Whitehead Lemma
Den lemma av Whitehead , oppkalt etter JHC Whitehead , er en lemma av abstrakt algebra for å beskrive den undergruppe derivat av den generelle lineære gruppe uendelighet av en enhetlig ring . Den brukes i algebraisk K-teori .
Notasjoner
La R være en enhetlig ring.
Gruppen med inverterbare matriser av størrelse n med koeffisienter i R betegnes GL ( n , R ) og den økende foreningen av disse gruppene betegnes GL ( R ).
Undergruppen av GL ( n , R ) generert av de elementære matriser av transveksjoner er betegnet E ( n , R ). Undergruppen til GL ( R ) som består av foreningen av E ( n , R ) er betegnet E ( R ).
I en gruppe G vil den avledede undergruppen (generert av bryterne [ x , y ] = xyx −1 y −1 ) bli betegnet her [ G , G ].
Uttalelser
Ulike uttalelser kalles faktisk "Whiteheads lemma":
- For alle matrisene A og B i GL ( n , R ),(PÅB00Jegikke)∈(PÅ00B) E(2ikke,R),{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} AB & 0 \\ 0 & I_ {n} \ end {pmatrix}} \ i {\ begin {pmatrix} A & 0 \\ 0 & B \ end {pmatrix}} ~ { \ rm {E}} (2n, R),}med andre ord: for en hvilken som helst matrise B i GL ( n , R ),(B00B-1)∈E(2ikke,R).{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} B & 0 \\ 0 & B ^ {- 1} \ end {pmatrix}} \ i {\ rm {E}} (2n, R).}
- Gruppen avledet fra den uendelige lineære gruppen er undergruppen generert av elementære transveksjonsmatriser:[GL ( R ), GL ( R )] = E ( R ).
- Dessuten er denne undergruppen perfekt : [E ( R ), E ( R )] = E ( R ).
Demonstrasjon
Alt er utledet fra uttalelse 1 ( jf. § Merknader nedenfor ), i seg selv begrunnet med det faktum at enhver trekantet blokkmatrise med to I n på diagonalen er et produkt av n 2 elementære transveksjonsmatriser og ved likeverd:
(B00B-1)=(JegikkeB0Jegikke)(Jegikke0Jegikke-B-1Jegikke)(Jegikke-Jegikke0Jegikke)(Jegikke0Jegikke-BJegikke).{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} B & 0 \\ 0 & B ^ {- 1} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} I_ {n} & B \\ 0 & I_ {n} \ slutt {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} I_ {n} & 0 \\ I_ {n} -B ^ {- 1} & I_ {n} \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} I_ {n } & - I_ {n} \\ 0 & I_ {n} \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} I_ {n} & 0 \\ I_ {n} -B & I_ {n} \ end {pmatrix }}.}
Merknader
Analogen av utsagnene 2 og 3 for GL ( n , R ) og E ( n , R ) er falsk, for eksempel for R lik det endelige feltet ℤ / 2ℤ og for n = 2: GL (2, ℤ / 2ℤ) er ikke-abelsk og av orden 6 , derfor isomorf til den symmetriske gruppen S 3 , som er avledet gruppe er den vekslende undergruppe A 3 , mens E (2, ℤ / 2ℤ) er lik GL (2, ℤ / 2ℤ) helhet.
Derimot:
- i følge det andre Steinberg-forholdet e ik (λμ) = [ e ij (λ), e jk (μ)] for tydelig i , j , k , E ( n , R ) er perfekt så snart n ≥ 3.
- hvis R er en euklidisk ring eller en semi-lokal kommutativ ring , er E ( n , R ) lik hele den lineære spesialgruppen SL ( n , R ).
- hvis R er en ring av polynomer med et begrenset antall ubestemte over et felt, er E ( n , R ) = SL ( n , R ) for n ≥ 3, ifølge en setning av Suslin .
Det første av disse tre punktene sikrer at E ( R ) = [E ( R ), E ( R )] ⊂ [GL ( R ), GL ( R )]. For gjensidig inkludering av [GL ( R ), GL ( R )] i E ( R ), er det tilstrekkelig å bruke ovennevnte setning 1 i "Whiteheads lemma" og likheten
([PÅ,B]00Jegikke)=(PÅ00PÅ-1)(B00B-1)((BPÅ)-100BPÅ).{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} [A, B] & 0 \\ 0 & I_ {n} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} A & 0 \\ 0 & A ^ {- 1} \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} B & 0 \\ 0 & B ^ {- 1} \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} (BA) ^ {- 1} & 0 \\ 0 & BA \ end {pmatrix}}.}
Uttalelse 2 av Whiteheads lemma tilsvarer å si at undergruppen E ( R ) er normal i GL ( R ) og at kvotientgruppen GL ( R ) / E ( R ) er den abelianiserte K 1 ( R ) av GL ( R ). Hvis ringen R er kommutativ, har vi en morphism determinant av K- 1 ( R ) i den gruppen R x for reversering av R . For at det skal være en isomorfisme, er det tilstrekkelig at E ( n , R ) = SL ( n , R ) for enhver n som er stor nok, som i "gode tilfeller" ovenfor, men det er ikke nok at R er prinsipiell .
Merknader og referanser
-
(no) John Milnor , " Whitehead torsion " , Bull. Bitter. Matte. Soc. , vol. 72, n o 3,1966, s. 358-426 ( les online ).
-
(i) Tsit Yuen Lam , er Serres problem projiserende moduler , Springer ,2006, 404 s. ( ISBN 978-3-540-34575-6 , leses online ) , s. 68.
-
Lam 2006 , s. 52.
-
(en) Jonathan Rosenberg (de) , Algebraic K-Theory and Its Applications , Springer, koll. " GTM " ( n o 147)1994, 394 s. ( ISBN 978-0-387-94248-3 , leses online ) , s. 61.
-
(en) John Milnor , Introduksjon til algebraisk K- teori , PUP , koll. "Annals of Mathematics Studies" ( nr . 72),1971( les online ) , s. 25.
-
Rosenberg 1994 , s. 62-63.
-
Lam 2006 , s. 44.
-
Lam 2006 , s. 43.
-
Lam 2006 , s. 69.
-
Lam 2006 , s. 53.
-
Rosenberg 1994 , s. 75.
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">