En kvadratisk irrasjonell er en irrasjonell tallløsning av en kvadratisk ligning med rasjonelle koeffisienter , med andre ord et algebraisk reelt antall grad 2 . Det genererer derfor et reelt kvadratisk felt ℚ ( √ d ), hvor d er et positivt heltall uten en kvadratfaktor .
De kvadratiske irrasjonelle karakteriseres av periodisiteten som starter fra en viss grad av deres utvikling i kontinuerlig brøk ( Lagrange-teorem ).
De enkleste eksemplene på kvadratiske irrasjonelle er kvadratrøttene til ikke- kvadratiske naturlige heltall (det mest berømte er √ 2 ). Vi viser faktisk at hvis et helt tall ikke er kvadratet til et helt tall, er det ikke engang kvadratet til et rasjonelt eller til og med - ved kontraposisjon - at hvis et helt tall d er kvadrat av et rasjonelt, så er √ d et helt tall. Det kan trekkes fra proposisjon 8 i bok VIII av elementene i Euclid . De vanlige bevisene appellerer til Gauss lemma eller til og med til den grunnleggende teoremet for aritmetikk, men andre er mer skarpe, som Richard Dedekind eller følgende, hovedsakelig på grunn av Theodor Estermann :
La d være et naturlig heltall hvis kvadratrot er et rasjonelt, som vi skriver i form p / q med q så lite som mulig (dvs. q er det minste heltallet> 0 hvis produkt med √ d er heltall), og la n være den heltallsdelen av √ d . Deretter tilfredsstiller heltallet r : = p - nq : 0 ≤ r < q og r √ d er heltall. Ved minimalitet av q er r = 0 derfor √ d = n .
Mer generelt er ethvert ikke-heltall algebraisk heltall irrasjonelt.