Arénaire
L'Arénaire ( gammelgresk : Αρχιμήδης Ψαµµίτης, Archimedes Psammites ) er et verk av Archimedes der han prøver å bestemme en øvre grense for antall sandkorn som kan fylle universet . For å gjøre dette blir han ledet til å finne på en måte å beskrive ekstremt store antall på , og å få et estimat av størrelsen på universet.
Også kjent under sitt latinske tittelen av Archimedis Syracusani arenarius & Dimensio Circuli (de arena betydning sand), og på engelsk under mer å fortelle tittelen The Sand Reckoner (sand telleren), er denne teksten adressert til kongen i Syracuse Gelon , c . 230 f.Kr. AD; det er sannsynligvis Archimedes mest tilgjengelige verk . Omtrent ti sider lang kan det i en viss forstand sees på som den første vitenskapelige publikasjonen som er både akademisk og populær .
Navngi store tall
Archimedes begynner med å finne på et system for å betegne et stort antall . Den Nummereringssystemet som er i bruk på det tidspunkt tillates tall som skal uttrykkes opp til en myriade ( μυριάς - titusen); ved å bruke ordet "myriade" i seg selv, kan dette systemet umiddelbart utvides til å gi navn opp til et mylder av myriader, det vil si hundre millioner (10 8 ). Archimedes kalt tallene opp til 10 8 de "primtall" (eller i den første octad), og kalles 10 8 seg selv "enhet av andre tall". Multiplene til denne enheten kalles andre tall, og disse strekker seg til produktet av denne enheten av seg selv (så et mylder av utallige ganger), dvs. opp til 10 8 × 10 8 = 10 16 . Dette tallet kalles "enheten for tredje tall", hvis multipler vil være det tredje (eller tredje oktaden) tall, og så videre. Archimedes navngir tallene på denne måten til den når enheten til den 8. åttende oktaden, det vil si .
Selv om disse tallene er tilstrekkelig for den tellingen han foreslo, fortsetter Archimedes beskrivelsen av systemet sitt slik: settet med tall som han nettopp har definert, kalles "tall for den første perioden", og det større tjener som en enhet for "andre periode", som er konstruert på samme måte som den første. Archimedes fortsetter beskrivelsen sin til den når 8. åtte periode, og dermed ender det med å gi et navn til det gigantiske tallet
som skrives i desimalsystem som en 1 etterfulgt av åtti biljard (80 × 10 15 ) med nuller.
Archimedes 'system er egentlig et system med posisjonsnotering i base 108 , desto mer bemerkelsesverdig ettersom grekerne brukte et mye enklere system , basert på deres alfabet, og ikke tillot å overskride et utall.
Archimedes oppdaget og viste også ved denne anledningen tillegg av utstillingsloven som var nødvendig for å manipulere kreftene til 10.
Anslå universets størrelse
For å få et estimat av antall sandkorn som trengs for å fylle universet, må Archimedes først estimere størrelsen på universet, som det var kjent den gangen. Han bruker til dette den heliosentriske modellen til Aristarchus of Samos (dette arbeidet til Aristarchus er tapt, arbeidet til Archimedes er en av få referanser til hans teori som gjenstår). Immensiteten til denne modellen kommer av det faktum at grekerne ikke var i stand til å observere stjerneparallakser , noe som antydet at de måtte være ekstremt små, og derfor at stjernene måtte være plassert i svært store avstander fra jorden (forutsatt at heliosentrisme var ekte).
Aristarchus ga faktisk ikke et estimat på stjernenes avstand. Archimedes måtte derfor lage en hypotese om dette emnet: han valgte å innrømme at universet er sfærisk, og at forholdet mellom dets diameter og jordens bane rundt solen er det samme som den for sistnevnte diameter. Jord.
For å oppnå en påslag, tok Archimedes ganske store overvurderinger av dataene sine, og innrømmet:
- at jordens omkrets ikke kunne overstige 300 utall trinn (omtrent 5 × 10 5 km , eller mer enn 10 ganger riktig verdi);
- at Månen ikke var større enn Jorden, og at Solen ikke var større enn 30 ganger Månen;
- at solens vinkeldiameter sett fra jorden var større enn 1/200 i rett vinkel (som er litt mindre enn den nøyaktige verdien på en halv grad).
Han beregner deretter (ved hjelp av andre økninger ved å gjøre det) at diameteren på universet ikke kan overstige 10 14 trinn (ca. 2 lysår ), og at 10 63 sandkorn ville være nok til å fylle det.
Underveis måtte Archimedes delta i interessante eksperimenter. For å estimere solens vinkeldiameter tok han hensyn til den endelige størrelsen på øyets pupil, som utvilsomt er det første eksemplet på et eksperiment innen psykofysikk , hvor psykologgrenen er interessert i mekanismene for persepsjon, som generelt tilskrives Hermann von Helmholtz .
Merknader og referanser
(fr) Denne artikkelen er delvis eller helt hentet fra den engelske Wikipedia- artikkelen med tittelen " The Sand Reckoner " ( se listen over forfattere ) .- (in) Archimedes, The Sand Reckoner, av Ilan Vardi [ps] .
- Faktisk Arénaire nevner at denne metoden har allerede blitt forklart i en avhandling adressert til Zeuxippe; vi tror det handler om prinsippene , en traktat som ikke har nådd oss.
- (i) Ilan Vardi, Archimedes, the Sand Reckoner , s. 24-28
- Ilan Vardi påpeker imidlertid at det bare er av grunner knyttet til grammatikken til gammelgresk at Archimedes ikke utvikler sitt system før for eksempel.
- Dette er det største antallet som ble vurdert før moderne tid, og det er mye høyere enn de fleste vanlige behov; se artiklenes navn på stort antall og størrelsesordener (tall) for flere detaljer, og eksempler på notasjonssystemer som er egnet for enda større tall.
- (in) John J. O'Connor og Edmund F. Robertson , "Aristarchus of Samos" i MacTutor History of Mathematics archive , University of St. Andrews ( les online ).
- Selv om han overvurderer dataene som var kjent på den tiden, er det derimot en undervurdering av virkeligheten: Faktisk har solen en diameter som er 100 ganger større enn jordens diameter.
- (in) William Smith , Dictionary of Greek and Roman Biography and Mythology (1880), s. 272
(no) Gillian Bradshaw, The Sand-Reckoner , Forge (2000), 348pp, ( ISBN 0-312-87581-9 ) .