I feltet matematisk for K-algebraisk teori er gruppen Steinberg St ( A ) av en enhetsring A en gruppe definert av generatorer og relasjoner , fra visse forhold bekreftet av elementære matriser av transveksjoner . Den er oppkalt etter Robert Steinberg og er knyttet til de tidlige gruppene i K-teorien, spesielt K 2 og K 3 .
Elementære transveksjonsmatriser e pq (λ) for p ≠ q - med 1s på diagonalen, en koeffisient λ i posisjon ( p , q ) og 0s overalt ellers - tilfredsstiller følgende relasjoner, kalt Steinberg-relasjoner :
Den "stabile" Steinberg-gruppen St ( A ) er definert av generatorene x ij (λ) ( i , j ∈ ℕ *, i ≠ j , λ ∈ A ), underlagt disse forholdene. Det er den induktive grensen til de "ustabile" Steinberg-gruppene St n ( A ), definert på samme måte, men for i , j ≤ n .
Den "stabile" generelle lineære gruppen GL ( A ) er definert som den økende foreningen av GL ( n , A ), via identifisering av en hvilken som helst kvadratmatrise M av størrelse n med den diagonale matrisen ved hjelp av blokkdiag ( M , 1) av størrelse n + 1. Ved konstruksjon eksisterer det en unik morfisme av gruppene φ: St ( A ) → GL ( A ) som sender x ij (λ) på e ij (λ).
Ifølge Whiteheads lemma er bildet av φ gruppen avledet fra GL ( A ), dvs. de elementære transveksjonsmatriser genererer , i GL ( A ), den samme undergruppen som bryterne . Denne undergruppen er betegnet E ( A ).
Gruppen K 1 ( A ) er definert som abelianisert av GL ( A ), det vil si kvotienten til GL ( A ) av dens avledede undergruppe E ( A ). Med andre ord er det kokernelen til φ.
Milnor definerte K 2 ( A ) som sentrum for St ( A ).
Det er også kjernen til morfismen φ: St ( A ) → GL ( A ), slik at vi har en nøyaktig sekvens
1 → K 2 ( A ) → St ( A ) → E ( A ) → 1.Denne sekvensen er faktisk den universelle sentrale utvidelsen av den perfekte gruppen E ( A ). Med andre ord er K 2 ( A ) Schur-multiplikatoren av E ( A ). Det skrives derfor også som en homologigruppe : K 2 ( A ) = H 2 (E ( A ), ℤ).
Gersten beviste at K 3 ( A ) = H 3 (St ( A ), ℤ).