I matematikk er et perfekt kvadrat (et kvadrat hvis det ikke er tvetydighet) kvadratet til et helt tall . De første 70 rutene (suite A000290 av OEIS ) er:
0 2 = 0 | 5 2 = 25 | 10 2 = 100 | 15 2 = 225 | 20 2 = 400 | 25 2 = 625 | 30 2 = 900 | 35 2 = 1225 | 40 2 = 1600 | 45 2 = 2,025 | 50 2 = 2500 | 55 2 = 3,025 | 60 2 = 3.600 | 65 2 = 4,225 |
1 2 = 1 | 6 2 = 36 | 11 2 = 121 | 16 2 = 256 | 21 2 = 441 | 26 2 = 676 | 31 2 = 961 | 36 2 = 1296 | 41 2 = 1 681 | 46 2 = 2116 | 51 2 = 2601 | 56 2 = 3136 | 61 2 = 3,721 | 66 2 = 4 356 |
2 2 = 4 | 7 2 = 49 | 12 2 = 144 | 17 2 = 289 | 22 2 = 484 | 27 2 = 729 | 32 2 = 1.024 | 37 2 = 1369 | 42 2 = 1764 | 47 2 = 2 209 | 52 2 = 2 704 | 57 2 = 3 249 | 62 2 = 3.844 | 67 2 = 4 489 |
3 2 = 9 | 8 2 = 64 | 13 2 = 169 | 18 2 = 324 | 23 2 = 529 | 28 2 = 784 | 33 2 = 1.089 | 38 2 = 1444 | 43 2 = 1849 | 48 2 = 2,304 | 53 2 = 2 809 | 58 2 = 3 364 | 63 2 = 3 969 | 68 2 = 4.624 |
4 2 = 16 | 9 2 = 81 | 14 2 = 196 | 19 2 = 361 | 24 2 = 576 | 29 2 = 841 | 34 2 = 1 156 | 39 2 = 1,521 | 44 2 = 1936 | 49 2 = 2401 | 54 2 = 2916 | 59 2 = 3481 | 64 2 = 4096 | 69 2 = 4 761 |
I vårt vanlige nummereringssystem kan enhetssifret til et perfekt firkant bare være 0, 1, 4, 5, 6 eller 9. I base tolv vil det nødvendigvis være 0, 1, 4 eller 9.
Vi sier at et helt tall q er en kvadratisk rest modulo et helt tall m hvis det eksisterer et helt tall n slik at:
.Det er et veldig nyttig konsept; det tillater spesielt å vise at visse diofantiske ligninger ikke innrømmer en løsning. For eksempel, med k heltall, innrømmer ikke ligningen en løsning i . Faktisk, de kvadratiske restene modulo 4 er 0 og 1, et perfekt kvadrat kan ikke ha en rest lik 2 i den euklidiske divisjonen med 4.
Vi betrakter a og b naturlige heltall som ikke er null .
3. Hvis a er et perfekt kvadrat, eksisterer det et helt tall m > 0 slik at a = m 2 . Ved å merke nedbrytingen av til hovedfaktorer, utleder vi :, derfor er alle eksponentene i nedbrytningen av a jevne. Derimot, hvis alle eksponenter i nedbrytning av en enda da en er av formen .
4. Anta at pgcd ( en , b ) = 1 , og at ab = n 2 hvor .
Betegn med c = pgcd ( a , n ) . Så vi har:
.På samme måte er b = (pgcd ( b , n )) 2 .
5. Bare legg merke til det .
6. Ved egenskap 3 er a et perfekt kvadrat hvis og bare hvis eksponentene j p i sin primære faktorisering er like, noe som tilsvarer produktets ulikhet . Nå er dette produktet antall delere av a .
7. Jf. " Kvadratiske rester modulo 10 ".
8. Se “ Summen av de første n kubene ”.
Et kvadratnummer er et polygonal tall (derfor et strengt positivt heltall ) som kan representeres geometrisk av et kvadrat . For eksempel er 9 et kvadratnummer siden det kan representeres av et 3 × 3-punkt kvadrat . Kvadratallene er derfor ikke-null perfekte kvadrater , hvor n er n 2 .
Produktet av to firkantede tall er et kvadratnummer.
Representasjonen av det første kvadratnummeret er et punkt. Det av den n- te oppnås ved grensen til to på hverandre følgende sider av den foregående kvadratet av 2 n - 1 poeng:
1 + 3 = 2 2 = 4
4 + 5 = 3 2 = 9
9 + 7 = 4 2
1 + 3 + 5 + 7 = 4 2
Den n- th kvadrattall er derfor summen av de første n oddetall : ,
som gir et praktisk middel til å danne en tabell over kvadrater: man skriver på de første linjene de påfølgende heltalene man ønsker å danne kvadratene, deretter de påfølgende oddetallene. På en tredje linje, startende med 1, hver gang vi legger til oddetallet umiddelbart til høyre og over, bygger vi naturlig rekkefølgen av perfekte firkanter. Denne egenskapen brukes også til utvinning av kvadratrot og, enda mer praktisk, for kvadratrotutvinning med kuleramme .
Det n- kvadratnummeret er også lik summen av det n - tallet og det forrige:
Summen av to påfølgende kvadratnummer er et sentrert kvadratnummer .
Den summen av de første n kvadrattall er lik n- th firkantet pyramide nummer :
De matematikere ble ofte interessert i noen kuriositeter om kvadrattall. Den mest kjente, spesielt for sin referanse til Pythagoras teorem , er likheten 3 2 + 4 2 = 5 2 , som begynner studiet av Pythagoras tripler. I følge Fermat-Wiles-teoremet , demonstrert i 1995, er det bare kvadratiske tall som kan lage en identitet som den for Pythagoras trippel. For eksempel er det ingen løsning på a 3 + b 3 = c 3 med a , b og c heltall ikke null.
Perfekt torg på recreomath.qc.ca
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">