}}}

1≤s≤q≤∞⇒‖x→‖q≤‖x→‖s≤ikke1s-1q‖x→‖q{\ displaystyle 1 \ leq p \ leq q \ leq \ infty \ Rightarrow \ | {\ vec {x}} \ | _ {q} \ leq \ | {\ vec {x}} \ | _ {p} \ leq n ^ {{\ frac {1} {p}} - {\ frac {1} {q}}} \ | {\ vec {x}} \ | _ {q}}.

Andre eksempler vises klassisk:

• Normen på kvartærområdet er den euklidiske normen som brukes på basen .(1,Jeg,j,k){\ displaystyle (1, i, j, k)}
• Plassen til polynomer med en grad som er mindre enn eller lik n, kan forsynes med normer avledet fra funksjonsrom (se nedenfor).

Vær oppmerksom på at en “naiv” implementering av formelen på en datamaskin kan føre til overskytings- eller undershoot- feil for ekstreme verdier (veldig stor eller veldig liten i absolutt verdi): det mellomliggende trinnet med kvadrering kan føre til resultater som ikke kan representeres i henhold til til IEEE 754- standarden , og derfor til et endelig resultat på 0 eller "uendelig", selv om det endelige resultatet i seg selv er representativt. For å unngå dette kan vi faktorisere ved  : hver er i området (og minst en av verdiene er nøyaktig 1), så innholdet av roten er i området , og forhindrer forbikjøring og underlag hvis sluttresultatet er representert. En annen metode er Moler og Morrison . ‖x→‖2=|x1|2+...+|xikke|2{\ displaystyle \ | {\ vec {x}} \ | _ {2} = {\ sqrt {| x_ {1} | ^ {2} + \ ldots + | x_ {n} | ^ {2}}}}‖x→‖2{\ displaystyle \ | {\ vec {x}} \ | _ {2}}‖x→‖∞=maks(|x1|,...,|xikke|){\ displaystyle \ | {\ vec {x}} \ | _ {\ infty} = \ max \ left (| x_ {1} |, \ dots, | x_ {n} | \ right)}‖x→‖2=‖x→‖∞×|x1‖x→‖∞|2+...+|xikke‖x→‖∞|2{\ displaystyle \ | {\ vec {x}} \ | _ {2} = \ | {\ vec {x}} \ | _ {\ infty} \ times {\ sqrt {\ left | {\ frac {x_ { 1}} {\ | {\ vec {x}} \ | _ {\ infty}}} \ right | ^ {2} + \ ldots + \ left | {\ frac {x_ {n}} {\ | {\ vec {x}} \ | _ {\ infty}}} \ right | ^ {2}}}}|xJeg‖x→‖∞|{\ displaystyle \ left | {\ frac {x_ {i}} {\ | {\ vec {x}} \ | _ {\ infty}}} \ right |}[0,1]{\ displaystyle [0,1]}[1,ikke]{\ displaystyle [1, n]}

I uendelig dimensjon

• På rommet for kontinuerlige funksjoner definert på et segment av ℝ og med reelle eller komplekse verdier, finner vi, for p større enn eller lik 1, normer p definert på måter som ligner på endelige dimensjonale vektorrom:VS0([på,b]){\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {0} ([a, b])}[på,b]{\ displaystyle [a, b]}‖f‖s=(∫påb|f(t)|sdt)1/s{\ displaystyle {\ | f \ |} _ {p} = \ left (\ int _ {a} ^ {b} | f (t) | ^ {p} \ mathrm {d} t \ right) ^ {1 / p}}som spesielt gjør det mulig å definere mellomrommene L p .
  Spesielt er den euklidiske normen knyttet til det skalære eller kanoniske Hermitian-produktet definert av‖f‖2=∫påb|f(t)|2 dt.{\ displaystyle {\ | f \ |} _ {2} = {\ sqrt {\ int _ {a} ^ {b} | f (t) | ^ {2} ~ \ mathrm {d} t}}.}Den "uendelige" normen eller sup- normen eller til og med normen for enhetlig konvergens er skrevet‖f‖∞=supt∈[på,b]|f(t)|{\ displaystyle {\ | f \ |} _ {\ infty} = \ sup _ {t \ in [a, b]} | f (t) |}og oppnås der også som grensen for normene p når p har en tendens til uendelig.
  Alle disse standardene tilsvarer ikke to og to.
  Videre kan de enkelt utvides til å omfatte kontinuerlige funksjoner over en kompakt på ℝ n , eller til og med til kontinuerlige funksjoner med kompakt støtte .
• På rommet av differensierbare funksjoner med kontinuerlig derivat , kan man bruke en av de ovennevnte standardene eller også ta hensyn til derivatet ved å bruke en standard som følger:VS1([på,b]){\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {1} ([a, b])}‖f‖=∫påb(|f(t)|+|f′(t)|) dt{\ displaystyle \ | f \ | = \ int _ {a} ^ {b} (| f (t) | + | f '(t) |) ~ \ mathrm {d} t}for å vurdere anvendelsen avledet fra i som kontinuerlig.VS1([på,b]){\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {1} ([a, b])}VS0([på,b]){\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {0} ([a, b])}
• På rommet ℓ ∞ av avgrensede sekvenser er den naturlige normen sup- normen  :‖(uikke)ikke∈IKKE‖∞=supikke∈IKKE|uikke|.{\ displaystyle {\ | (u_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}} \ |} _ {\ infty} = \ sup _ {n \ in \ mathbb {N}} | u_ {n} |.}

Algebra-norm

Definisjon

En norm for en algebraIKKE{\ displaystyle {\ mathcal {N}}} PÅ{\ displaystyle A}

kalles algebranormen hvis det eksisterer en reell konstant slik at VS{\ displaystyle C}∀(x,y)∈PÅ2IKKE(x×y)≤VSIKKE(x)IKKE(y){\ displaystyle \ forall (x, y) \ i A ^ {2} \ quad {\ mathcal {N}} (x \ times y) \ leq C \, {\ mathcal {N}} (x) {\ mathcal {N}} (y)} [ref. nødvendig]

med andre ord slik at normen er submultiplikativ ( ). IKKE′: =VSIKKE{\ displaystyle {\ mathcal {N}} ': = C {\ mathcal {N}}}IKKE′(x×y)≤IKKE′(x)IKKE′(y){\ displaystyle {\ mathcal {N}} '(x \ times y) \ leq {\ mathcal {N}}' (x) {\ mathcal {N}} '(y)}

Når det gjelder en reell eller kompleks algebra, tilsvarer tilstanden kontinuiteten til produktet som et bilinært kart.

Hvis algebraen er enhetlig, kan vi kreve at normen også tilfredsstiller:

IKKE(1PÅ)=1{\ displaystyle {\ mathcal {N}} (1_ {A}) = 1},

i så fall kan multiplikasjon med en konstant ikke lenger brukes til å "renormalisere" normen.

Eksempler

• Søknaden modulus er en algebra norm løpet ℂ betraktes som ℝ-algebra.
• Operatørens norm er en algebranorm.L(E){\ displaystyle {\ mathcal {L}} (E)}
• Den "uendelige" normen på induc n induserer operatørnormen som er skrevet:Mikke(VS){\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {n} (\ mathbb {C})}

∀(påJeg,j)∈Mikke(VS), ‖(påJegj)‖=maksJeg∑j|påJegj|.{\ displaystyle \ forall (a_ {i, j}) \ i {\ mathcal {M}} _ {n} (\ mathbb {C}), \ \ | (a_ {ij}) \ | = \ max _ { i} \ sum _ {j} | a_ {ij} |.}

Merknader og referanser

Merknader

1. Xavier Gourdon, analyse ,2020( ISBN  978-2-340-03856-1 , OCLC  1160201780 ).
2. Standard 1 kalles også Manhattan-norm på engelsk.
3. Ordet "uendelig" er navnet på standarden og ikke et kvalifiserende adjektiv. Det stemmer derfor ikke med ordet "standard".
4. For eksempel  : Topologi av vektorrom med begrenset dimensjon , University Paris Diderot,‖x→‖∞≤‖x→‖2≤‖x→‖1≤ikke‖x→‖∞{\ displaystyle \ | {\ vec {x}} \ | _ {\ infty} \ leq \ | {\ vec {x}} \ | _ {2} \ leq \ | {\ vec {x}} \ | _ {1} \ leq n \ | {\ vec {x}} \ | _ {\ infty}}2005, 17  s. ( les online ) , s.  2.

Referanser

• Haïm Brezis , Funksjonsanalyse: teori og anvendelser [ detalj av utgaver ]En introduksjon til funksjonsanalyse, den handler hovedsakelig om to eksempler mellom Banach og Hilbert .
• Serge Lang , Real Analysis , InterEditions, 1977 ( ISBN  978-2-72960059-4 )Kapittel II omhandler topologiske vektorrom generelt og spesielt emnet for artikkelen.

Se også

Relatert artikkel

• Metriske egenskaper til linjer og plan

Eksterne linker

• "  Metriske mellomrom og standardrom  " , på les-mathematiques.net
• Normert vektorrom, pre-Hilbert-rom B. Silvi, laboratoriet Teoretisk kjemi ved universitetet Pierre og Marie Curie
• Standard, etc. på siden bibmath.net