Kriging
Den Kriging er i geostatistikk , metoden for estimering lineær garantere minimum varians . Kriging utfører den romlige interpolasjonen av en regionalisert variabel ved å beregne den matematiske forventningen til en tilfeldig variabel , ved å bruke tolkningen og modelleringen av det eksperimentelle variogrammet . Det er den beste objektive lineære estimatoren; den er basert på en objektiv metode. Det tar ikke bare hensyn til avstanden mellom dataene og estimeringspunktet, men også avstandene mellom de to til to dataene.
Begrepet kriging kommer fra etternavnet til den sørafrikanske gruveingeniøren Danie G. Krige . Det ble formalisert for gruvedrift av Georges Matheron (1930-2000) ved BRGM og deretter ved École des mines de Paris . Siden den gang har applikasjonsområdet blitt utvidet mye, inkludert meteorologi , miljøvitenskap og elektromagnetisme .
I følge de underliggende forutsetningene kommer kriging i flere varianter (enkle, vanlige ...) som alle bruker de samme prinsippene.
Notasjoner brukt
-
Q en mengde (definert på noen måte) som skal estimeres til et punkt;
-
Q * krigingsestimatoren til Q på dette tidspunktet;
-
z den regionaliserte variabelen som ble studert;
-
Z den tilfeldige funksjonen assosiert med z ;
-
K , m dens samvarians og forventning;
-
n det antall målepunkter;
-
x 0 estimeringspunktet;
-
x i , i = 1 ... n målepunktene;
-
* krigings estimeringsoperatør; dermed er Z * krigingsestimatoren for Z ;
-
Z * 0 verdien beregnet til x 0 av den vurderte kriging;
-
Z i , i = 1 ... n dataene, kjent ved målepunktene x i ;
-
λ i vekten påvirket av kriging til verdien i x i ;
-
μ Lagrange-parameteren brukt i kriging;
-
γ i , j verdien av variogrammet γ for en avstand | x i - x j | ;
-
K i , j verdien av kovariansen K for en avstand | x i - x j | ;
-
f l , l = 1 ... de grunnleggende funksjonene i tilfelle universal kriging, f 0 = 1 ;
-
f l i verdien av f l i punkt x i ;
Prinsipp for kriging
En vanlig kriging får flere handlinger til å følge hverandre:
- datainnsamling og forbehandling: dette innebærer å rense den regionaliserte variabelen z fra dens outliers, dårlig kodede verdier osv. Det kan være nyttig å transformere dataene (ved vedeksjon) til en parameter som vil bli estimert i stedet, før transformasjon er gjensidig.
- avgjørelse av forventet estimat: generelt søkes et estimat på hvert punkt i et rutenett, noen ganger ved hvert elementære volum .
- valg av en modell: en modell av tilfeldig funksjon Z assosiert med z foreslås, i henhold til forutsetningene om dens stasjonæritet, middelverdien, eventuelle hjelpeparametere.
- kalibrering av et variogram: når det tas hensyn til det eksperimentelle variogrammet, velges en variogrammodell γ , med respekt for forholdene som følge av valg av modell.
- riktig kriging: typen kriging avhenger av valg av modell og type forventet resultat. Det varierer etter valg av nabolaget.
- etterbehandling: en mulig gjensidig transformasjon blir brukt; resultatet er kommentert.
Beregningen gir også en krigingvarians σ K 2 , som avhenger av variogram og posisjonen til datapunktene, men ikke av deres verdier.
Begrensninger for Kriging
Det faktum at kriging er den lineære estimatoren for minimumsavvik, resulterer i fire påfølgende begrensninger, som gjør det mulig å skrive kriging-systemet for alle varianter av metoden. Det følgende beskriver de fire trinnene med å bygge en estimator Q * for å estimere en mengde Q .
Lineæritet
For realismens skyld antar vi at mengden som skal estimeres er en lineær funksjon av den studerte tilfeldige funksjonen (generelt :) ; det større tilfellet (avskjærings- og utvalgsproblemer osv.) er et spørsmål om ikke-lineær geostatistikk .
Q=∫Z(x)s(dx){\ displaystyle \ scriptstyle Q = \ int Z \ left (x \ right) p \ left (\ mathrm {d} x \ right)}![{\ displaystyle \ scriptstyle Q = \ int Z \ left (x \ right) p \ left (\ mathrm {d} x \ right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd58773257fb3410cfc27610e2830e5bc53ba6eb)
Estimatoren er presentert som en lineær kombinasjon av dataene med ukjente vekter for øyeblikket: Q∗=∑JegλJegZJeg{\ displaystyle \ scriptstyle Q ^ {*} = \ sum _ {i} \ lambda _ {i} Z_ {i}}
Autorisasjon
Estimasjonsfeilen må være en tillatt lineær kombinasjon , dvs. forventning og avvik må defineres.
Autorisasjonsbetingelsen er skrevet forskjellig avhengig av den antatte underliggende modellen (vi vil alltid anta den begrensede støtten).
- I den stasjonære modellen av rekkefølge 2 er alle lineære kombinasjoner tillatt, og det er ingen begrensning.
- På den annen side, i den indre modellen, er en lineær kombinasjon tillatt hvis og bare hvis den totale vekten er null:∑JegλJeg=0{\ displaystyle \ scriptstyle \ sum _ {i} \ lambda _ {i} = 0}
Universitet
Det kreves at estimatoren ikke har noen statistisk skjevhet med hensyn til mengden som skal estimeres. Denne begrensningen kan kalles begrensningen for ikke-skjevhet eller null forventning. Det er skrevet:E[Q∗-Q]=0{\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {E} \ left [Q ^ {*} - Q \ right] = 0}
Optimalitet
Vi ber estimeringsfeilen være av minimal varians, under de tidligere begrensningene. Unntatt i spesielle tilfeller er det en unik løsning på dette estimeringsproblemet.
{λJeg}Jeg=1 ..ikke{\ displaystyle \ scriptstyle \ left \ {\ lambda _ {i} \ right \} _ {i = 1..n}}![{\ displaystyle \ scriptstyle \ left \ {\ lambda _ {i} \ right \} _ {i = 1..n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f37c66c668f8c3823f83bfbc7abfe4817f593fd7)
Resultatet av disse fire begrensningene er generelt sett et Cramer-system som innrømmer en løsning og bare en.
Vi kan utvide denne tilnærmingen i kontinuerlig tilfelle ved å ikke vurdere vekting λ i, men måler λ (d x ) .
Engangs krigeages
Stasjonær til kjent middel kriging (enkel kriging)
La Z være en stasjonær tilfeldig funksjon av rekkefølge 2 . Dens forventning m og dens kovariansmatrise for prøvetakingsstedene antas å være kjent. Vi antar tapsfritt m = 0 . Vi ser etter kriging av Z på et tidspunkt .
K=(KJeg,j)1≤Jeg,j≤ikke{\ displaystyle K = (K_ {i, j}) _ {1 \ leq i, j \ leq n}}
(x1,...,xikke){\ displaystyle (x_ {1}, \ prikker, x_ {n})}
x0{\ displaystyle x_ {0}}![x_ {0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf)
skrive enkel kriging
- Ved linearitet blir problemet søket etter vekter λ i , avhengig av estimeringspunktet, slik at ;Z0∗=∑JegλJegZJeg{\ displaystyle \ scriptstyle Z_ {0} ^ {*} = \ sum _ {i} \ lambda _ {i} Z_ {i}}
![{\ displaystyle \ scriptstyle Z_ {0} ^ {*} = \ sum _ {i} \ lambda _ {i} Z_ {i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40690d79504ef1f27281304a573089d53b69c1a5)
- Autorisasjon er sikret i den stasjonære saken;
- Universitet er garantert ved antagelse :;E[Z0]=E[ZJeg]=0{\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {E} \ left [Z_ {0} \ right] = E \ left [Z_ {i} \ right] = 0}
![{\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {E} \ left [Z_ {0} \ right] = E \ left [Z_ {i} \ right] = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba1dd7965af446c9b5ac49dd4db04c62b2621796)
- Optimalitet forutsetter: ∀Jeg,∑jλjKJeg,j=KJeg,0{\ displaystyle \ scriptstyle \ forall i, \ sum _ {j} \ lambda _ {j} K_ {i, j} = K_ {i, 0}}
Det enkle kriging-systemet er skrevet i en matrise:
Kλ=K0{\ displaystyle \ mathbf {K} \ mathbf {\ lambda} = \ mathbf {K} _ {0}}
hvor K er kovariansmatrisen på prøvetakingsstedene:
K=(K1,1⋯K1,ikke⋮⋱⋮Kikke,1⋯Kikke,ikke)=(VSov(Z(xJeg),Z(xj)))1≤Jeg,j≤ikke{\ displaystyle \ mathbf {K} = {\ begin {pmatrix} K_ {1,1} & \ cdots & K_ {1, n} \\\ vdots & \ ddots & \ vdots \\ K_ {n, 1} & \ cdots & K_ {n, n} \ end {pmatrix}} = (Cov (Z (x_ {i}), Z (x_ {j}))) _ {1 \ leq i, j \ leq n}}
λ er matrisen til krigingsvekter:
λ=(λ1⋮λikke){\ displaystyle \ mathbf {\ lambda} = {\ begin {pmatrix} \ lambda _ {1} \\\ vdots \\\ lambda _ {n} \ end {pmatrix}}}
og er krigpunkt-kovariansmatrisen med prøvetakingssteder
K0{\ displaystyle K_ {0}}
K0=(K1,0⋮Kikke,0)=(VSov(Z(xJeg),Z(x0)))1≤Jeg≤ikke{\ displaystyle \ mathbf {K} _ {0} = {\ begin {pmatrix} K_ {1,0} \\\ vdots \\ K_ {n, 0} \ end {pmatrix}} = (Cov (Z (x_ {i}), Z (x_ {0}))) _ {1 \ leq i \ leq n}}
Kovariansmatrisen er symmetrisk, positiv, den er inverterbar, og vi løser krigingsystemet ved å invertere det: λ=K-1K0{\ displaystyle \ mathbf {\ lambda} = \ mathbf {K} ^ {- 1} \ mathbf {K} _ {0}}
Resultatet av interpolasjonen på punktet er:
x0{\ displaystyle x_ {0}}![x_ {0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf)
Z0∗=∑JegλJegZJeg{\ displaystyle {Z_ {0}} ^ {*} = \ sum _ {i} \ lambda _ {i} Z_ {i}}
I det generelle tilfellet, den forventning m av Z er ikke alltid null. Vi beregner deretter vektene til krigingen av variabelen på det punktet , hvis forventning er null. Vi får den enkle kriging av Z ved å :
λJeg{\ displaystyle \ lambda _ {i}}
Z-m{\ displaystyle Zm}
x0{\ displaystyle x_ {0}}
x0{\ displaystyle x_ {0}}
Z0∗=∑JegλJegZJeg+(1-∑JegλJeg)m{\ displaystyle {Z_ {0}} ^ {*} = \ sum _ {i} \ lambda _ {i} Z_ {i} + \ left (1- \ sum _ {i} \ lambda _ {i} \ right ) m}
Den variansen av den enkle Kriging estimatet er:
σS2=K0,0-∑JegλJegK0,Jeg{\ displaystyle {\ sigma _ {\ mathrm {S}}} ^ {2} = K_ {0,0} - \ sum _ {i} \ lambda _ {i} K_ {0, i}}
Enkel kriging kan ikke skrives direkte i form av et variogram, siden summen av vektene ikke er lik 1. Enkel kriging krever at kovariansen defineres, det vil si at variogrammet har et platå.
Hvis den tilfeldige funksjonen Z er Gaussisk , er krigingsresultatet Z 0 * den betingede forventningen, og estimatet og feilen er Gaussisk:
Z0∗=E[Z0|Z1,...,Zikke]{\ displaystyle {Z_ {0}} ^ {*} = \ mathrm {E} \ left [Z_ {0} | Z_ {1}, \ dotsc, Z_ {n} \ right]}
Z0-Z0∗∼IKKE(0,σS2){\ displaystyle Z_ {0} - {Z_ {0}} ^ {*} \ sim {\ mathcal {N}} \ left (0, {\ sigma _ {\ mathrm {S}}} ^ {2} \ right )}
Stationær kriging til ukjent gjennomsnitt (vanlig kriging, 1)
Forventningen m antas å være ukjent (men definert).
ordinær krigeskrift
- Linearitet gir ;Z0∗=∑JegλJegZJeg{\ displaystyle \ scriptstyle Z_ {0} ^ {*} = \ sum _ {i} \ lambda _ {i} Z_ {i}}
![{\ displaystyle \ scriptstyle Z_ {0} ^ {*} = \ sum _ {i} \ lambda _ {i} Z_ {i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40690d79504ef1f27281304a573089d53b69c1a5)
- Autorisasjon er sikret i den stasjonære saken;
- Universalitet tillater ikke oss å anta m = 0 , og gir ;∑JegλJeg=1{\ displaystyle \ scriptstyle \ sum _ {i} \ lambda _ {i} = 1}
![{\ displaystyle \ scriptstyle \ sum _ {i} \ lambda _ {i} = 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c410b421fdb8658c86d0a63640fa32213298f53)
- Optimalitet oppnås ved Lagrange-multiplikatormetoden . La μ være denne parameteren, vi får følgende kriging-system
{∑jλjKJeg,j+ μ=KJeg,0 ∀Jeg∑jλj=1{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ begin {align} & \ sum _ {j} \ lambda _ {j} K_ {i, j} & + ~ \ mu & = K_ {i, 0} ~ \ forall i \\ & \ sum _ {j} \ lambda _ {j} && = 1 \ end {aligned}} \ end {cases}}}
Det vanlige kriging-systemet er skrevet i en matrise:
{Kλ=K0Z0∗=λTZ, påvevs. K=(K1,1⋯K1,ikke1⋮⋱⋮⋮Kikke,1⋯Kikke,ikke11⋯10), λ=(λ1⋮λikkeμ), K0=(K1,0⋮Kikke,01), Z=(Z1⋮Zikke0){\ displaystyle {\ begin {cases} {\ begin {align} \ mathbf {K} \ mathbf {\ lambda} & = {\ mathbf {K}} _ {0} \\ {Z} _ {0} ^ { *} & = \ mathbf {\ lambda} ^ {\ operatorname {T}} \, \ mathbf {Z} \ end {aligned}} \ end {cases}} \ mathrm {, ~ with ~} \ mathbf {K} = {\ begin {pmatrix} K_ {1,1} & \ cdots & K_ {1, n} & 1 \\\ vdots & \ ddots & \ vdots & \ vdots \\ K_ {n, 1} & \ cdots & K_ {n, n} & 1 \\ 1 & \ cdots & 1 & 0 \ end {pmatrix}} \ mathrm {, ~} \ mathbf {\ lambda} = {\ begin {pmatrix} \ lambda _ {1} \ \\ vdots \\\ lambda _ {n} \\\ mu \ end {pmatrix}} \ mathrm {, ~} \ mathbf {K} _ {0} = {\ begin {pmatrix} K_ {1,0} \ \\ vdots \\ K_ {n, 0} \\ 1 \ end {pmatrix}} \ mathrm {, ~} \ mathbf {Z} = {\ begin {pmatrix} Z_ {1} \\\ vdots \\ Z_ { n} \\ 0 \ end {pmatrix}}}
Variasjonen i estimat i vanlig kriging er
σO2=K0,0-∑JegλJegK0,Jeg-μ{\ displaystyle {\ sigma _ {\ mathrm {O}}} ^ {2} = K_ {0,0} - \ sum _ {i} \ lambda _ {i} K_ {0, i} - \ mu}
Den samme tilnærmingen kan brukes til å estimere den ukjente forventningen. La estimatoren M * .
skriving av kriging av håp
- Linearitet gir M∗=∑JegλJegZJeg{\ displaystyle \ scriptstyle M ^ {*} = \ sum _ {i} \ lambda _ {i} Z_ {i}}
- Autorisasjon er sikret
- Universitet pålegger derform(∑JegλJeg-1)=0 ∀m{\ displaystyle \ scriptstyle m \ left (\ sum _ {i} \ lambda _ {i} -1 \ right) = 0 ~ \ forall m}
∑JegλJeg=1{\ displaystyle \ scriptstyle \ sum _ {i} \ lambda _ {i} = 1}
- Optimalitet løses med en Lagrange-multiplikator (bemerket μ M ) i systemet nedenfor.
{∑jλjKJeg,j+μM=0 ∀Jeg∑jλj=1{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ begin {align} & \ sum _ {j} \ lambda _ {j} K_ {i, j} + \ mu _ {\ mathrm {M}} & = 0 & ~ \ forall i \\ & \ sum _ {j} \ lambda _ {j} & = 1 \ end {aligned}} \ end {cases}}}
Variansen i evaluering av gjennomsnittet er derfor:
σM2=-μM{\ displaystyle {\ sigma _ {\ mathrm {M}}} ^ {2} = - \ mu _ {\ mathrm {M}}}
Strengt egen kriging (vanlig kriging, 2)
La Z være strengt iboende uten drift.
ordinær krigeskrift
- Linearitet gir ;Z0∗=∑JegλJegZJeg{\ displaystyle \ scriptstyle Z_ {0} ^ {*} = \ sum _ {i} \ lambda _ {i} Z_ {i}}
![{\ displaystyle \ scriptstyle Z_ {0} ^ {*} = \ sum _ {i} \ lambda _ {i} Z_ {i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40690d79504ef1f27281304a573089d53b69c1a5)
- Autorisasjon, i den indre modellen, gir ∑JegλJeg=1{\ displaystyle \ scriptstyle \ sum _ {i} \ lambda _ {i} = 1}
- Universitet respekteres, fordi en lineær kombinasjon autorisert i den indre modellen uten drift, har ingen forventninger
- Optimalitet krever Vpår[∑JegλJegZJeg-Z0]=-∑Jeg,jλJegγJeg,jλj+2∑JegλJegγJeg,j{\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {Var} \ left [\ sum _ {i} \ lambda _ {i} Z_ {i} -Z_ {0} \ right] = - \ sum _ {i, j} \ lambda _ {i} \ gamma _ {i, j} \ lambda _ {j} +2 \ sum _ {i} \ lambda _ {i} \ gamma _ {i, j}}
Denne saken er identisk med den forrige, skrevet i variogram:
{-∑jλjγJeg,j+μ=-γJeg,0 ∀Jeg∑jλj=1{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ begin {justert} - & \ sum _ {j} \ lambda _ {j} \ gamma _ {i, j} & + \ mu & = - \ gamma _ {i, 0} ~ \ forall i \\ & \ sum _ {j} \ lambda _ {j} && = 1 \ end {align}} \ end {cases}}}
Avviket i estimat i vanlig kriging er fortsatt
σO2=-γ0,0-∑JegλJegγ0,Jeg-μ{\ displaystyle {\ sigma _ {\ mathrm {O}}} ^ {2} = - \ gamma _ {0,0} - \ sum _ {i} \ lambda _ {i} \ gamma _ {0, i} - \ mu}
(mest generelt γ 0,0 = 0 ).
Kobling mellom enkle og vanlige krigeages
Vanlig punktlig kriging kan deles inn i to trinn: estimering av prosessens gjennomsnitt ved vanlig kriging, deretter enkel kriging med tanke på dette gjennomsnittet. Poserer henholdsvis λ m, i , μ m og σ O, m 2 vektene, Lagrange-multiplikatorer og variansen til vanlig kriging for estimering av gjennomsnittet, λ O, i og μ vektene og Lagrange-multiplikatoren for vanlig kriging, λ S, i de enkle krigingsvektene, og S = (1 - ∑ i λ S, i ) vekten av gjennomsnittet i enkel kriging, har vi:
λO,Jeg=λS,Jeg+Sλm,Jeg{\ displaystyle \ lambda _ {\ mathrm {O}, i} = \ lambda _ {\ mathrm {S}, i} + S \ lambda _ {\ mathrm {m}, i}}
μ=Sμm{\ displaystyle \ mu = S \ mu _ {\ mathrm {m}}}
σO2=σS2+S2σO,m2{\ displaystyle {\ sigma _ {\ mathrm {O}}} ^ {2} = {\ sigma _ {\ mathrm {S}}} ^ {2} + S ^ {2} {\ sigma _ {\ mathrm { O}, \ mathrm {m}}} ^ {2}}
Avviket til enkel kriging er lavere enn den tilhørende vanlige kriging. Hvis dataene er mange og godt strukturerte, er de to krigeagene nærme. Ellers tildeler enkel kriging en stor vekt til det kjente globale gjennomsnittet, og ordinær kriging tildeler samme vekt til et lokalt estimat av gjennomsnittet, slik at sistnevnte er mer robust overfor stasjonsfeil. Generelt sett er vanlig kriging å foretrekke fremfor enkel kriging, bortsett fra i spesielle tilfeller (kriging av indikatorer, simuleringer).
Universal Kriging
Modellen antatt er Z ( x ) = Y ( x ) + m ( x ) , omfattende en drift m ( x ) er deterministisk og en rest Y ( x ) er stasjonær ønsket (sann rest), og null gjennomsnitt. Vanskeligheten er å skille de to komponentene m og y i den regionaliserte variabelen z . Denne dikotomien kan representere en forklarende motsetning mellom lave og høye frekvenser, mellom regional tendens og anomalier.
Driften antas å være nedbrytbart i henhold til et kjent antall basefunksjoner, generelt monomialer av koordinatene, med f 0 = 1 funksjonskonstantenheten. Koeffisientene a l er ukjente. Driftmodellen beregnet av algoritmene nedenfor beskriver ikke nødvendigvis trenden til fenomenet, men en tilnærming til arbeidsskalaen.
m(x)=∑lpålfl(x){\ displaystyle \ scriptstyle m (x) = \ sum _ {l} a_ {l} f_ {l} (x)}![{\ displaystyle \ scriptstyle m (x) = \ sum _ {l} a_ {l} f_ {l} (x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2105fad34bb75a14866116d22de4dc94567b7f34)
Forutsetningene i resten Y er kalt underliggende på Z .
Universal kriging med underliggende stasjonær modell av ordre 2
Denne modellen kan tolkes som å ha en gjenopprettingskraft rundt finnen. Kovariansen blir spurt .
Kpå,b=VSov[Z(på),Z(b)]=VSov[Y(på),Y(b)]{\ displaystyle \ scriptstyle K_ {a, b} = \ mathbf {Cov} \ left [Z (a), Z (b) \ right] = \ mathbf {Cov} \ left [Y (a), Y (b) \ Ikke sant]}![{\ displaystyle \ scriptstyle K_ {a, b} = \ mathbf {Cov} \ left [Z (a), Z (b) \ right] = \ mathbf {Cov} \ left [Y (a), Y (b) \ Ikke sant]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8306111657b7782ed63de2bb138934676e813301)
Vi betegner med f li verdien av f l i punkt x i , for i = 0 ... n .
skriver universal kriging på FASt-2
- Linearitet gir Z0∗=∑JegZJeg{\ displaystyle \ scriptstyle Z_ {0} ^ {*} = \ sum _ {i} Z_ {i}}
- Autorisasjon er sikret
- Universaliteten som er nødvendig for å ha det ukjente, deravpål(∑JegλJegflJeg-fl0){\ displaystyle \ scriptstyle a_ {l} \ left (\ sum _ {i} \ lambda _ {i} f_ {li} -f_ {l0} \ right)}
∑JegλJegflJeg-fl0=0,∀l{\ displaystyle \ scriptstyle \ sum _ {i} \ lambda _ {i} f_ {li} -f_ {l0} = 0, \ forall l}
- Optimality introduserer Lagrange-multiplikatorene μ l ; optimalitetsbetingelsene er skrevet:∑jλjKJeg,j+μlflJeg=KJeg,0,∀Jeg{\ displaystyle \ scriptstyle \ sum _ {j} \ lambda _ {j} K_ {i, j} + \ mu _ {l} f_ {li} = K_ {i, 0}, \ forall i}
I matriseform skrives universal kriging:
(KJeg,jflJegflJeg0)(λjμl)=(KJeg,0fl0){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} K_ {i, j} & f_ {li} \\ f_ {li} & {\ mathit {0}} \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} \ lambda _ { j} \\ mu _ {l} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} K_ {i, 0} \\ f_ {l0} \ end {pmatrix}}}
Estimasjonsvariansen er:
σU2=K0,0-∑JegλJegKJeg,0-∑lμlfl0{\ displaystyle {\ sigma _ {\ mathrm {U}}} ^ {2} = K_ {0,0} - \ sum _ {i} \ lambda _ {i} K_ {i, 0} - \ sum _ { l} \ mu _ {l} f_ {l0}}
Streng iboende underliggende modell universal kriging
Vi antar at Y er streng iboende uten drift (drivingen integreres i m ).
å skrive universal kriging på en streng egen tilfeldig funksjon
- Lineæritet utgjør Z0∗=∑JegλJegZJeg{\ displaystyle \ scriptstyle Z_ {0} ^ {*} = \ sum _ {i} \ lambda _ {i} Z_ {i}}
- Autorisasjon krever ∑JegλJeg=1{\ displaystyle \ scriptstyle \ sum _ {i} \ lambda _ {i} = 1}
- Universitet pålegger ∑JegλJegflJeg-fl0=0,∀l≠0{\ displaystyle \ scriptstyle \ sum _ {i} \ lambda _ {i} f_ {li} -f_ {l0} = 0, \ forall l \ neq 0}
- Optimality introduserer en Lagrange-multiplikator μ 0 for autorisasjonsbegrensningen, og andre μ l , l ≠ 0 for universalitetsbegrensningene.
Kriging-systemet er skrevet:
{-∑jλjγJeg,j+μ0+∑l≠0μlflJeg=-γJeg0,∀Jeg∑jλj=1∑jλjflj=fl0,∀l≠0{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ begin {align} - & \ sum _ {j} \ lambda _ {j} \ gamma _ {i, j} & + \ mu _ {0} + \ sum _ { l \ neq 0} \ mu _ {l} f_ {li} & = - \ gamma _ {i0}, & \ forall i \\ & \ sum _ {j} \ lambda _ {j} && = 1 & \\ & \ sum _ {j} \ lambda _ {j} f_ {lj} && = f_ {l0}, & \ forall l \ neq 0 \ end {aligned}} \ end {cases}}}
Enten matrise:
(-γJeg,j1flJeg100flj00)(λjμ0μl)=(-γJeg,01fl0){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} - \ gamma _ {i, j} & {\ mathit {1}} & f_ {li} \\ {\ mathit {1}} & 0 & {\ mathit {0}} \\ f_ {lj} & {\ mathit {0}} & {\ mathit {0}} \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} \ lambda _ {j} \\\ mu _ {0} \\ \ mu _ {l} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} - \ gamma _ {i, 0} \\ 1 \\ f_ {l0} \ end {pmatrix}}}
Estimasjonsvariansen er:
σU2=∑JegλJegγJeg,0-μ0-∑l≠0μlfl0{\ displaystyle {\ sigma _ {\ mathrm {U}}} ^ {2} = \ sum _ {i} \ lambda _ {i} \ gamma _ {i, 0} - \ mu _ {0} - \ sum _ {l \ neq 0} \ mu _ {l} f_ {l0}}
Resultatet er identisk med det forrige tilfellet, men den fysiske situasjonen er ikke den samme: her kan fenomenet innrømme et variogram uten platå, det vil si uten å gjenopprette kraft.
Drift evaluering
De foregående beregningene har antatt en deterministisk, kjent og regelmessig m- drift .
Modellere stasjonær underliggende spør en lineær estimator drift: . Den X i er oppløsninger av systemet:
M∗(x)=∑JegλJegZJeg{\ displaystyle \ scriptstyle M ^ {*} (x) = \ sum _ {i} \ lambda _ {i} Z_ {i}}
{∑jλjKJeg,j+∑lμlflJeg=0, ∀Jeg∑jλjflj=fl0, ∀l{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ begin {align} & \ sum _ {j} \ lambda _ {j} K_ {i, j} & + \ sum _ {l} \ mu _ {l} f_ { li} & = 0, ~ \ forall i \\ & \ sum _ {j} \ lambda _ {j} f_ {lj} && = f_ {l0}, ^ {~} \ forall l \ end {aligned}} \ avslutte {cases}}}
Og estimeringsavviket er:
σD2=-∑lμlfl0{\ displaystyle {\ sigma _ {\ mathrm {D}}} ^ {2} = - \ sum _ {l} \ mu _ {l} f_ {l0}}
I en streng iboende underliggende modell er begrensningene for autorisasjon og universalitet uforenlige; optimal estimering av drift er ikke mulig.
Demonstrasjon
Lineær kombinasjon må derfor tillates .
∑JegλJegZJeg-m0{\ displaystyle \ scriptstyle \ sum _ {i} \ lambda _ {i} Z_ {i} -m_ {0}}
∑JegλJeg=0{\ displaystyle \ scriptstyle \ sum _ {i} \ lambda _ {i} = 0}![{\ displaystyle \ scriptstyle \ sum _ {i} \ lambda _ {i} = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49adc3135b5ca1348a6bae561dc0dc6910f31b7f)
Universalitet gir , hvorfra etter forenkling og med f 0 i = 1 , som er en betingelse λ i umulig.
E[∑JegλJegZJeg-m0]=E[∑JegλJegYJeg]+∑JegλJeg∑lpålflJeg-∑lpålfl0=0{\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {E} \ left [\ sum _ {i} \ lambda _ {i} Z_ {i} -m_ {0} \ right] = \ mathbf {E} \ left [\ sum _ { i} \ lambda _ {i} Y_ {i} \ right] + \ sum _ {i} \ lambda _ {i} \ sum _ {l} a_ {l} f_ {li} - \ sum _ {l} a_ {l} f_ {l0} = 0}
∑l≠0pål(λJeg-flJeg-fl0)-på0=0,∀pål{\ displaystyle \ scriptstyle \ sum _ {l \ neq 0} a_ {l} \ left (\ lambda _ {i} -f_ {li} -f {l0} \ right) -a_ {0} = 0, \ forall a_ {l}}![{\ displaystyle \ scriptstyle \ sum _ {l \ neq 0} a_ {l} \ left (\ lambda _ {i} -f_ {li} -f {l0} \ right) -a_ {0} = 0, \ forall a_ {l}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af1678448ea23c49508c6350e187e0b5df2d8d87)
Evaluering av drivkoeffisientene
Variogram av rester
Intrinsic Kriging (FAI- k )
Vi antar her at Z er en FAI- k , k er en gitt verdi.
skrive kriging til FAI-
k
- Lineæritet utgjør Z∗=∑JegλJegZJeg{\ displaystyle \ scriptstyle Z ^ {*} = \ sum _ {i} \ lambda _ {i} Z_ {i}}
- Fullmakt til å bestille k forespørsler . Ved å bruke Dirac-målingen δ i (d t ) kan vi skrive:∀l∈[[0;k]],∑JegflJegfl0=0{\ displaystyle \ forall l \ in \ left [\! [0; k \ right] \!], \ scriptstyle \ sum _ {i} f_ {l_ {i}} f_ {l_ {0}} = 0}
Z∗(x)-Z(x)=Z~(∑JegλJegδJeg-δx){\ displaystyle \ scriptstyle Z ^ {*} \ left (x \ right) -Z \ left (x \ right) = {\ tilde {Z}} \ left (\ sum _ {i} \ lambda _ {i} \ delta _ {i} - \ delta _ {x} \ høyre)}
- Universitet er garantert siden alle autoriserte lineære kombinasjoner har ingen forventninger.
- Den optimale anvendelse for å minimalisere betinget: . La være optimalitetsforholdene .σ2=Vpår[∑JegλJegZJeg-Z0]=∑Jeg,jλJegKJegjλj-2∑JegλJegKJeg0+K00{\ displaystyle \ scriptstyle \ sigma ^ {2} = \ mathrm {Var} \ left [\ sum _ {i} \ lambda _ {i} Z_ {i} -Z_ {0} \ right] = \ sum _ {i , j} \ lambda _ {i} K_ {ij} \ lambda _ {j} -2 \ sum _ {i} \ lambda _ {i} K_ {i0} + K_ {00}}
∀Jeg,∑jλjKJegj+∑lμlflJeg=KJeg0{\ displaystyle \ scriptstyle \ forall i, \ sum _ {j} \ lambda _ {j} K_ {ij} + \ sum _ {l} \ mu _ {l} f_ {l_ {i}} = K_ {i0} }![{\ displaystyle \ scriptstyle \ forall i, \ sum _ {j} \ lambda _ {j} K_ {ij} + \ sum _ {l} \ mu _ {l} f_ {l_ {i}} = K_ {i0} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ec0468aae53a6642c371afa1ee212e64d7d6e44)
Det indre krigingsystemet er skrevet:
{∑jλjKJeg,j+∑lμlflJeg=KJeg,0∀Jeg∑jλjflj=fl0∀l{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ begin {align} \ sum _ {j} \ lambda _ {j} K_ {i, j} + \ sum _ {l} \ mu _ {l} f_ {l_ { i}} & = K_ {i, 0} & \ forall i \\\ sum _ {j} \ lambda _ {j} f_ {l_ {j}} & = f_ {l_ {0}} & \ forall l \ slutt {justert}} \ slutt {saker}}}
Estimasjonsvariansen i egen kriging er:
σJeg2=K0,0-∑JegλJegK0,Jeg-∑lμlfl0{\ displaystyle {\ sigma _ {\ mathrm {I}}} ^ {2} = K_ {0,0} - \ sum _ {i} \ lambda _ {i} K_ {0, i} - \ sum _ { l} \ mu _ {l} f_ {l_ {0}}}
Vi har følgende egenskaper:
- superposisjon av krigingstallene: la en lineær operator Φ , deretter Φ * (Z) = Φ ( Z * ) . Vi kan skrive medΦ∗(Z)=∑jλΦjZj{\ displaystyle \ scriptstyle \ Phi ^ {*} \ left (Z \ right) = \ sum _ {j} \ lambda _ {\ Phi j} Z_ {j}}
λΦj=∫λj(x)Φ(dx){\ displaystyle \ scriptstyle \ lambda _ {\ Phi j} = \ int \ lambda _ {j} \ left (x \ right) \ Phi \ left (\ operatorname {d} x \ right)}
- ortogonalitet: la ν være en autorisert lineær kombinasjon ( ), eller Φ en lineær form, da∑JegνJegflJeg=0{\ displaystyle \ scriptstyle \ sum _ {i} \ nu _ {i} f_ {l_ {i}} = 0}
VSov[Φ(Z)-Φ∗(Z)∑JegνJegZJeg]=0{\ displaystyle \ scriptstyle \ mathrm {Cov} \ left [\ Phi (Z) - \ Phi ^ {*} (Z) \ sum _ {i} \ nu _ {i} Z_ {i} \ right] = 0}
- utjevning: variansen til Z * er ikke definert. La Φ være en lineær form slik at estimatens varians er mindre enn den for den lineære formen ( ); dessuten er den ikke stasjonær (ikke uforanderlig for en oversettelse av Φ ).∫fl(t)Φ(dt)=0{\ displaystyle \ scriptstyle \ int f_ {l} (t) \ Phi (\ operatorname {d} t) = 0}
Vpår[Φ∗(Z)]≤Vpår[Φ(Z)]{\ displaystyle \ scriptstyle \ mathrm {Var} [\ Phi ^ {*} (Z)] \ leq \ mathrm {Var} [\ Phi (Z)]}![{\ displaystyle \ scriptstyle \ mathrm {Var} [\ Phi ^ {*} (Z)] \ leq \ mathrm {Var} [\ Phi (Z)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06a10abaf23bed49abdd02f63a420ae2739c8aba)
Regelmessighet av kriging
Regelmessighetsbetingelser for kriging-systemet - Kriging-systemet (i egen kriging) er vanlig iff
- undermatrisen K er strengt betinget positiv: og
∀λ∈Λk,∑Jeg,jλJegKJeg,jλj≥0{\ displaystyle \ scriptstyle \ forall {\ lambda \ in \ Lambda _ {k}}, \ sum _ {i, j} \ lambda _ {i} K_ {i, j} \ lambda _ {j} \ geq 0}
∑Jeg,jλJegKJeg,jλj=0 ⇒ λ=0{\ displaystyle \ scriptstyle \ sum _ {i, j} \ lambda _ {i} K_ {i, j} \ lambda _ {j} = 0 \ \ Rightarrow \ \ lambda = 0}
- de grunnleggende funksjonene er lineært uavhengige av dataene
∀Jeg,∑l(vs.lflJeg)=0 ⇒ ∑lvs.l=0{\ displaystyle \ scriptstyle \ forall {i}, \ sum _ {l} \ left (c_ {l} f_ {l_ {i}} \ right) = 0 \ \ Rightarrow \ \ sum _ {l} c_ {l} = 0}
Dualitet av Kriging
Anta at det indre kriging-systemet er vanlig. Det doble systemet er definert av:
{∑JegbJegKj,Jeg+∑lvs.lflj=zj ∀j∑JegbJegflJeg=0 ∀l{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ begin {align} & \ sum _ {i} b_ {i} K_ {j, i} + \ sum _ {l} c_ {l} f_ {l_ {j}} & = z_ {j} ~ \ forall j \\ & \ sum _ {i} b_ {i} f_ {l_ {i}} & = 0 ~ \ forall l \ end {aligned}} \ end {cases}}}
Dens oppløsning i henhold til b i og c l gir en ikke-sannsynlig tilnærming til kriging, gjennom følgende likhet, der koeffisientene er uavhengige av stedet for evaluering x 0 :
z0∗=∑JegbJegKJeg,0+vs.lfl0{\ displaystyle z_ {0} ^ {*} = \ sum _ {i} b_ {i} K_ {i, 0} + c_ {l} f_ {l_ {0}}}
Kriging kan derfor karakteriseres som interpolatoren z * :
- lineær: ∃ bJeg,vs.l, ∀x, z∗(x)=bJegKJeg,x+vs.lflx{\ displaystyle \ scriptstyle \ eksisterer \ b_ {i}, c_ {l}, \ \ forall x, \ z ^ {*} \ left (x \ right) = b_ {i} K_ {i, x} + c_ { l} f_ {l_ {x}}}
- nøyaktig: z∗(xj)=zj{\ displaystyle \ scriptstyle z ^ {*} \ left (x_ {j} \ right) = z_ {j}}
- definerte-kompatibel med fonner: hvis data z jeg er lik f s i , deretterz∗(x)=fs(x){\ displaystyle \ scriptstyle z ^ {*} \ left (x \ right) = f_ {s} \ left (x \ right)}
En setning opprettet av Georges Matheron viser ekvivalensen mellom spline og kriging, selv om konvertering ikke er lett i praksis.
Kriging eiendommer
- Det er en nøyaktig interpolator: hvis estimeringspunktet er et datapunkt, returnerer kriging dataene på dette punktet; derimot, hvis variogrammet inkluderer en klumpeffekt, er ikke kontinuitet garantert i nærheten av datapunktene, og estimatet gir inntrykk av å ikke gå gjennom dataene.
- Det er en lineær operasjon: kriging av en lineær kombinasjon er den lineære kombinasjonen av krigeages, forutsatt at det samme datasettet blir brukt (kriging figur superposisjonssetning).
- Kriging på to usammenhengende domener er summen av krigeages på disse domenene.
- Anslått gjennomsnitt for et domene er gjennomsnittet av punktlige krigeages på dette domenet.
- Krigingen av en konvolutt er konvolusjonen av punktkrigeages .[∫s(dx)Z(X)]∗=∫s(dx)Z∗(x){\ displaystyle \ scriptstyle \ left [\ int p (\ mathrm {d} x) Z (X) \ right] ^ {*} = \ int p (\ mathrm {d} x) Z ^ {*} (x) }
![{\ displaystyle \ scriptstyle \ left [\ int p (\ mathrm {d} x) Z (X) \ right] ^ {*} = \ int p (\ mathrm {d} x) Z ^ {*} (x) }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51a27f8a39b1586a746c2c22eb991e9a0905134d)
- kriging av et derivat er derivat av kriging.
- skjermeffekt: de nærmeste punktene får størst vekt (tilfelle av økende variogram).
- utjevning: estimatene er mindre variable enn dataene.
Demonstrasjon
Bevis for en enkel kriging:
∑jλjKJeg,j-KJeg,0=0∀Jeg{\ displaystyle \ sum _ {j} \ lambda _ {j} K_ {i, j} -K_ {i, 0} = 0 \ forall i}
, hvor den kommer fra
VSov[∑jλjZj-Z0,ZJeg]=0{\ displaystyle \ mathbf {Cov} \ left [\ sum _ {j} \ lambda _ {j} Z_ {j} -Z_ {0}, Z_ {i} \ right] = 0}
, er den enkle krigingsfeilen ortogonal for hver av dataene
VSov[Z(x)-Z∗(x),Z(x)]=0{\ displaystyle \ mathbf {Cov} \ left [Z (x) -Z ^ {*} (x), Z (x) \ right] = 0}
, fordi krigingsestimatoren er en lineær kombinasjon av dataene
VSov[Z(x),Z∗(x)]=Vpår[Z∗(x)]{\ displaystyle \ mathbf {Cov} \ left [Z (x), Z ^ {*} (x) \ right] = \ mathbf {Var} \ left [Z ^ {*} (x) \ right]}
σS2(x)=Vpår[Z(x)-Z∗(x)]=K(0)-Vpår[Z∗(x)]{\ displaystyle {\ sigma _ {\ mathrm {S}}} ^ {2} (x) = \ mathbf {Var} \ left [Z (x) -Z ^ {*} (x) \ right] = K ( 0) - \ mathbf {Var} \ venstre [Z ^ {*} (x) \ høyre]}
Vpår[Z∗(x)]≤K(0){\ displaystyle \ mathbf {Var} \ venstre [Z ^ {*} (x) \ høyre] \ leq K (0)}
Variansen til den estimerte verdien er mindre enn den a priori variansen, og strengt utenfor datapunktene. Forøvrig er den enkle krigingsestimatoren ikke stasjonær i rekkefølge 2, siden dens avvik avhenger av x .
- transitivity: vi kan legge til, som data, et poengestimat av kriging uten å endre resultatet for de andre estimeringspunktene. På den annen side reduseres avvikene til kriging.
- nesten uten betinget skjevhet: Hvis vi bruker en cutoff til estimatene, er resultatet nær de forventede verdiene
- Lineær uavhengighet av de grunnleggende funksjonene på data: en nødvendig betingelse for regulariteten av den universelle Kriging-systemet er at det f li ikke tillater en ikke-triviell null lineær kombinasjon ( ).(∀Jeg,∑lvs.lflJeg=0)⇒(∀l,vs.l=0){\ displaystyle \ scriptstyle \ left (\ forall i, \ sum _ {l} c_ {l} f_ {li} = 0 \ right) \ Rightarrow \ left (\ forall l, c_ {l} = 0 \ right)}
![{\ displaystyle \ scriptstyle \ left (\ forall i, \ sum _ {l} c_ {l} f_ {li} = 0 \ right) \ Rightarrow \ left (\ forall l, c_ {l} = 0 \ right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f02270a40efc657203ae01c575d8ae7c43681480)
- Vektene er invariante ved multiplikasjon av den strukturelle funksjon: hvis vi multiplisere kovariansen eller variogram ved ω , den λ i forblir konstant (men den μ l i universell Kriging er delt av ω ). Krigingvariansen multipliseres med ω .
- Ortogonalitet: husk at to tilfeldige variabler sies å være ortogonale hvis deres samvarians er null
- Poenget enkel kriging feil er ortogonal med en hvilken som helst lineær kombinasjon av dataene.
- Poenget med vanlig krigingsfeil er ortogonal med en hvilken som helst lineær kombinasjon av data med null totalvekt.
- Poenget universell krigingsfeil er ortogonal med en hvilken som helst lineær kombinasjon av data som filtrerer familien av grunnleggende funksjoner, det vil si slik at .∑JegϕJegflJeg{\ displaystyle \ scriptstyle \ sum _ {i} \ phi _ {i} f_ {li}}
∀l,∑JegϕJegflJeg=0{\ displaystyle \ scriptstyle \ forall l, \ sum _ {i} \ phi _ {i} f_ {li} = 0}![{\ displaystyle \ scriptstyle \ forall l, \ sum _ {i} \ phi _ {i} f_ {li} = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41f398322416acb9d992213edfef76cc627b3e06)
Demonstrasjon
For universal kriging:
∑jλjKJeg,j+∑lμlflJeg=KJeg,0,∀Jeg{\ displaystyle \ sum _ {j} \ lambda _ {j} K_ {i, j} + \ sum _ {l} \ mu _ {l} f_ {li} = K_ {i, 0}, \ forall i}
i følge kriging-systemet
∑JegϕJeg(∑jλjKJeg,j-KJeg0)=∑Jeg∑l-μlϕJegflJeg{\ displaystyle \ sum _ {i} \ phi _ {i} \ left (\ sum _ {j} \ lambda _ {j} K_ {i, j} -K_ {i0} \ right) = \ sum _ {i } \ sum _ {l} - \ mu _ {l} \ phi _ {i} f_ {li}}
etter omorganisering og kombinasjon
Eller:
Så:∑jλjKJeg,j-KJeg0=VSov[∑jλjZj-Z0,ZJeg]{\ displaystyle \ sum _ {j} \ lambda _ {j} K_ {i, j} -K_ {i0} = \ mathbf {Cov} \ left [\ sum _ {j} \ lambda _ {j} Z_ {j } -Z_ {0}, Z_ {i} \ right]}![{\ displaystyle \ sum _ {j} \ lambda _ {j} K_ {i, j} -K_ {i0} = \ mathbf {Cov} \ left [\ sum _ {j} \ lambda _ {j} Z_ {j } -Z_ {0}, Z_ {i} \ right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2af92b89f4b9ac1546dcb760539ea5ff32dfa8aa)
VSov[∑jλjZj-Z0,∑JegϕJegZJeg]=∑l-μlϕJegflJeg{\ displaystyle \ mathbf {Cov} \ left [\ sum _ {j} \ lambda _ {j} Z_ {j} -Z_ {0}, \ sum _ {i} \ phi _ {i} Z_ {i} \ høyre] = \ sum _ {l} - \ mu _ {l} \ phi _ {i} f_ {li}}
Andre bruksområder for kriging
Komponentfiltrering
Anta at en tilfeldig variabel Z = m + ∑ i Y i med m dens gjennomsnitt og Y i to uavhengige indre tilfeldige variabler med null gjennomsnitt og respektive variogrammer γ i . Vi kan sette en estimater for en komponent Y- k i form: hvor λ jeg er oppløsninger av:
Yk∗=∑JegλJegZJeg{\ displaystyle {Y_ {k}} ^ {*} = \ sum _ {i} \ lambda _ {i} Z_ {i}}![{\ displaystyle {Y_ {k}} ^ {*} = \ sum _ {i} \ lambda _ {i} Z_ {i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d98b675e93dc1c42e07a3eadccc214f8850b368f)
{-∑jλjγJeg,j+μ=-γk;Jeg,0 ∀Jeg∑jλj=0{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ begin {align} - & \ sum _ {j} \ lambda _ {j} \ gamma _ {i, j} & + \ mu & = - & \ gamma _ {k ; i, 0} & ~ \ forall i \\ & \ sum _ {j} \ lambda _ {j} && = & 0 \ end {align}} \ end {cases}}}
Faktorisk kriging
La være et sett med variabler Z n , n ∈⟦1; N ⟧ blir -resultater antatt strukturer av lineære kombinasjoner y- p , p ∈⟦1; P ⟧ . La oss studere en nummerert struktur på s . La oss angi et sett av variabler Y p , n , ortogonal (null middelverdi og varians-enhet), uavhengig to og to, og med den samme variogram. La oss stille:
Zikke=mikke+∑s=1P∑k=1IKKEpås,ikke,kYs,k{\ displaystyle Z_ {n} = m_ {n} + \ sum _ {p = 1} ^ {P} \ sum _ {k = 1} ^ {N} a_ {p, n, k} Y_ {p, k }}
Denne nedbrytningen er imidlertid ikke unik; den fysiske betydningen av Y p , k er ikke garantert.
Vi har raskt kryssede variogrammer:
γZJeg,Zj=∑s=1Pbs,Jeg,jγs{\ displaystyle \ gamma _ {Z_ {i}, Z_ {j}} = \ sum _ {p = 1} ^ {P} b_ {p, i, j} \ gamma _ {p}}
eller bs,Jeg,j=∑k=1IKKEpås,Jeg,kpås,j,k{\ displaystyle b_ {p, i, j} = \ sum _ {k = 1} ^ {N} a_ {p, i, k} a_ {p, j, k}}
Vi får matriser ( b p , i , j ) i , j symmetrisk og positiv definitiv. Ved å nummerere i henhold til p , ordnes Y p , n på en avtagende måte i henhold til egenverdien (den delen av variansen til skalaen) .
Faktorisk kriging består i å ta hensyn til de mest forklarende strukturene (hvis egenverdi er betydelig), nemlig de første p- komponentene ( p ≤ p ):
Zikke∗≃mJeg∗+∑s=1s¯∑k=1IKKEpås,j,kYs,k∗{\ displaystyle {Z_ {n}} ^ {*} \ simeq {m_ {i}} ^ {*} + \ sum _ {p = 1} ^ {\ bar {p}} \ sum _ {k = 1} ^ {N} a_ {p, j, k} Y_ {p, k} ^ {*}}
Blokkér Kriging
Denne kriging er ikke punktlig: den tar sikte på å estimere variabelen Z på et volum eller støtte v . Når det gjelder en FAI- k , tilsvarer dette å erstatte:
KJeg,v=1|v|∫vKJeg,xdx{\ displaystyle K_ {i, v} = {\ frac {1} {\ left | v \ right |}} \ int _ {v} K_ {i, x} \ mathrm {d} x}
- de grunnleggende funksjonene f l 0 av
fl,v=1|v|∫vfl,xdx{\ displaystyle f_ {l, v} = {\ frac {1} {\ left | v \ right |}} \ int _ {v} f_ {l, x} \ mathrm {d} x}
Kv,v=1|v|2∫v∫vKx,ydxdy{\ displaystyle K_ {v, v} = {\ frac {1} {\ left | v \ right | ^ {2}}} \ int _ {v} \ int _ {v} K_ {x, y} \ mathrm {d} x \ mathrm {d} y}
Block kriging-systemet er skrevet:
{∑jλjKJeg,j+∑lμlflJeg=KJeg,v∀Jeg∑JegλJegflJeg=fl,v∀l{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ begin {align} & \ sum _ {j} \ lambda _ {j} K_ {i, j} + \ sum _ {l} \ mu _ {l} f_ {l_ {i}} & = K_ {i, v} & \ forall i \\ & \ sum _ {i} \ lambda _ {i} f_ {l_ {i}} & = f_ {l, v} & \ forall l \ end {align}} \ end {cases}}}
Avviket til estimatet i blokk kriging erσB2=Kv,v-∑JegλJegKJeg,v-∑lμlfl,v{\ displaystyle {\ sigma _ {\ mathrm {B}}} ^ {2} = K_ {v, v} - \ sum _ {i} \ lambda _ {i} K_ {i, v} - \ sum _ { l} \ mu _ {l} f_ {l, v}}
Integrerte beregninger krever diskretiseringsalgoritmer. En variant er polygon eller polyform kriging.
Gradientestimering
Målet er å estimere ∂ Z ⁄ ∂ u i retning u (enhetsvektor). Vi vil sette definisjonen:
∂Z∂u=lJegmr→0+Z(x+ru)-Z(x-ru)2r{\ displaystyle {\ frac {\ partial Z} {\ partial u}} = lim_ {r \ to 0 ^ {+}} {\ frac {Z \ left (x + ru \ right) -Z \ left (x- ru \ right)} {2r}}}
Hvis kovariansen K ( h ) er stasjonær og isotrop, er Z differensierbar iff K er to ganger differensierbar ved 0; deretter kovariansen til Z ' er - K " , som er definert i et hvilket som helst punkt. Deretter ( ∂ Z ⁄ ∂ u ) * = ∂ Z * ⁄ ∂ u . I vanlige tilfeller er ikke vilkåret nødvendigvis oppfylt, og ∂ Z ⁄ ∂ u er ikke definert; vi utvider deretter det tidligere forholdet.
Hvis Z har en klumpeffekt, er det avledet fra den kontinuerlige delen av fenomenet som er estimert.
Gradient kriging-systemet er skrevet:
{∑jλjKJeg,j+∑lμlflJeg=∂KJeg,0∂u∀Jeg∑JegλJegflj=∂fl0∂u∀l{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ begin {align} & \ sum _ {j} \ lambda _ {j} K_ {i, j} + \ sum _ {l} \ mu _ {l} f_ {l_ {i}} & = {\ frac {\ partial K_ {i, 0}} {\ partial u}} & \ forall i \\ & \ sum _ {i} \ lambda _ {i} f_ {l_ {j} } & = {\ frac {\ partial f_ {l_ {0}}} {\ partial u}} & \ forall l \ end {align}} \ end {cases}}}
Estimasjonsavviket i graderingskriging er
Kriging med ulikheter
I teorien tillater ikke kriging å håndtere ulikhetsbegrensninger. Likevel er algoritmer basert på Gibbs-prøvetaking utviklet for å gi en omtrentlig løsning når det gjelder en Gauss-variabel .
Cokriging
I begge tilfeller multivariable en stasjonær tilfeldig funksjon av orden to av null middelverdi, på
ℝ n ✕ D . Saken reduseres lett til den enkle saken; fra dette følger de generelle egenskapene, som nøyaktig interpolasjon, superposisjonen til kriging-figurene ...
Resultatet av multivariabel kokokrigging gir en symmetrisk rolle til de forskjellige komponentene, både på hierarkiet og på samplingen. Sammenlignet med det monovariable tilfellet krever multivariabel cokriging mer dyktighet, data og kontroller før og etter vurderingen.
Separate variabler
Dersom komponentene i Z er uavhengige, blir ko-Kriging-matrise diagonale komponenter K i , i , i ∈⟦1, d ⟧ . Denne separasjonen av variablene fører til enkle krigeages på hver av komponentene.
Universal cokriging
Generelt sett setter vi den multivariable FASt-2 Z som summen av en multivariabel FASt-2 med null forventning Y og en deterministisk drift m spaltet i henhold til et grunnlag av funksjonene f l :
Z(x,Jeg)=Y(x,Jeg)+∑lpålfl(x,Jeg){\ displaystyle Z \ left (x, i \ right) = Y \ left (x, i \ right) + \ sum _ {l} a_ {l} f_ {l} \ left (x, i \ right)}
De grunnleggende funksjonene kan velges for å gjenspeile koblinger mellom finnene. For eksempel, i tilfelle ℝ✕ {1,2} , bivariabelt over et endimensjonalt rom, kan vi anta:
- Drivene m ( x , 1) og m ( x , 2) er algebraisk uavhengige av respektive grader k 1 og k 2 . Vi setter grunnleggende funksjoner for k 1 + k 2 +2 , skrevet som par med ensvarige funksjoner: {1, 0}, { x , 0},…, { x k 1 , 0}, {0, 1}, { 0, x },…, {0, x k 2 } .
- Driftene er like og av grad k . Familien vil bli spurt k + 1 grunnleggende funksjoner { x i , x i }, i ∈⟦0, k ⟧ .
- Derivatet m ( x , 2) er derivatet av m ( x , 1) , dette er av grad k . Vi ber familien av k en grunnleggende funksjoner {1, 0}, { x i , i x x i -1 }, i ∈⟦1, k ⟧ .
Systemets regelmessighet
Regelmessighetsforholdene til systemet er de samme som for monovariabel kriging:
- kovariansmatrisen er strengt betinget positiv av dataene, og
- de grunnleggende funksjonene er lineært uavhengige av dataene.
Konditionalitet er imidlertid ikke en autorisasjonsbetingelse som i det enevariable tilfellet, men en filtreringsbetingelse, og betyr at ethvert mål ν som tilfredsstiller begrensningene , har vi:
∀l∈{1,⋯,k},∑j∫Sjνj(dy)fl(y,j)=0{\ displaystyle \ scriptstyle \ forall l \ in \ left \ {1, \ cdots, k \ right \}, \ sum _ {j} \ int _ {S_ {j}} \ nu _ {j} \ left (\ mathrm {d} y \ right) f_ {l} \ left (y, j \ right) = 0}![{\ displaystyle \ scriptstyle \ forall l \ in \ left \ {1, \ cdots, k \ right \}, \ sum _ {j} \ int _ {S_ {j}} \ nu _ {j} \ left (\ mathrm {d} y \ right) f_ {l} \ left (y, j \ right) = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b2ab0545e48216c342b5d62cf9709652dd8ddd2)
∑Jeg,j∫SJeg∫SjνJeg(dx)KJeg,j(x,y)νj(dy)=0⇒ν=0{\ displaystyle \ sum _ {i, j} \ int _ {S_ {i}} \ int _ {S_ {j}} \ nu _ {i} \ left (\ mathrm {d} x \ right) K_ {i , j} \ left (x, y \ right) \ nu _ {j} \ left (\ mathrm {d} y \ right) = 0 \ Rightarrow \ nu = 0}
Optimal medestimering av drivkoeffisientene
Koeffisientene a l av drift kan estimeres av :,
hvor er løsningen på et krigingsystem.
PÅl∗=∑j∈D∫Sjλj(dy)Z(y,j){\ displaystyle A_ {l} ^ {*} = \ sum _ {j \ in D} \ int _ {S_ {j}} \ lambda _ {j} \ left (\ mathrm {d} y \ right) Z \ venstre (y, j \ høyre)}
λl(dy){\ displaystyle \ lambda _ {l} \ left (\ mathrm {d} y \ right)}![{\ displaystyle \ lambda _ {l} \ left (\ mathrm {d} y \ right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f2edf29ca2e31cd425c0b0d535af8e33932838c)
Dobbel form
Vi vedtar en notasjon ved tiltak:
z∗(x0,Jeg0)=∑j∈D∫Sjψj(dy)Kj,Jeg0(y,x0)+∑spå∗sfs(x0,Jeg0), ∀(x0,Jeg0)∈S{\ displaystyle z ^ {*} \ left (x_ {0}, i_ {0} \ right) = \ sum _ {j \ in D} \ int _ {S_ {j}} \ psi _ {j} \ left (\ mathrm {d} y \ right) K_ {j, i_ {0}} \ left (y, x_ {0} \ right) + \ sum _ {s} {a ^ {*}} _ {s} f_ {s} \ left (x_ {0}, i_ {0} \ right), ~ \ forall \ left (x_ {0}, i_ {0} \ right) \ in S}
Tiltakene ψ j og koeffisientene a * l er løsninger for det dobbelte systemet:
∀(x,Jeg)∈S,l∈[[1;k]]{∑j∈D∫Sjψj(dy)KJeg,j(x,y)+∑spå∗sfs(x,Jeg)=z(x,Jeg)∑j∈D∫Sjψj(dy)fl(y,j)=0{\ displaystyle {\ begin {align} & \ forall \ left (x, i \ right) \ i S, l \ i [\! [1; k] \!] \\ & {\ begin {cases} \ sum _ {j \ in D} \ int _ {S_ {j}} \ psi _ {j} \ left (\ mathrm {d} y \ right) K_ {i, j} \ left (x, y \ right) + \ sum _ {s} {a ^ {*}} _ {s} f_ {s} \ left (x, i \ right) & = z \ left (x, i \ right) \\\ sum _ {j \ i D} \ int _ {S_ {j}} \ psi _ {j} \ left (\ mathrm {d} y \ right) f_ {l} \ left (y, j \ right) & = 0 \ end {cases }} \ end {align}}}
Krigant analyse
Kriging med drift
Kriging med drift starter fra en situasjon der det antas at kunnskapen om den studerte regionaliserte variabelen z , som vil bli antatt her FASt-2, kan forbedres med den for en annen mye bedre utvalgte regionaliserte variabel (for eksempel nedbør og lettelse); denne andre variabelen kalles en funksjon av formen s ; det må være kjent (eller estimert) ved datapunktene til z og estimeringspunktene. Vi vil sette mellom forventningen til Z og s , for eksempel polynom (og ofte affinert, med k = 1 ):
E[Z(x)]=∑l=0kpålsl(x){\ displaystyle \ mathbf {E} \ left [Z \ left (x \ right) \ right] = \ sum _ {l = 0} ^ {k} a_ {l} s ^ {l} \ left (x \ right )}
Kriging gjøres på en lignende måte som universal kriging.
Merknader og referanser
-
Bogaert s. 2007 . Statistisk analyse av romlige og tidsmessige data . Kursnotater. Det katolske universitetet i Louvain.
-
Krigeage, Gratton Y., Artiklene AGI
-
Matheron G. 1962. Treatise on anvendt geostatistikk , volum I. In E. Technip (red.), Memoarene Bureau of geologiske og gruvedrift forskning , n o 14. Paris.
Se også
G. Leborgne, “ Introduction to kriging ” , på ISIMA ,2018
Bibliografi
-
Pierre Chauvet , sjekkliste for lineær geostatistikk , Paris, Les Presses de l'École des Mines,August 1999( Repr. 1993, 1994, 1998, 1999, 2008) ( 1 st ed. 1989), 367 s. , 16 x 24 cm ( ISBN 2-911762-16-9 , varsel BNF n o FRBNF37051458 )
- Cressie N. 1993. Statistikk for romlige data. Wiley-serien i sannsynlighet og matematisk statistikk: anvendt sannsynlighet og statistikk . John Wiley & Sons Inc., New York. Revidert opptrykk av 1991-utgaven, A Wiley-Interscience Publication.
- Baillargeon S. 2005. Kriging: gjennomgang av teorien og anvendelse på den romlige interpolasjonen av nedbørsdata . Avhandlingens slutt. Laval University, Quebec.