Lagrangian

I fysikk er Lagrangian av et dynamisk system en funksjon av dynamiske variabler som gjør at bevegelsesligningene til systemet kan skrives kortfattet . Navnet kommer fra Joseph-Louis Lagrange , som etablerte prinsippene for prosessen (fra 1788 ).

Ligninger av bevegelse

Tenk på et dynamisk system identifisert av posisjonsparametere $q i$ (også kalt generaliserte koordinater ). Over tid varierer disse parametrene, deres endringsrate er . Settet med systemparametere består av $q$ $i$ , des og tid t . I et stort antall situasjoner er det mulig å definere en funksjon slik at hvis vi setter: ${\ displaystyle {\ dot {q}} _ {i} = {\ frac {\ mathrm {d} q_ {i}} {\ mathrm {d} t}}}$ $\ varphi _ {i}$ ${\ displaystyle {\ dot {q}} _ {i}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} [\ varphi _ {i}]}$

sJeg=∂L∂q˙Jeg{\ displaystyle p_ {i} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}}} ${\ displaystyle p_ {i} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}}}$

(delvis derivatet beregnes som om parametrene var uavhengige mellom dem), da blir bevegelsesligningene gitt av:

dsJegdt=∂L∂qJeg.{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} p_ {i}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial q_ {i}}} .} ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} p_ {i}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial q_ {i}}} .}$

Formelt bemerker vi at disse ligningene oppnås ved å anvende prinsippet om minste handling (eller prinsippet om ekstrem handling), som er skrevet:

δSδφJeg=0{\ displaystyle {\ frac {\ delta {\ mathcal {S}}} {\ delta \ varphi _ {i}}} = 0} ${\ displaystyle {\ frac {\ delta {\ mathcal {S}}} {\ delta \ varphi _ {i}}} = 0}$

med handling . ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} [\ varphi _ {i}] = \ int {{\ mathcal {L}} [\ varphi _ {i} (s)] {} \, \ mathrm {d} ^ {n} s}}$

De oppnådde bevegelsesligningene tilsvarer deretter Euler-Lagrange-ligningene som kommer fra det foregående prinsippet. Et dynamisk system hvis bevegelsesligninger kan fås fra en Lagrangian er et Lagrangian dynamisk system . Dette er tilfelle med den klassiske versjonen av standardmodellen , Newtons ligninger , generelle relativitetsligninger og rent matematiske problemer som geodesiske ligninger eller platåproblemet .

Lagrangian i klassisk mekanikk

Lagrangian mekanikk var historisk en omformulering av klassisk mekanikk ved hjelp av begrepet Lagrangian. I denne sammenheng er det Lagrangesk generelt definert ved differansen mellom den kinetiske energi E c = T og den potensielle energien E p = V :

L=Evs.-Es=T-V.{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = E_ {c} -E_ {p} = TV.} ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} = E_ {c} -E_ {p} = TV.}$

Med denne formalismen er Lagrange-ligningen skrevet:

ddt∂L∂q˙k=∂L∂qk.{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {q}} _ {k} }} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial q_ {k}}}.} ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {q}} _ {k} }} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial q_ {k}}}.}$ Demonstrasjon

Betrakt et system som består av materialer delen av massen $m i$ . Posisjonene til disse punktene er en funksjon av posisjonsparametrene $q$ $k$ , sistnevnte varierer over tid. Disse punktene blir utsatt for bindingskrefter , hvilket resulterer i at de andre kreftene er . Hvis det ikke er noen friksjon, er det virtuelle arbeidet til bindingskreftene under en virtuell forskyvning null. Hastigheten til hver partikkel er gitt av: ${\ vec r} _ {i}$ ${\ displaystyle {\ vec {f}} _ {i}}$ $\ vec F_i$ ${\ displaystyle \ delta {\ vec {r}} _ {i}}$

rJeg→˙=dr→Jegdt=∑j∂r→Jeg∂qjdqjdt=∑j∂r→Jeg∂qjq˙j.{\ displaystyle {\ dot {\ vec {r_ {i}}}} = {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {r}} _ {i}} {\ mathrm {d} t}} = \ sum _ {j} {\ frac {\ partial {\ vec {r}} _ {i}} {\ partial q_ {j}}} {\ frac {\ mathrm {d} q_ {j}} {\ mathrm { d} t}} = \ sum _ {j} {\ frac {\ partial {\ vec {r}} _ {i}} {\ partial q_ {j}}} {\ dot {q}} _ {j} .}

{\ displaystyle {\ dot {\ vec {r_ {i}}}} = {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {r}} _ {i}} {\ mathrm {d} t}} = \ sum _ {j} {\ frac {\ partial {\ vec {r}} _ {i}} {\ partial q_ {j}}} {\ frac {\ mathrm {d} q_ {j}} {\ mathrm { d} t}} = \ sum _ {j} {\ frac {\ partial {\ vec {r}} _ {i}} {\ partial q_ {j}}} {\ dot {q}} _ {j} .}

Det er en funksjon av t , av

q j

og av .

{\ displaystyle {\ dot {q}} _ {j}}

Systemets kinetiske energi er gitt av:

T=12∑JegmJegr˙→Jeg2.{\ displaystyle T = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i} m_ {i} {{\ vec {\ dot {r}}} _ {i}} \, ^ {2}.}

{\ displaystyle T = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i} m_ {i} {{\ vec {\ dot {r}}} _ {i}} \, ^ {2}.}

Vi har tatt hensyn til det forrige uttrykket for :

{\ displaystyle {\ dot {\ vec {r}}} _ {i}}

∂T∂q˙k=∑JegmJeg⟨r→˙Jeg,∂r→˙Jeg∂q˙k⟩=∑JegmJeg⟨r→˙Jeg,∂r→Jeg∂qk⟩{\ displaystyle {\ frac {\ partial T} {\ partial {\ dot {q}} _ {k}}} = \ sum _ {i} m_ {i} \ left \ langle {\ dot {\ vec {r }}} _ {i}, {\ frac {\ partial {\ dot {\ vec {r}}} _ {i}} {\ partial {\ dot {q}} _ {k}}} \ right \ rangle = \ sum _ {i} m_ {i} \ left \ langle {\ dot {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ partial {\ vec {r}} _ {i}} { \ delvis q_ {k}}} \ høyre \ rangle}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial T} {\ partial {\ dot {q}} _ {k}}} = \ sum _ {i} m_ {i} \ left \ langle {\ dot {\ vec {r }}} _ {i}, {\ frac {\ partial {\ dot {\ vec {r}}} _ {i}} {\ partial {\ dot {q}} _ {k}}} \ right \ rangle = \ sum _ {i} m_ {i} \ left \ langle {\ dot {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ partial {\ vec {r}} _ {i}} { \ delvis q_ {k}}} \ høyre \ rangle}

der vi bemerket ⟨,⟩ det skalære produktet mellom vektorene. Så vi har: ddt∂T∂q˙k=∑JegmJeg⟨r→¨Jeg,∂r→Jeg∂qk⟩+∑JegmJeg⟨r→˙Jeg,ddt∂r→Jeg∂qk⟩=∑JegmJeg⟨r→¨Jeg,∂r→Jeg∂qk⟩+∑JegmJeg⟨r→˙Jeg,∑j∂2r→Jeg∂qk∂qjq˙j⟩.{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial T} {\ partial {\ dot {q}} _ {k}}} = \ sum _ {i} m_ {i} \ left \ langle {\ ddot {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ partial {\ vec {r}} _ {i}} {\ partial q_ { k}}} \ høyre \ rangle + \ sum _ {i} m_ {i} \ venstre \ langle {\ dot {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ mathrm {d}} { \ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial {\ vec {r}} _ {i}} {\ partial q_ {k}}} \ right \ rangle = \ sum _ {i} m_ {i} \ left \ langle {\ ddot {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ partial {\ vec {r}} _ {i}} {\ partial q_ {k}}} \ right \ rangle + \ sum _ {i} m_ {i} \ left \ langle {\ dot {\ vec {r}}} _ {i}, \ sum _ {j} {\ frac {\ partial ^ {2} {\ vec {r}} _ {i}} {\ partial q_ {k} \ partial q_ {j}}} {\ dot {q}} _ {j} \ right \ rangle.}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial T} {\ partial {\ dot {q}} _ {k}}} = \ sum _ {i} m_ {i} \ left \ langle {\ ddot {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ partial {\ vec {r}} _ {i}} {\ partial q_ { k}}} \ høyre \ rangle + \ sum _ {i} m_ {i} \ venstre \ langle {\ dot {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ mathrm {d}} { \ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial {\ vec {r}} _ {i}} {\ partial q_ {k}}} \ right \ rangle = \ sum _ {i} m_ {i} \ left \ langle {\ ddot {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ partial {\ vec {r}} _ {i}} {\ partial q_ {k}}} \ right \ rangle + \ sum _ {i} m_ {i} \ left \ langle {\ dot {\ vec {r}}} _ {i}, \ sum _ {j} {\ frac {\ partial ^ {2} {\ vec {r}} _ {i}} {\ partial q_ {k} \ partial q_ {j}}} {\ dot {q}} _ {j} \ right \ rangle.}

Men er ingen ringere enn . Derfor :

{\ displaystyle \ sum _ {j} {\ frac {\ partial ^ {2} {\ vec {r}} _ {i}} {\ partial q_ {k} \ partial q_ {j}}} {\ dot { q}} _ {j}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial {}} {\ partial q_ {k}}} \ sum _ {j} {\ frac {\ partial {\ vec {r}} _ {i}} {\ partial q_ { j}}} {\ dot {q}} _ {j} = {\ frac {\ partial {\ dot {\ vec {r}}} _ {i}} {\ partial q_ {k}}}}

ddt∂T∂q˙k=∑JegmJeg⟨r→¨Jeg,∂r→Jeg∂qk⟩+∑JegmJeg⟨r→˙Jeg,∂r→˙Jeg∂qk⟩=∑JegmJeg⟨r→¨Jeg,∂r→Jeg∂qk⟩+∂T∂qk{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial T} {\ partial {\ dot {q}} _ {k}}} = \ sum _ {i} m_ {i} \ left \ langle {\ ddot {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ partial {\ vec {r}} _ {i}} {\ partial q_ { k}}} \ høyre \ rangle + \ sum _ {i} m_ {i} \ venstre \ langle {\ dot {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ partial {\ dot {\ vec {r}}} _ {i}} {\ partial q_ {k}}} \ right \ rangle = \ sum _ {i} m_ {i} \ left \ langle {\ ddot {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ partial {\ vec {r}} _ {i}} {\ partial q_ {k}}} \ right \ rangle + {\ frac {\ partial T} {\ partial q_ { k}}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial T} {\ partial {\ dot {q}} _ {k}}} = \ sum _ {i} m_ {i} \ left \ langle {\ ddot {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ partial {\ vec {r}} _ {i}} {\ partial q_ { k}}} \ høyre \ rangle + \ sum _ {i} m_ {i} \ venstre \ langle {\ dot {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ partial {\ dot {\ vec {r}}} _ {i}} {\ partial q_ {k}}} \ right \ rangle = \ sum _ {i} m_ {i} \ left \ langle {\ ddot {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ partial {\ vec {r}} _ {i}} {\ partial q_ {k}}} \ right \ rangle + {\ frac {\ partial T} {\ partial q_ { k}}}}

derfor : ddt∂T∂q˙k-∂T∂qk=∑JegmJeg⟨r→¨Jeg,∂r→Jeg∂qk⟩.{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial T} {\ partial {\ dot {q}} _ {k}}} - {\ frac {\ partial T} {\ partial q_ {k}}} = \ sum _ {i} m_ {i} \ left \ langle {\ ddot {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ delvis {\ vec {r}} _ {i}} {\ delvis q_ {k}}} \ høyre \ rangle.}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial T} {\ partial {\ dot {q}} _ {k}}} - {\ frac {\ partial T} {\ partial q_ {k}}} = \ sum _ {i} m_ {i} \ left \ langle {\ ddot {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ delvis {\ vec {r}} _ {i}} {\ delvis q_ {k}}} \ høyre \ rangle.}

Anvendelsen av det grunnleggende prinsippet om dynamikk er, med tanke på at, når det gjelder forbindelseskrefter :

{\ displaystyle \ left \ langle {\ vec {f}} _ {i}, {\ frac {\ partial {\ vec {r}} _ {i}} {\ partial q_ {k}}} \ right \ rangle = 0}

ddt∂T∂q˙k-∂T∂qk=∑Jeg⟨F→Jeg,∂r→Jeg∂qk⟩.{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial T} {\ partial {\ dot {q}} _ {k}}} - {\ frac {\ partial T} {\ partial q_ {k}}} = \ sum _ {i} \ left \ langle {\ vec {F}} _ {i}, {\ frac {\ partial {\ vec {r}} _ {i}} {\ delvis q_ {k}}} \ høyre \ rangle.}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial T} {\ partial {\ dot {q}} _ {k}}} - {\ frac {\ partial T} {\ partial q_ {k}}} = \ sum _ {i} \ left \ langle {\ vec {F}} _ {i}, {\ frac {\ partial {\ vec {r}} _ {i}} {\ delvis q_ {k}}} \ høyre \ rangle.}

Anta at hver kraft kommer fra en potensiell

U

i-

funksjon av , slik at (hvor betegner gradienten). Vi har da:

\ vec F_i

{\ vec r} _ {i}

{\ displaystyle {\ vec {F}} _ {i} = - {\ vec {\ nabla}} U_ {i}}

{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}}}

⟨F→Jeg,∂r→Jeg∂qk⟩=-⟨∇→UJeg,∂r→Jeg∂qk⟩=-∂UJeg∂qk{\ displaystyle \ left \ langle {\ vec {F}} _ {i}, {\ frac {\ partial {\ vec {r}} _ {i}} {\ partial q_ {k}}} \ right \ rangle = - \ left \ langle {\ vec {\ nabla}} U_ {i}, {\ frac {\ partial {\ vec {r}} _ {i}} {\ partial q_ {k}}} \ right \ rangle = - {\ frac {\ partial U_ {i}} {\ partial q_ {k}}}}

{\ displaystyle \ left \ langle {\ vec {F}} _ {i}, {\ frac {\ partial {\ vec {r}} _ {i}} {\ partial q_ {k}}} \ right \ rangle = - \ left \ langle {\ vec {\ nabla}} U_ {i}, {\ frac {\ partial {\ vec {r}} _ {i}} {\ partial q_ {k}}} \ right \ rangle = - {\ frac {\ partial U_ {i}} {\ partial q_ {k}}}}

og så : ddt∂T∂q˙k-∂T∂qk=-∑Jeg∂UJeg∂qk=-∂V∂qk{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial T} {\ partial {\ dot {q}} _ {k}}} - {\ frac {\ partial T} {\ partial q_ {k}}} = - \ sum _ {i} {\ frac {\ partial U_ {i}} {\ partial q_ {k}}} = - {\ frac {\ partial V} {\ delvis q_ {k}}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial T} {\ partial {\ dot {q}} _ {k}}} - {\ frac {\ partial T} {\ partial q_ {k}}} = - \ sum _ {i} {\ frac {\ partial U_ {i}} {\ partial q_ {k}}} = - {\ frac {\ partial V} {\ delvis q_ {k}}}}

ved å ta for

V

summen av

U i

. Funksjonen

V

avhenger bare av

q k,

så hvis vi stiller inn , får vi:

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = TV}

ddt∂L∂q˙k=∂L∂qk{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {q}} _ {k} }} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial q_ {k}}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {q}} _ {k} }} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial q_ {k}}}}

som faktisk er den kunngjørte Lagrange-ligningen.

Ikke-unikhet ved Lagrangian

For en gitt Lagrangian , hvis det er mulig å omskrive det som der $F$ er en uspesifisert kontinuerlig og differensierbar funksjon av systemets generaliserte koordinater , tilfredsstiller også Euler-Lagrange-ligningene. ${\ displaystyle L = L (q_ {i}, {\ dot {q}} _ {i}, t)}$ ${\ displaystyle L = L '+ {\ frac {\ mathrm {d} F (q_ {i}, t)} {\ mathrm {d} t}}}$ $De$

Demonstrasjon

La være en Lagrangian . Vi antar at vi kan omskrive det som hvor som helst funksjon av de generelle koordinatene og tiden (en slik funksjon kan for eksempel oppstå ved å utføre en transformasjon av systemets koordinater). I dette tilfellet har vi: ${\ displaystyle L = L (q_ {i}, {\ dot {q}} _ {i}, t)}$ ${\ displaystyle L = L '+ {\ frac {\ mathrm {d} F} {\ mathrm {d} t}}}$ ${\ displaystyle F = F (q_ {i}, t)}$

0=ddt(∂L∂q˙Jeg)-∂L∂qJeg=ddt(∂L′∂q˙Jeg)-∂L′∂qJeg+ddt(∂∂q˙JegdFdt)-∂∂qJegdFdt.{\ displaystyle {\ begin {align} 0 & = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {q }} _ {i}}} \ right) - {\ frac {\ partial L} {\ partial q_ {i}}} \\ & = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t }} \ left ({\ frac {\ partial L '} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}} \ right) - {\ frac {\ partial L'} {\ partial q_ {i} }} + {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}} {\ frac {\ mathrm {d} F} {\ mathrm {d} t}} \ right) - {\ frac {\ partial} {\ partial q_ {i}}} {\ frac {\ mathrm {d} F} { \ mathrm {d} t}}. \ end {justert}}} ${\ displaystyle {\ begin {align} 0 & = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {q }} _ {i}}} \ right) - {\ frac {\ partial L} {\ partial q_ {i}}} \\ & = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t }} \ left ({\ frac {\ partial L '} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}} \ right) - {\ frac {\ partial L'} {\ partial q_ {i} }} + {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}} {\ frac {\ mathrm {d} F} {\ mathrm {d} t}} \ right) - {\ frac {\ partial} {\ partial q_ {i}}} {\ frac {\ mathrm {d} F} { \ mathrm {d} t}}. \ end {justert}}}$

Vi kan omskrive det totale derivatet av $F$ som:

dFdt=∑k∂F∂qkdqkdt+∂F∂t=∑k∂F∂qkq˙k+∂F∂t{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ mathrm {d} F} {\ mathrm {d} t}} & = \ sum _ {k} {\ frac {\ partial F} {\ partial q_ { k}}} {\ frac {\ mathrm {d} q_ {k}} {\ mathrm {d} t}} + {\ frac {\ partial F} {\ partial t}} \\ & = \ sum _ { k} {\ frac {\ partial F} {\ partial q_ {k}}} {\ dot {q}} _ {k} + {\ frac {\ partial F} {\ partial t}} \\\ end { justert}}} ${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ mathrm {d} F} {\ mathrm {d} t}} & = \ sum _ {k} {\ frac {\ partial F} {\ partial q_ { k}}} {\ frac {\ mathrm {d} q_ {k}} {\ mathrm {d} t}} + {\ frac {\ partial F} {\ partial t}} \\ & = \ sum _ { k} {\ frac {\ partial F} {\ partial q_ {k}}} {\ dot {q}} _ {k} + {\ frac {\ partial F} {\ partial t}} \\\ end { justert}}}$

Så . Vi setter dette inn i Euler-Lagrange-ligningen ovenfor: ${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}} {\ frac {\ mathrm {d} F} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ partial F} {\ partial q_ {i}}}}$

0=ddt(∂L′∂q˙Jeg)-∂L′∂qJeg+ddt∂F∂qJeg-∂∂qJegdFdt=ddt(∂L′∂q˙Jeg)-∂L′∂qJeg{\ displaystyle {\ begin {align} 0 & = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ partial L '} {\ partial {\ dot {) q}} _ {i}}} \ right) - {\ frac {\ partial L '} {\ partial q_ {i}}} + {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} } {\ frac {\ partial F} {\ partial q_ {i}}} - {\ frac {\ partial} {\ partial q_ {i}}} {\ frac {\ mathrm {d} F} {\ mathrm { d} t}} \\ & = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ partial L '} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}} \ høyre) - {\ frac {\ partial L '} {\ partial q_ {i}}} \ end {align}}} ${\ displaystyle {\ begin {align} 0 & = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ partial L '} {\ partial {\ dot {) q}} _ {i}}} \ right) - {\ frac {\ partial L '} {\ partial q_ {i}}} + {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} } {\ frac {\ partial F} {\ partial q_ {i}}} - {\ frac {\ partial} {\ partial q_ {i}}} {\ frac {\ mathrm {d} F} {\ mathrm { d} t}} \\ & = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ partial L '} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}} \ høyre) - {\ frac {\ partial L '} {\ partial q_ {i}}} \ end {align}}}$

og dermed ser vi at Lagrangian også tilfredsstiller Euler-Lagrange-ligningene. $De$

Denne egenskapen til transformasjon av Lagrangian demonstrerer at Lagrangian i et system aldri er unik, fordi man alltid kan legge til et begrep av formen til en Lagrangian mens man holder bevegelsesligningene. ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} F} {\ mathrm {d} t}}}$

Et eksempel i kartesiske koordinater

Den tid derivat av en variabel er angitt ved et punkt over det. Så hvis er posisjonen, angir hastighet og akselerasjon. $\ vec {x}$ ${\ displaystyle {\ vec {v}} = {\ dot {\ vec {x}}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {a}} = {\ dot {\ vec {v}}} = {\ ddot {\ vec {x}}}}$

Den Lagrangsk av en ikke- relativistisk partikkel av massen m i et tredimensjonalt euklidske plass , utsettes for en potensiell $E$ $p blir$ skrevet:

L(x→,x→˙) = Evs.-Es = 12 m v→2 - V(x→) = 12 m x→˙2 - V(x→){\ displaystyle L ({\ vec {x}}, {\ dot {\ vec {x}}}) \ = \ E_ {c} -E_ {p} \ = \ {\ frac {1} {2}} \ m \ {\ vec {v}} ^ {2} \ - \ V ({\ vec {x}}) \ = \ {\ frac {1} {2}} \ m \ {\ dot {\ vec { x}}} ^ {2} \ - \ V ({\ vec {x}})} ${\ displaystyle L ({\ vec {x}}, {\ dot {\ vec {x}}}) \ = \ E_ {c} -E_ {p} \ = \ {\ frac {1} {2}} \ m \ {\ vec {v}} ^ {2} \ - \ V ({\ vec {x}}) \ = \ {\ frac {1} {2}} \ m \ {\ dot {\ vec { x}}} ^ {2} \ - \ V ({\ vec {x}})}$

eller

L(x→,x→˙) = s→22m - V(x→){\ displaystyle L ({\ vec {x}}, {\ dot {\ vec {x}}}) \ = \ {\ frac {{\ vec {p}} \, ^ {2}} {2m}} \ \ - \ V ({\ vec {x}})}

{\ displaystyle L ({\ vec {x}}, {\ dot {\ vec {x}}}) \ = \ {\ frac {{\ vec {p}} \, ^ {2}} {2m}} \ \ - \ V ({\ vec {x}})}

hvor p er fart: s→ = m v→ = m x→˙{\ displaystyle {\ vec {p}} \ = \ m \ {\ vec {v}} \ = \ m \ {\ dot {\ vec {x}}}}

{\ displaystyle {\ vec {p}} \ = \ m \ {\ vec {v}} \ = \ m \ {\ dot {\ vec {x}}}}

La oss bruke Euler-Lagrange-ligningene i kartesiske koordinater :

d dt (∂L∂x˙Jeg) - ∂L∂xJeg = 0{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ~} {\ mathrm {d} t}} \ \ left (\, {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {x}} _ {i }}} \, \ right) \ - \ {\ frac {\ partial L} {\ partial x_ {i}}} \ = \ 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ~} {\ mathrm {d} t}} \ \ left (\, {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {x}} _ {i }}} \, \ right) \ - \ {\ frac {\ partial L} {\ partial x_ {i}}} \ = \ 0}

hvor indeksen i betegner en av de 3 romlige variablene:

x 1 = x

x 2 = y

x 3 = z

. De respektive derivatene av gir deretter:

L (\ vec {x}, \ dot {\ vec {x}})

∂L∂xJeg = - ∂V∂xJeg{\ displaystyle {\ frac {\ partial L} {\ partial x_ {i}}} \ = \ - \ {\ frac {\ partial V} {\ partial x_ {i}}}} ${\ displaystyle {\ frac {\ partial L} {\ partial x_ {i}}} \ = \ - \ {\ frac {\ partial V} {\ partial x_ {i}}}}$

∂L∂x˙Jeg = ∂ ∂x˙Jeg(12 m x→˙2) = mx˙Jeg{\ displaystyle {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {x}} _ {i}}} \ = \ {\ frac {\ partial ~} {\ partial {\ dot {x}} _ { i}}} \, \ left (\, {\ frac {1} {2}} \ m \ {\ dot {\ vec {x}}} ^ {2} \, \ right) \ = \ m \, {\ dot {x}} _ {i}} ${\ displaystyle {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {x}} _ {i}}} \ = \ {\ frac {\ partial ~} {\ partial {\ dot {x}} _ { i}}} \, \ left (\, {\ frac {1} {2}} \ m \ {\ dot {\ vec {x}}} ^ {2} \, \ right) \ = \ m \, {\ dot {x}} _ {i}}$

d dt (∂L∂x˙Jeg) = mx¨Jeg{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ~} {\ mathrm {d} t}} \ \ left (\, {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {x}} _ {i }}} \, \ right) \ = \ m \, {\ ddot {x}} _ {i}} ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ~} {\ mathrm {d} t}} \ \ left (\, {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {x}} _ {i }}} \, \ right) \ = \ m \, {\ ddot {x}} _ {i}}$

så vi får eksplisitt for hver romlige akse i :

mx¨Jeg + ∂V∂xJeg = 0{\ displaystyle m \, {\ ddot {x}} _ {i} \ + \ {\ frac {\ partial V} {\ partial x_ {i}}} \ = \ 0} ${\ displaystyle m \, {\ ddot {x}} _ {i} \ + \ {\ frac {\ partial V} {\ partial x_ {i}}} \ = \ 0}$

I en galilensk referanseramme og når kraften kommer fra potensialet V

F→resulterende = - ∇→V(x){\ displaystyle {\ vec {F}} _ {\ text {resultante}} \ = \ - \ {\ vec {\ nabla}} V (x)} ${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {\ text {resultante}} \ = \ - \ {\ vec {\ nabla}} V (x)}$ vi finner Newtons andre lov :

m på→ =m x→¨ = F→resulterende.{\ displaystyle m \ {\ vec {a}} \ = m \ {\ ddot {\ vec {x}}} \ = \ {\ vec {F}} _ {\ text {resultante}}.} ${\ displaystyle m \ {\ vec {a}} \ = m \ {\ ddot {\ vec {x}}} \ = \ {\ vec {F}} _ {\ text {resultante}}.}$

I sfæriske koordinater

Tenk på et tredimensjonalt rom i sfæriske koordinater , og Lagrangian: $(r, \ theta, \ varphi)$

L=m2(r˙2+r2θ˙2+r2synd2⁡(θ)φ˙2)-V(r,θ,φ).{\ displaystyle L = {\ frac {m} {2}} \ left ({\ dot {r}} ^ {2} + r ^ {2} {\ dot {\ theta}} ^ {2} + r ^ {2} \ sin ^ {2} (\ theta) \, {\ dot {\ varphi}} ^ {2} \ right) -V (r, \ theta, \ varphi).} ${\ displaystyle L = {\ frac {m} {2}} \ left ({\ dot {r}} ^ {2} + r ^ {2} {\ dot {\ theta}} ^ {2} + r ^ {2} \ sin ^ {2} (\ theta) \, {\ dot {\ varphi}} ^ {2} \ right) -V (r, \ theta, \ varphi).}$

Euler-Lagrange-ligningene skrives deretter:

ddt(δ(L)δ(r˙))-δ(L)δ(r)=0{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ delta (L)} {\ delta ({\ dot {r}})}} \ høyre) - {\ frac {\ delta (L)} {\ delta (r)}} = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ delta (L)} {\ delta ({\ dot {r}})}} \ høyre) - {\ frac {\ delta (L)} {\ delta (r)}} = 0}

ddt(δ(L)δ(θ˙))-δ(L)δ(θ)=0{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ delta (L)} {\ delta ({\ dot {\ theta}})}} \ høyre) - {\ frac {\ delta (L)} {\ delta (\ theta)}} = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ delta (L)} {\ delta ({\ dot {\ theta}})}} \ høyre) - {\ frac {\ delta (L)} {\ delta (\ theta)}} = 0}

ddt(δ(L)δ(φ˙))-δ(L)δ(φ)=0.{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ delta (L)} {\ delta ({\ dot {\ varphi}})}} \ høyre) - {\ frac {\ delta (L)} {\ delta (\ varphi)}} = 0.}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ delta (L)} {\ delta ({\ dot {\ varphi}})}} \ høyre) - {\ frac {\ delta (L)} {\ delta (\ varphi)}} = 0.}

Enten her:

mr¨-mr(θ˙2+synd2⁡(θ)φ˙2)+Vr′=0,{\ displaystyle m \, {\ ddot {r}} - m \, r \ left ({\ dot {\ theta}} ^ {2} + \ sin ^ {2} (\ theta) \, {\ dot { \ varphi}} ^ {2} \ right) + V_ {r} '= 0,} ${\ displaystyle m \, {\ ddot {r}} - m \, r \ left ({\ dot {\ theta}} ^ {2} + \ sin ^ {2} (\ theta) \, {\ dot { \ varphi}} ^ {2} \ right) + V_ {r} '= 0,}$

(mr2θ¨)+2mrr˙θ˙-mr2synd⁡(θ)cos⁡(θ)φ˙2+Vθ′=0,{\ displaystyle \ left (m \, r ^ {2} \, {\ ddot {\ theta}} \ right) +2 \, m \, r \, {\ dot {r}} {\ dot {\ theta }} - m \, r ^ {2} \ sin (\ theta) \ cos (\ theta) \, {\ dot {\ varphi}} ^ {2} + V _ {\ theta} '= 0,} ${\ displaystyle \ left (m \, r ^ {2} \, {\ ddot {\ theta}} \ right) +2 \, m \, r \, {\ dot {r}} {\ dot {\ theta }} - m \, r ^ {2} \ sin (\ theta) \ cos (\ theta) \, {\ dot {\ varphi}} ^ {2} + V _ {\ theta} '= 0,}$

m(r2synd2⁡(θ)φ¨+2rr˙synd2⁡(θ)φ˙+2r2cos⁡(θ)synd⁡(θ)θ˙φ˙)+Vφ′=0.{\ displaystyle m \ left (r ^ {2} \ sin ^ {2} (\ theta) \, {\ ddot {\ varphi}} + 2 \, r \, {\ dot {r}} \ sin ^ { 2} (\ theta) \, {\ dot {\ varphi}} + 2 \, r ^ {2} \ cos (\ theta) \ sin (\ theta) \, {\ dot {\ theta}} \, { \ dot {\ varphi}} \ right) + V _ {\ varphi} '= 0.} ${\ displaystyle m \ left (r ^ {2} \ sin ^ {2} (\ theta) \, {\ ddot {\ varphi}} + 2 \, r \, {\ dot {r}} \ sin ^ { 2} (\ theta) \, {\ dot {\ varphi}} + 2 \, r ^ {2} \ cos (\ theta) \ sin (\ theta) \, {\ dot {\ theta}} \, { \ dot {\ varphi}} \ right) + V _ {\ varphi} '= 0.}$

Her er settet med parametere redusert til tid , og de dynamiske variablene er banene til partiklene. $hvis}$ $t$ $\ varphi_i (s)$ $\ vec x (t)$

Lagrangian i feltteori

Vurdering

Den integrerte av Lagrange over tid er den handlingen , bemerket . I feltet teori , vi noen ganger skille Lagrange , som integrert over tid er handlingen: $S$ $L$

S=∫Ldt{\ displaystyle S = \ int {L \, \ mathrm {d} t}}

{\ displaystyle S = \ int {L \, \ mathrm {d} t}}

av den lagrangiske tettheten , som man integrerer over all romtid for å oppnå handlingen: $\ mathcal {L}$

S[φJeg]=∫L[φJeg(x)]d4x.{\ displaystyle S [\ varphi _ {i}] = \ int {{\ mathcal {L}} [\ varphi _ {i} (x)] \, \ mathrm {d} ^ {4} x}.}

{\ displaystyle S [\ varphi _ {i}] = \ int {{\ mathcal {L}} [\ varphi _ {i} (x)] \, \ mathrm {d} ^ {4} x}.}

Lagrangian er således den romlige integralen av den Lagrangian tettheten. Imidlertid blir det ofte referert til bare som Lagrangian, spesielt i moderne bruk. Det er enklere i relativistiske teorier der rom er definert lokalt. Disse to typene Lagrangians kan sees på som spesielle tilfeller av en mer generell formel, avhengig av om vi introduserer den romlige variabelen i indeksene eller i parameterne for skriving . Den kvanteteori av feltet av partikkel fysikk, slik som Kvanteelektrodynamikk , er vanligvis skrevet i form av Lagrange-tettheter , er disse betegnelser bare lett forvandles til å gi reglene for evaluering Feynman-diagrammer . $\ mathcal {L}$ $\ vec x$ $Jeg$ $s$ $\ varphi_i (s)$ $\ mathcal {L}$

Euler-Lagrange ligninger

Euler-Lagrange-ligningene i feltteori er skrevet : ${\ displaystyle \ forall i}$

0=∂μ(∂L∂(∂μφJeg))-∂L∂φJeg.{\ displaystyle 0 = \ partial _ {\ mu} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ varphi _ {i})}} \ høyre) - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ varphi _ {i}}}.} ${\ displaystyle 0 = \ partial _ {\ mu} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ varphi _ {i})}} \ høyre) - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ varphi _ {i}}}.}$

Ikke-unikhet av Lagrangian tetthet i klassisk feltteori

Når det gjelder det ikke unike ved Lagrangian, er Lagrangian-tettheten i feltteori ikke unik. Faktisk, la en Lagrangian tetthet , hvis vi kan omskrive den som hvor er en quadrivector som bare avhenger av feltene (og ikke av deres derivater) og av tid-tid vektor, så tilfredsstille de samme Euler-Lagrange ligningene som . $\ mathcal {L}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} = {\ mathcal {L}} '+ \ partial _ {\ mu} F ^ {\ mu}}$ ${\ displaystyle F ^ {\ mu} = F ^ {\ mu} [\ varphi, x]}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} '}$ ${\ mathcal {L}}$

Demonstrasjon

Med utgangspunkt i Euler-Lagrange-ligningene med den opprinnelige lagrangiske tettheten, har vi for alt : $Jeg$

0=∂μ(∂L∂(∂μφJeg))-∂L∂φJeg=∂μ(∂L′∂(∂μφJeg))-∂L′∂φJeg+∂μ[∂∂(∂μφJeg)∂νFν]-∂∂φJeg∂νFν{\ displaystyle {\ begin {align} 0 & = \ partial _ {\ mu} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ varphi _ {i})}} \ høyre) - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ varphi _ {i}}} \\ & = \ partial _ {\ mu} \ left ({ \ frac {\ partial {\ mathcal {L}} '} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ varphi _ {i})}} \ right) - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L} } '} {\ partial \ varphi _ {i}}} + \ partial _ {\ mu} \ left [{\ frac {\ partial} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ varphi _ {i}) }} \ partial _ {\ nu} F ^ {\ nu} \ right] - {\ frac {\ partial} {\ partial \ varphi _ {i}}} \ partial _ {\ nu} F ^ {\ nu} \ end {align}}} ${\ displaystyle {\ begin {align} 0 & = \ partial _ {\ mu} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ varphi _ {i})}} \ høyre) - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ varphi _ {i}}} \\ & = \ partial _ {\ mu} \ left ({ \ frac {\ partial {\ mathcal {L}} '} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ varphi _ {i})}} \ right) - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L} } '} {\ partial \ varphi _ {i}}} + \ partial _ {\ mu} \ left [{\ frac {\ partial} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ varphi _ {i}) }} \ partial _ {\ nu} F ^ {\ nu} \ right] - {\ frac {\ partial} {\ partial \ varphi _ {i}}} \ partial _ {\ nu} F ^ {\ nu} \ end {align}}}$

Vi kan omskrive kvadridivergensen til vektoren som: ${\ displaystyle F ^ {\ nu}}$

∂μFμ[φJeg,x]=∑Jeg∂Fμ∂φJeg∂μφJeg→∂∂(∂μφJeg)∂νFν=∂Fν∂φJeg.{\ displaystyle {\ begin {align} \ partial _ {\ mu} F ^ {\ mu} [\ varphi _ {i}, x] & = \ sum _ {i} {\ frac {\ partial F ^ {\ mu}} {\ partial \ varphi _ {i}}} \ partial _ {\ mu} \ varphi _ {i} \\\ rightarrow {\ frac {\ partial} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ varphi _ {i})}} \ partial _ {\ nu} F ^ {\ nu} & = {\ frac {\ partial F ^ {\ nu}} {\ partial \ varphi _ {i}}}. \ end {justert}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ partial _ {\ mu} F ^ {\ mu} [\ varphi _ {i}, x] & = \ sum _ {i} {\ frac {\ partial F ^ {\ mu}} {\ partial \ varphi _ {i}}} \ partial _ {\ mu} \ varphi _ {i} \\\ rightarrow {\ frac {\ partial} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ varphi _ {i})}} \ partial _ {\ nu} F ^ {\ nu} & = {\ frac {\ partial F ^ {\ nu}} {\ partial \ varphi _ {i}}}. \ end {justert}}}

Ved å sette inn denne identiteten i ligningen ovenfor oppnår vi således:

0=∂μ(∂L′∂(∂μφJeg))-∂L′∂φJeg+∂μ[∂Fμ∂φJeg]-∂∂φJeg∂νFν=∂μ(∂L′∂(∂μφJeg))-∂L′∂φJeg{\ displaystyle {\ begin {align} 0 & = \ partial _ {\ mu} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}} '} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ varphi _ {i})}} \ right) - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}} '} {\ partial \ varphi _ {i}}} + \ partial _ {\ mu} \ left [{\ frac {\ partial F ^ {\ mu}} {\ partial \ varphi _ {i}}} \ right] - {\ frac {\ partial} {\ partial \ varphi _ {i}}} \ partial _ {\ nu } F ^ {\ nu} \\ & = \ partial _ {\ mu} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}} '} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ varphi _ {i})}} \ right) - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}} '} {\ partial \ varphi _ {i}}} \ end {aligned}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} 0 & = \ partial _ {\ mu} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}} '} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ varphi _ {i})}} \ right) - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}} '} {\ partial \ varphi _ {i}}} + \ partial _ {\ mu} \ left [{\ frac {\ partial F ^ {\ mu}} {\ partial \ varphi _ {i}}} \ right] - {\ frac {\ partial} {\ partial \ varphi _ {i}}} \ partial _ {\ nu } F ^ {\ nu} \\ & = \ partial _ {\ mu} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}} '} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ varphi _ {i})}} \ right) - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}} '} {\ partial \ varphi _ {i}}} \ end {aligned}}}

og dermed tilfredsstiller den lagrangiske tettheten de samme Euler-Lagrange-ligningene som tettheten . ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} '}$ ${\ mathcal {L}}$

Elektromagnetisk Lagrangian

Generelt sett er Lagrangian verdt i Lagrangian-mekanikken:

L=T-V{\ displaystyle L = TV}

{\ displaystyle L = TV}

hvor T er den kinetiske energien og V er den potensielle energien.

Gitt en elektrisk ladet partikkel med masse m og ladning q , og hastighet i et elektromagnetisk felt med skalarpotensial og vektorpotensial , er partikkelens kinetiske energi: ${\ vec {vb}}$ $\ phi$ $\ vec {A}$

T=12mv→⋅v→{\ displaystyle T = {1 \ over 2} m {\ vec {v}} \ cdot {\ vec {v}}}

{\ displaystyle T = {1 \ over 2} m {\ vec {v}} \ cdot {\ vec {v}}}

og dens potensielle energi er: V=qϕ-qv→⋅PÅ→.{\ displaystyle V = q \ phi -q {\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}}.}

{\ displaystyle V = q \ phi -q {\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}}.}

Den elektromagnetiske lagrangianen er da:

L=12mv→⋅v→-qϕ+qv→⋅PÅ→.{\ displaystyle L = {1 \ over 2} m {\ vec {v}} \ cdot {\ vec {v}} - q \ phi + q {\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}} .}

{\ displaystyle L = {1 \ over 2} m {\ vec {v}} \ cdot {\ vec {v}} - q \ phi + q {\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}} .}

Demonstrasjon

Den elektromagnetiske Lagrangian er bygget fra uttrykket til Lorentz-styrken som er, la oss huske, en ikke-konservativ styrke. Hvis det ikke kommer fra et klassisk potensial, kommer det derimot fra et potensial kjent som generalisert i henhold til Lagrange-ligningene . Dens potensielle energi V tilfredsstiller faktisk følgende ligning:

F→=ddt∂V(r→,v→,t)∂v→-∂V(r→,v→,t)∂r→(∗).{\ displaystyle {\ vec {F}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial V ({\ vec {r}}, {\ vec { v}}, t)} {\ partial {\ vec {v}}}} - {\ frac {\ partial V ({\ vec {r}}, {\ vec {v}}, t)} {\ partial {\ vec {r}}}} \ quad (*).}

{\ displaystyle {\ vec {F}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial V ({\ vec {r}}, {\ vec { v}}, t)} {\ partial {\ vec {v}}}} - {\ frac {\ partial V ({\ vec {r}}, {\ vec {v}}, t)} {\ partial {\ vec {r}}}} \ quad (*).}

Lorentz-styrken uttrykkes som:

F→=q(E→+v→×B→).{\ displaystyle {\ vec {F}} = q ({\ vec {E}} + {\ vec {v}} \ times {\ vec {B}}).}

{\ displaystyle {\ vec {F}} = q ({\ vec {E}} + {\ vec {v}} \ times {\ vec {B}}).}

Ifølge Maxwell:

B→=∇→×PÅ→{\ displaystyle {\ vec {B}} = {\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {A}}}

{\ displaystyle {\ vec {B}} = {\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {A}}}

∇→×E→=-∂B→∂t{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {E}} = - {\ frac {\ partial {\ vec {B}}} {\ partial t}}}

{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {E}} = - {\ frac {\ partial {\ vec {B}}} {\ partial t}}}

Derfor : ∇→×E→=-∂∂t(∇→×PÅ→)=∇→×(-∂PÅ→∂t){\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {E}} = - {\ frac {\ partial} {\ partial t}} ({\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec { A}}) = {\ vec {\ nabla}} \ times \ left (- {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial t}} \ right)}

{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {E}} = - {\ frac {\ partial} {\ partial t}} ({\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec { A}}) = {\ vec {\ nabla}} \ times \ left (- {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial t}} \ right)}

⇒∇→×(E→+∂PÅ→∂t)=0{\ displaystyle \ Rightarrow {\ vec {\ nabla}} \ times \ left ({\ vec {E}} + {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial t}} \ right) = 0}

{\ displaystyle \ Rightarrow {\ vec {\ nabla}} \ times \ left ({\ vec {E}} + {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial t}} \ right) = 0}

så det er et potensiale slik at $\ phi$ ${\ displaystyle {\ vec {E}} + {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial t}} = - {\ vec {\ nabla}} \ phi}$

Derfor: . ${\ displaystyle {\ vec {F}} = q (- {\ vec {\ nabla}} \ phi - {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial t}} + {\ vec { v}} \ times ({\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {A}}))}$

Nå ifølge Gibbs 'formel: $\ vec v \ times (\ vec \ nabla \ times \ vec A) = \ vec \ nabla (\ vec v \ cdot \ vec A) - (\ vec v \ cdot \ vec \ nabla) \ vec A$

⇒F→=q[-∇→ϕ-∂PÅ→∂t+∇→(v→⋅PÅ→)-(v→⋅∇→)PÅ→]{\ displaystyle \ Rightarrow {\ vec {F}} = q [- {\ vec {\ nabla}} \ phi - {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial t}} + {\ vec {\ nabla}} ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}}) - ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {\ nabla}}) {\ vec {A} }]}

{\ displaystyle \ Rightarrow {\ vec {F}} = q [- {\ vec {\ nabla}} \ phi - {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial t}} + {\ vec {\ nabla}} ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}}) - ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {\ nabla}}) {\ vec {A} }]}

=-q[∂PÅ→∂t+(v→⋅∇→)PÅ→]+q[-∇→ϕ+∇→(v→⋅PÅ→)]=-q[∂PÅ→∂t+(v→⋅∇→)PÅ→]+q∇→[-ϕ+(v→⋅PÅ→)]{\ displaystyle = -q \ left [{\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial t}} + ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {\ nabla}}) { \ vec {A}} \ right] + q [- {\ vec {\ nabla}} \ phi + {\ vec {\ nabla}} ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}}) ] = - q \ left [{\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial t}} + ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {\ nabla}}) {\ vec {A}} \ right] + q {\ vec {\ nabla}} [- \ phi + ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}})]}

{\ displaystyle = -q \ left [{\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial t}} + ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {\ nabla}}) { \ vec {A}} \ right] + q [- {\ vec {\ nabla}} \ phi + {\ vec {\ nabla}} ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}}) ] = - q \ left [{\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial t}} + ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {\ nabla}}) {\ vec {A}} \ right] + q {\ vec {\ nabla}} [- \ phi + ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}})]}

=-q[∂PÅ→∂t+(v→⋅∇→)PÅ→]-∂∂r→q[ϕ-(v→⋅PÅ→)].{\ displaystyle = -q \ left [{\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial t}} + ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {\ nabla}}) { \ vec {A}} \ right] - {\ frac {\ partial} {\ partial {\ vec {r}}}} q [\ phi - ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A} })].}

{\ displaystyle = -q \ left [{\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial t}} + ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {\ nabla}}) { \ vec {A}} \ right] - {\ frac {\ partial} {\ partial {\ vec {r}}}} q [\ phi - ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A} })].}

La: . $V '= q [\ phi - (\ vec v \ cdot \ vec A)] \ quad \ Rightarrow \ quad \ vec F = -q \ left [\ frac {\ partial \ vec A} {\ partial t} + ( \ vec v \ cdot \ vec \ nabla) \ vec A \ right] - \ frac {\ partial V '} {\ partial \ vec r}$

La oss bestemme : ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial V '} {\ partial {\ vec {v}}}}}$

{\ displaystyle {\ frac {\ partial V '} {\ partial {\ vec {v}}}} = - q {\ vec {A}} \ Rightarrow {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm { d} t}} {\ frac {\ partial V '} {\ partial {\ vec {v}}}} = - q {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {A}}} {\ mathrm { d} t}}}

Gull: ${\ displaystyle \ mathrm {d} {\ vec {A}} = {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial t}} \, \ mathrm {d} t + {\ frac {\ delvis {\ vec {A}}} {\ partial x}} \, \ mathrm {d} x + {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial y}} \, \ mathrm {d } y + {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial z}} \, \ mathrm {d} z \ quad \ Rightarrow \ quad {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec { A}}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial t}} + {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} { \ partial x}} {\ dot {x}} + {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial y}} {\ dot {y}} + {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial z}} {\ dot {z}}}$

⇒ddt∂V′∂v→=-qdPÅ→dt=-q∂PÅ→∂t-q[+∂PÅ→∂xx˙+∂PÅ→∂yy˙+∂PÅ→∂zz˙].{\ displaystyle \ Rightarrow {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial V '} {\ partial {\ vec {v}}}} = - q {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {A}}} {\ mathrm {d} t}} = - q {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial t}} - q \ venstre [+ {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial x}} {\ dot {x}} + {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial y} } {\ dot {y}} + {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial z}} {\ dot {z}} \ right].}

{\ displaystyle \ Rightarrow {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial V '} {\ partial {\ vec {v}}}} = - q {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {A}}} {\ mathrm {d} t}} = - q {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial t}} - q \ venstre [+ {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial x}} {\ dot {x}} + {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial y} } {\ dot {y}} + {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial z}} {\ dot {z}} \ right].}

Vi kan merke i forbifarten:

∂PÅ→∂xx˙+∂PÅ→∂yy˙+∂PÅ→∂zz˙=(x˙∂PÅx∂x+y˙∂PÅx∂y+z˙∂PÅx∂zx˙∂PÅy∂x+y˙∂PÅy∂y+z˙∂PÅy∂zx˙∂PÅz∂x+y˙∂PÅz∂y+z˙∂PÅz∂z)=(x˙∂∂x+y˙∂∂y+z˙∂∂z)(PÅxPÅyPÅz)=[(x˙y˙z˙)⋅(∂∂x∂∂y∂∂z)](PÅxPÅyPÅz){\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial x}} {\ dot {x}} + {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial y} } {\ dot {y}} + {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial z}} {\ dot {z}} = {\ begin {pmatrix} {} {\ dot {x }} {\ frac {\ partial A_ {x}} {\ partial x}} + {\ dot {y}} {\ frac {\ partial A_ {x}} {\ partial y}} + {\ dot {z }} {\ frac {\ partial A_ {x}} {\ partial z}} \\ {\ dot {x}} {\ frac {\ partial A_ {y}} {\ partial x}} + {\ dot { y}} {\ frac {\ partial A_ {y}} {\ partial y}} + {\ dot {z}} {\ frac {\ partial A_ {y}} {\ partial z}} \\ {\ dot {x}} {\ frac {\ partial A_ {z}} {\ partial x}} + {\ dot {y}} {\ frac {\ partial A_ {z}} {\ partial y}} + {\ dot {z}} {\ frac {\ partial A_ {z}} {\ partial z}} \ end {pmatrix}} = ({\ dot {x}} {\ frac {\ partial} {\ partial x}} + {\ dot {y}} {\ frac {\ partial} {\ partial y}} + {\ dot {z}} {\ frac {\ partial} {\ partial z}}) {\ begin {pmatrix} {} A_ {x} \\ A_ {y} \\ A_ {z} \ end {pmatrix}} = \ left [{\ begin {pmatrix} {} {\ dot {x}} \\ {\ dot {y}} \\ {\ dot {z}} \ end {pmatrix}} \ cdot {\ begin {pmatrix} {} {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \\ {\ frac {\ partial} {\ partial y}} \\ {\ frac {\ partial} {\ partial z}} \ end {pmatrix}} \ right] {\ begin {pmatrix} {} A_ {x} \\ A_ {y} \\ A_ {z} \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial x}} {\ dot {x}} + {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial y} } {\ dot {y}} + {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial z}} {\ dot {z}} = {\ begin {pmatrix} {} {\ dot {x }} {\ frac {\ partial A_ {x}} {\ partial x}} + {\ dot {y}} {\ frac {\ partial A_ {x}} {\ partial y}} + {\ dot {z }} {\ frac {\ partial A_ {x}} {\ partial z}} \\ {\ dot {x}} {\ frac {\ partial A_ {y}} {\ partial x}} + {\ dot { y}} {\ frac {\ partial A_ {y}} {\ partial y}} + {\ dot {z}} {\ frac {\ partial A_ {y}} {\ partial z}} \\ {\ dot {x}} {\ frac {\ partial A_ {z}} {\ partial x}} + {\ dot {y}} {\ frac {\ partial A_ {z}} {\ partial y}} + {\ dot {z}} {\ frac {\ partial A_ {z}} {\ partial z}} \ end {pmatrix}} = ({\ dot {x}} {\ frac {\ partial} {\ partial x}} + {\ dot {y}} {\ frac {\ partial} {\ partial y}} + {\ dot {z}} {\ frac {\ partial} {\ partial z}}) {\ begin {pmatrix} {} A_ {x} \\ A_ {y} \\ A_ {z} \ end {pmatrix}} = \ left [{\ begin {pmatrix} {} {\ dot {x}} \\ {\ dot {y}} \\ {\ dot {z}} \ end {pmatrix}} \ cdot {\ begin {pmatrix} {} {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \\ {\ frac {\ partial} {\ partial y}} \\ {\ frac {\ partial} {\ partial z}} \ end {pmatrix}} \ right] {\ begin {pmatrix} {} A_ {x} \\ A_ {y} \\ A_ {z} \ end {pmatrix}}}

Derfor: . ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {A}}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial t}} + ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {\ nabla}}) {\ vec {A}}}$ ${\ displaystyle \ Rightarrow {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial V '} {\ partial {\ vec {v}}}} = - q {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {A}}} {\ mathrm {d} t}} = - q \ left [{\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial t}} + ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {\ nabla}}) {\ vec {A}} \ right] \ Rightarrow {\ vec {F}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial} {\ partial {\ vec {v}}}} q [\ phi - ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}} )] - {\ frac {\ partial} {\ partial {\ vec {r}}}} q [\ phi - ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}})]}$

V′=q[ϕ-(v→⋅PÅ→)]{\ displaystyle V '= q [\ phi - ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}})]}

{\ displaystyle V '= q [\ phi - ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}})]}

tilfredsstiller Lagrange-ligningen (*) sett ovenfor. er derfor den potensielle energien i forhold til Lorentz-kraften som Lagrangian er .

V '

\ quad L = \ frac {1} {2} m \ vec {v} ^ 2 - q [\ phi - (\ vec v \ cdot \ vec A)]

Nok en demonstrasjon

Dette innlegget foreslår å verifisere at Lagrangian

L=12mv→⋅v→-qϕ+qv→⋅PÅ→{\ displaystyle L = {1 \ over 2} m {\ vec {v}} \ cdot {\ vec {v}} - q \ phi + q {\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}} }

{\ displaystyle L = {1 \ over 2} m {\ vec {v}} \ cdot {\ vec {v}} - q \ phi + q {\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}} }

gir det grunnleggende prinsippet om dynamikk for en partikkel med masse m og elektrisk ladning q utsatt for Lorentz-kraften. Den utgjør derfor demonstrasjonen i motsatt retning av den forrige.

Vi skriver eksplisitt i indekserte kartesiske koordinater $L$ $x_1, x_2, x_3.$

Så vi har:

L=12m∑Jeg=13xJeg˙2+q∑Jeg=13xJeg˙PÅJeg-qϕ,{\ displaystyle L = {\ frac {1} {2}} m \ sum _ {i = 1} ^ {3} {\ dot {x_ {i}}} ^ {2} + q \ sum _ {i = 1} ^ {3} {\ dot {x_ {i}}} A_ {i} -q \ phi,}

{\ displaystyle L = {\ frac {1} {2}} m \ sum _ {i = 1} ^ {3} {\ dot {x_ {i}}} ^ {2} + q \ sum _ {i = 1} ^ {3} {\ dot {x_ {i}}} A_ {i} -q \ phi,}

med komponent nr. i vektorpotensialet og

A_i = A_i (x_1 (t), x_2 (t), x_3 (t), t)

\ vec {A}

\ phi = \ phi (x_1 (t), x_2 (t), x_3 (t), t).

La oss evaluere Lagrange-ligningene for komponent nr. 1:

∂L∂x1=q∑Jeg=13xJeg˙∂PÅJeg∂x1-q∂ϕ∂x1ogddt∂L∂x1˙=ddt(mx1˙+qPÅ1)=md2x1dt2+qdPÅ1dt.{\ displaystyle {\ frac {\ partial L} {\ partial x_ {1}}} = q \ sum _ {i = 1} ^ {3} {\ dot {x_ {i}}} {\ frac {\ partial A_ {i}} {\ partial x_ {1}}} - q {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial x_ {1}}} \ qquad {\ text {and}} \ qquad {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {x_ {1}}}}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left (m {\ dot {x_ {1}}} + qA_ {1} \ right) = m {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x_ {1}} { \ mathrm {d} t ^ {2}}} + q {\ frac {\ mathrm {d} A_ {1}} {\ mathrm {d} t}}.}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial L} {\ partial x_ {1}}} = q \ sum _ {i = 1} ^ {3} {\ dot {x_ {i}}} {\ frac {\ partial A_ {i}} {\ partial x_ {1}}} - q {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial x_ {1}}} \ qquad {\ text {and}} \ qquad {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {x_ {1}}}}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left (m {\ dot {x_ {1}}} + qA_ {1} \ right) = m {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x_ {1}} { \ mathrm {d} t ^ {2}}} + q {\ frac {\ mathrm {d} A_ {1}} {\ mathrm {d} t}}.}

Imidlertid er det totale derivatet med hensyn til tiden lik partikkelderivatet:

A_1

dPÅ1dt=∂PÅ1∂t+∑Jeg=13xJeg˙∂PÅ1∂xJeg.{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} A_ {1}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ partial A_ {1}} {\ partial t}} + \ sum _ {i = 1} ^ {3} {\ dot {x_ {i}}} {\ frac {\ partial A_ {1}} {\ partial x_ {i}}}.}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} A_ {1}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ partial A_ {1}} {\ partial t}} + \ sum _ {i = 1} ^ {3} {\ dot {x_ {i}}} {\ frac {\ partial A_ {1}} {\ partial x_ {i}}}.}

Derav uttrykk for bevegelsesligningen for komponent nr. 1: md2x1dt2+qdPÅ1dt=q∑Jeg=13xJeg˙∂PÅJeg∂x1-q∂ϕ∂x1{\ displaystyle m {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x_ {1}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} + q {\ frac {\ mathrm {d} A_ {1} } {\ mathrm {d} t}} = q \ sum _ {i = 1} ^ {3} {\ dot {x_ {i}}} {\ frac {\ partial A_ {i}} {\ partial x_ { 1}}} - q {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial x_ {1}}}}

{\ displaystyle m {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x_ {1}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} + q {\ frac {\ mathrm {d} A_ {1} } {\ mathrm {d} t}} = q \ sum _ {i = 1} ^ {3} {\ dot {x_ {i}}} {\ frac {\ partial A_ {i}} {\ partial x_ { 1}}} - q {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial x_ {1}}}}

md2x1dt2+q∂PÅ1∂t+q∑Jeg=13xJeg˙∂PÅ1∂xJeg=q∑Jeg=13xJeg˙∂PÅJeg∂x1-q∂ϕ∂x1{\ displaystyle m {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x_ {1}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} + q {\ frac {\ partial A_ {1}} {\ delvis t}} + q \ sum _ {i = 1} ^ {3} {\ dot {x_ {i}}} {\ frac {\ partial A_ {1}} {\ partial x_ {i}}} = q \ sum _ {i = 1} ^ {3} {\ dot {x_ {i}}} {\ frac {\ partial A_ {i}} {\ partial x_ {1}}} - q {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial x_ {1}}}}

{\ displaystyle m {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x_ {1}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} + q {\ frac {\ partial A_ {1}} {\ delvis t}} + q \ sum _ {i = 1} ^ {3} {\ dot {x_ {i}}} {\ frac {\ partial A_ {1}} {\ partial x_ {i}}} = q \ sum _ {i = 1} ^ {3} {\ dot {x_ {i}}} {\ frac {\ partial A_ {i}} {\ partial x_ {1}}} - q {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial x_ {1}}}}

Forenkling, det gjenstår: md2x1dt2=-q∂PÅ1∂t-q∂ϕ∂x1+qx2˙(∂PÅ2∂x1-∂PÅ1∂x2)+qx3˙(∂PÅ3∂x1-∂PÅ1∂x3).{\ displaystyle m {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x_ {1}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} = - q {\ frac {\ partial A_ {1}} { \ partial t}} - q {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial x_ {1}}} + q {\ dot {x_ {2}}} \ left ({\ frac {\ partial A_ {2} } {\ partial x_ {1}}} - {\ frac {\ partial A_ {1}} {\ partial x_ {2}}} \ right) + q {\ dot {x_ {3}}} \ left ({ \ frac {\ partial A_ {3}} {\ partial x_ {1}}} - {\ frac {\ partial A_ {1}} {\ partial x_ {3}}} \ right).}

{\ displaystyle m {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x_ {1}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} = - q {\ frac {\ partial A_ {1}} { \ partial t}} - q {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial x_ {1}}} + q {\ dot {x_ {2}}} \ left ({\ frac {\ partial A_ {2} } {\ partial x_ {1}}} - {\ frac {\ partial A_ {1}} {\ partial x_ {2}}} \ right) + q {\ dot {x_ {3}}} \ left ({ \ frac {\ partial A_ {3}} {\ partial x_ {1}}} - {\ frac {\ partial A_ {1}} {\ partial x_ {3}}} \ right).}

Med og anerkjenner vi til høyre for likestillingen uttrykket for den første komponenten av Lorentz-styrken.

\ vec B = \ vec \ nabla \ times \ vec A.

\ vec E = - \ frac {\ partial \ vec A} {\ partial t} - \ vec \ nabla \ phi

Eksempler på lagrangisk tetthet i kvantefeltteori

Lagrangian of Dirac

Lagrangian-tettheten for et Dirac-felt (in) er:

L=ψ¯(Jegℏvs.⧸D-mvs.2)ψ{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = {\ bar {\ psi}} \ left (i \, \ hbar \, c \ not \! Dm \, c ^ {2} \ right) \ psi}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = {\ bar {\ psi}} \ left (i \, \ hbar \, c \ not \! Dm \, c ^ {2} \ right) \ psi}

hvor er en spinor , er dens Dirac-stedfortreder , er det kovariante derivatet av gauge , og er Feynman-notasjonen for .

\ psi

\ bar \ psi = \ psi ^ \ dolk \ gamma ^ 0

D

\ ikke \! D

\ gamma ^ \ sigma D_ \ sigma

Lagrangian av kvanteelektrodynamikk

Den lagrangiske tettheten i QED er:

LQED=ψ¯(Jegℏvs.⧸D-mvs.2)ψ-14μ0FμνFμν{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {QED}} = {\ bar {\ psi}} (i \ hbar c \ not \! D-mc ^ {2}) \ psi - {1 \ over 4 \ mu _ {0}} F _ {\ mu \ nu} F ^ {\ mu \ nu}}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {QED}} = {\ bar {\ psi}} (i \ hbar c \ not \! D-mc ^ {2}) \ psi - {1 \ over 4 \ mu _ {0}} F _ {\ mu \ nu} F ^ {\ mu \ nu}}

hvor er den elektromagnetiske tensoren .

F ^ {\ mu \ nu}

Lagrangian av kvantekromodynamikk

Den lagrangiske tettheten i QCD er:

LQVSD=∑ikkeψ¯ikke(Jegℏvs.⧸D-mikkevs.2)ψikke-14GαμνGαμν{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {QCD}} = \ sum _ {n} {\ bar {\ psi}} _ {n} (i \ hbar c \ not \! D-m_ { n} c ^ {2}) \ psi _ {n} - {1 \ over 4} G ^ {\ alpha} {} _ {\ mu \ nu} G _ {\ alpha} {} ^ {\ mu \ nu }}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {QCD}} = \ sum _ {n} {\ bar {\ psi}} _ {n} (i \ hbar c \ not \! D-m_ { n} c ^ {2}) \ psi _ {n} - {1 \ over 4} G ^ {\ alpha} {} _ {\ mu \ nu} G _ {\ alpha} {} ^ {\ mu \ nu }}

hvor er kovariantderivatet av gauge i QCD, og er tensoren av feltstyrken til gluonet .

D

G ^ \ alpha {} _ {\ mu \ nu}

Matematisk formalisme

Enten en

rekke dimensjoner , og en rekke destinasjoner . La vær settet av funksjoner av i , heter konfigurasjon plass .

M

ikke

T

\ mathcal {C}

\ mathcal {C} ^ \ infty

M

T

La oss først og fremst gi noen eksempler:

i klassisk mekanikk, i Hamiltons formalisme , er mangfoldet av dimensjon 1 , som representerer tid, og destinasjonsrommet er den cotangente

bunten av rommet til generaliserte posisjoner;

M

\ mathbb {R}

i feltteori, er rom-tid manifold og destinasjonsområdet er settet med mulige verdier av feltene på hvert punkt. Hvis det for eksempel er

ekte skalarfelt φ 1 , ..., φ m , er destinasjonsmanifolden . Hvis vi har et felt av reelle vektorer , er målet manifold isomorphic til . Det er faktisk en mer elegant måte å bruke tangentpakken på, men vi holder oss til denne versjonen.

M

m

\ R ^ m

\ mathbb {R} ^ {n}

Anta nå at det er en funksjonell , kalt fysisk handling. Dette er en applikasjon til , ikke til , av fysiske årsaker. ${\ displaystyle S: {\ mathcal {C}} \ to \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ $\ mathbb {C}$

For at handlingen skal være lokal, trenger vi ytterligere begrensninger. Hvis vi pålegger at

S [ φ ] er integralet på M av en funksjon av φ, dets derivater og posisjonene som vi kaller Lagrangian . Med andre ord,

\ varphi \ in \ mathcal {C},

{\ mathcal {L}} (\ varphi, \ partial \ varphi, \ partial ^ {2} \ varphi, \ dots, x)

∀φ∈VS,S[φ]≡∫MdikkexL(φ(x),∂φ(x),∂2φ(x),...,x).{\ displaystyle \ forall \ varphi \ i {\ mathcal {C}} \ ;, \; S [\ varphi] \ equiv \ int _ {M} d ^ {n} x {\ mathcal {L}} (\ varphi (x), \ partial \ varphi (x), \ partial ^ {2} \ varphi (x), \ prikker, x).} ${\ displaystyle \ forall \ varphi \ i {\ mathcal {C}} \ ;, \; S [\ varphi] \ equiv \ int _ {M} d ^ {n} x {\ mathcal {L}} (\ varphi (x), \ partial \ varphi (x), \ partial ^ {2} \ varphi (x), \ prikker, x).}$

Mesteparten av tiden pålegger man at Lagrangian bare avhenger av verdien av feltene, av deres derivater først, men ikke av derivater av høyere orden. Det er faktisk bare for enkelhets skyld, og det er ikke sant generelt. Vi antar det i resten av denne artikkelen.

La oss fikse grensebetingelser , i det vesentlige dataene til φ ved kantene hvis M er kompakt , eller en grense for φ når x har en tendens til uendelig (som er praktisk under integrasjoner av deler). Underrommet for funksjoner φ slik at alle de

funksjonelle derivatene av handlingen S i φ er 0 og som φ tilfredsstiller grensebetingelsene, er rommet for fysiske løsninger.

\ mathcal {C}

Løsningen er gitt av Euler-Lagrange-ligningene (ved å bruke grensebetingelsene):

δδφS=-∂μ(∂L∂(∂μφ))+∂L∂φ=0.{\ displaystyle {\ frac {\ delta} {\ delta \ varphi}} S = - \ partial _ {\ mu} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ varphi)}} \ right) + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ varphi}} = 0.} ${\ displaystyle {\ frac {\ delta} {\ delta \ varphi}} S = - \ partial _ {\ mu} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ varphi)}} \ right) + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ varphi}} = 0.}$

Vi finner det funksjonelle derivatet sammenlignet med φ av handlingen på venstre side.

Merknader og referanser

(no) http://www.fuw.edu.pl/~dobaczew/maub-42w/node9.html .
(in) [PDF] http://smallsystems.isn-oldenburg.de/Docs/THEO3/publications/semiclassical.qcd.prep.pdf .
(in) [PDF] " http://www-zeus.physik.uni-bonn.de/~brock/teaching/jets_ws0405/seminar09/sluka_quark_gluon_jets.pdf " ( Arkiv • Wikiwix • Archive.is • Google • Hva skal jeg gjøre gjør? ) .

Se også

Bibliografi

Francis Halbwachs og Jean-Marie Souriau , “Analytical Mechanics”, Encyclopedia Universalis , 1989, t. 14 , s. 764-767

Relaterte artikler

Hamilton-mekanikk
Noethers teorem (fysikk)
Handling (fysisk)
Prinsippet om minst handling
Hamilton-operatør : Legendre-transformasjonen av Lagrangian-operatøren
Hamiltonian i feltteori