De tre aksiomene til kvantemekanikken

De tre aksiomene for kvantemekanikk er en samtidige teori om postulatene for kvantemekanikk for å forklare kvantemekanikken . Denne teorien støttes i hovedsak av Constantin Piron .

Den postulatet skiller seg fra den aksiom , sistnevnte alltid blir hevdet i utgangspunktet som et grunnleggende element i systemet som vi ikke vil forsøke å demonstrere.

Introduksjon

Ofte presenteres kvantemekanikk som om det var en merkelig teori utenfor menneskelig forståelse. Men selv om det er sant at denne teorien er veldig dårlig forstått av de fleste lekmenn, blir den ganske godt forstått av de innviede. Hvorfor en slik forskjell i forståelse? Kanskje rett og slett fordi så mange forskjellige ting er blitt sagt om det, kanskje fordi dets formalisme er av en abstraksjon som aldri tidligere ble matchet av en teori som beskriver den "observerbare verdenen". Eller rett og slett fordi denne teorien strider mot grunnlaget for vitenskapelig tenkning, selve grunnlaget som har tillatt oss å bygge vår representasjon av verden. Faktisk, kvantemekanikk presenterer store problemer med begrepet determinisme som vi visste før XX th  århundre. Med sin ankomst må vi rekonstruere begrepene måling, reproduserbarhet av et eksperiment og til og med determinisme ...

De tre aksiomer-modellen er en streng tilnærming som fører til ideen om at statsrommet er et vektorrom (ofte et Hilbert-rom ), noe som postuleres av andre tilnærminger. Kunnskap om steinsetning ( in ) og Noeters teorem (sannsynligvis de to viktigste setningene til kvantemekanikk, den første som ble brukt til å bygge ideen om tidsmessig evolusjon, den andre forestillingen om momentum ) fører uten for store vanskeligheter med å rekonstruere de vanlige postulatene til kvantemekanikk (se postulater av kvantemekanikk ).

De 3 aksiomene

For å ha vokabularet til de tre aksiomene, er det nødvendig å introdusere noen grunnleggende forestillinger. Faktisk, i motsetning til kvantemekanikkens seks postulater, er disse tre aksiomene basert på begreper nært knyttet til erfaring og til og med til måling. (Det kan være interessant å lese Quantum Measurement Problem om dette)

Spørsmål, eiendommer og statsrom

Begrepet spørsmål kommer fra ideen om måling. Et spørsmål er en måling på et fysisk system som svaret er sant eller usant. α {\ displaystyle \ alpha ~}

For å illustrere denne ideen kan vi gjøre følgende tankeeksperiment:

Det fysiske systemet består av en bil som kjører på motorveien. Spørsmålet er: Kjører den 130 km / t? Måleinstrumentet vårt er en radar. Svaret er sant, hvis man leser 130 km / t på radaren, er det ellers falskt.

Fra ethvert spørsmål er det mulig å definere et omvendt spørsmål . I vårt tankeeksperiment ville det omvendte spørsmålet være: kjører bilen med en annen hastighet enn 130 km / t  ? α {\ displaystyle \ alpha ~}α~{\ displaystyle {\ tilde {\ alpha}}} 

Settet er settet med alle spørsmålene som kan stilles om systemet som studeres. Spørsmål {\ displaystyle Q ~}

Vi vil si at et spørsmål er sant for et gitt system når vi med sikkerhet (ved en teoretisk beregning) kan forutsi at målingen vil svare "ja", før den utføres. Et spørsmål som ikke er sant er ikke nødvendigvis feil; i denne modellen gir vi rom for usikre, tilfeldige spørsmål. Et spørsmål er usikkert for et gitt system når, hvis man skulle bygge et fysisk identisk system, en klon med samme fysiske tilstand, da ville målingen på klonen absolutt ikke gi den samme verdien som målingen på det opprinnelige systemet. Et usikkert spørsmål kan derfor ikke være sant: det fysiske systemet velger et svar tilfeldig når det måles, til tross for den totale kunnskapen om dets tilstand a priori. Eksistensen av usikre spørsmål er nøkkelforskjellen mellom klassisk fysikk og kvantefysikk, som vi vil formalisere nedenfor med aksiom 0.

Vi kan bygge en delvis forhåndsbestillingsrelasjon ( ordrerelasjon ) på spørsmålene:

Når vi kommer tilbake til vårt tankeeksperiment, definerer vi to spørsmål: α {\ displaystyle \ alpha ~} : kjører bilen med en hastighet mellom 120 km / t og 140 km / t? β {\ displaystyle \ beta ~} : kjører bilen i 130 km / t? Vi merker at det alltid er sant hvis det er sant, vi vil si at det er lavere ennα {\ displaystyle \ alpha ~}β {\ displaystyle \ beta ~}β {\ displaystyle \ beta ~}α {\ displaystyle \ alpha ~} Vurdering: β <α {\ displaystyle \ beta ~ <\ alpha ~}

Ta hensyn til betydningen, det svakeste spørsmålet er til venstre for " ". Denne betegnelsen antydes av det faktum at settet med tilfeller der det er sant er mindre enn for , dvs. er mer restriktivt. Denne notasjonen samsvarer også med det intuitive forholdet , med 0 og 1 de absurde (svar alltid falske) og trivielle (svar alltid sanne) spørsmålene. <{\ displaystyle <}β {\ displaystyle \ beta ~}α {\ displaystyle \ alpha ~}β {\ displaystyle \ beta ~}∀q∈Spørsmål ,0≤q≤1{\ displaystyle \ forall q \ i Q ~, \, 0 \ leq q \ leq 1}

Denne delvise forhåndsbestillingen skaper en ekvivalensrelasjon :

vil vi si tilsvarer , hvis og bare hvis ogα {\ displaystyle \ alpha ~}β {\ displaystyle \ beta ~}α ≤β {\ displaystyle \ alpha ~ \ leq \ beta ~}β ≤α {\ displaystyle \ beta ~ \ leq \ alpha ~} notasjon: α ∼β {\ displaystyle \ alpha ~ \ sim \ beta ~}

Den ekvivalens klasse av et spørsmål er en eiendom. på {\ displaystyle a ~}α {\ displaystyle \ alpha ~}

En eiendom sies å være aktuell hvis spørsmålene knyttet til den definitivt stemmer. Tvert imot, hvis svarene på disse spørsmålene er usikre eller til og med alltid falske, sier vi at eiendommen er potensiell.

Vi definerer som settet med alle egenskapene til systemet. L {\ displaystyle L ~}

En bemerkelsesverdig ting er at vi uten ytterligere antakelser allerede kan ha litt informasjon om strukturen til . Faktisk pålegger forholdet mellom forhåndsbestilling det faktum at det er delvis bestilt. Og det er alltid et komplett gitter , det vil si: L {\ displaystyle L ~}Spørsmål {\ displaystyle Q ~}L {\ displaystyle L ~}L {\ displaystyle L ~}

∀E ={på Jeg|på Jeg∈L ,Jeg∈J }{\ displaystyle \ forall E ~ = {\ big \ {} a ~ _ {i} | a ~ _ {i} \ i L ~, i \ i J ~ {\ big \}}}(J som en hvilken som helst delmengde av N (naturlig tall)) eksisterer den slik at:på ,b ∈L {\ displaystyle a ~, b ~ \ i L ~} hvis da: x ∈L {\ displaystyle x ~ \ i L ~}x <påJeg ∀Jeg∈J ⟺x <på {\ displaystyle x ~ <a_ {i} ~ \ forall i \ i J ~ \ Longleftrightarrow x ~ <a ~} x >påJeg ∀Jeg∈J ⟺x >b {\ displaystyle x ~> a_ {i} ~ \ forall i \ i J ~ \ Longleftrightarrow x ~> b ~}

på ,b {\ displaystyle a ~, b ~}er henholdsvis den nedre og den øvre grensen til delmengden . E {\ displaystyle E ~}

Stater og eiendommer-stater

Per definisjon er tilstanden til et fysisk system settet med alle dets nåværende egenskaper. Han kommer . E {\ displaystyle E ~}E⊂L {\ displaystyle E \ delmengde L ~}

En tilstand er en delmengde av en slik at egenskapen er gjeldende når alle egenskapene i er gjeldende. Vi kan derfor definere en tilstand som følger: E {\ displaystyle E ~}L {\ displaystyle L ~}s {\ displaystyle p ~}E {\ displaystyle E ~}

E ={x ∈L |s <x }{\ displaystyle E ~ = {\ big \ {} x ~ \ i L ~ | p ~ <x ~ {\ big \}}}

En slik eiendom definerer fullstendig og kalles eiendomsstat. s {\ displaystyle p ~}E {\ displaystyle E ~}

Atomer

Atomer er minimumselementene til . Med andre ord kalles en eiendom et atom hvis: L∖{0}{\ displaystyle L \ setminus \ {0 \}}s∈L{\ displaystyle p \ in L}

s≠0,s{\ displaystyle p \ neq 0, \ quad p}er forskjellig fra minimumsegenskapen definert av spørsmålet (omvendt av trivielt spørsmål)Jeg~{\ displaystyle {\ tilde {i}}}

og:

∀x∈L,x<s⇒(x=sellerx=0){\ displaystyle \ forall x \ i L, \; x <p \ Rightarrow (x = p \ quad {\ textrm {eller}} \ quad x = 0)}

Atomer er eiendomsstater. Faktisk, et atom som ikke er null, det er en tilstand i systemet som er gjeldende. Den nedre grensen for mindreårig og er ikke-null; derfor er det lik . s∈L{\ displaystyle p \ in L}E{\ displaystyle E}s{\ displaystyle p}E{\ displaystyle E}s{\ displaystyle p}s{\ displaystyle p}

Representasjon av Cartan

Per definisjon av den underliggende ekvivalensrelasjonen til egenskaper, blir en eiendom helt bestemt av tilstandene i systemet der den er tilstede. Dette er formalisert her, dvs. settet med alle mulige tilstander i systemet. Vi kan definere en anvendelse av i settet med deler av S. S{\ displaystyle S}μ{\ displaystyle \ mu}L{\ displaystyle L}P(S){\ displaystyle P (S)}

μ:på→μpå={E∈S|på∈E}{\ displaystyle \ mu: a \ to \ mu a = \ left \ {E \ in S | a \ in E \ right \}}

Denne applikasjonen kalles morfisme av Cartan , og bildet i kalles representasjon Cartan. L{\ displaystyle L}P(S){\ displaystyle P (S)}

Dessuten er dette kartet injiserende og bevarer rekkefølgen og nedre grense.

Begrepet ortogonalitet

Vi sier om to stater at de er ortogonale (notasjon :) hvis det er et spørsmål som: E1,E2⊂L{\ displaystyle E_ {1}, E_ {2} \ subset L}E1⊥E2{\ displaystyle E_ {1} \ perp E_ {2}}α{\ displaystyle \ alpha}

α{\ displaystyle \ alpha}er sant for og er sant forE1{\ displaystyle E_ {1}}α~{\ displaystyle {\ tilde {\ alpha}}}E2{\ displaystyle E_ {2}}

For eksempel kan energien til en kvantepartikkel fanget i en potensiell brønn bare ta et diskret sett med verdier (det er kvantisert). Vi kan derfor definere to tilstander og hvor kvantepartikkelen har en energi og henholdsvis . Disse to tilstandene er ortogonale av spørsmålet "partikkelen har en energi ", sant i tilstanden og falsk i tilstanden . I den vanlige representasjonen av kvantetilstandene til partikkelen av et Hilbert-rom, vil tilstandene og være ortogonale i betydningen av det skalære produktet. E1{\ displaystyle E_ {1}}E2{\ displaystyle E_ {2}}e1{\ displaystyle e_ {1}}e2{\ displaystyle e_ {2}}α={\ displaystyle \ alpha =}e1{\ displaystyle e_ {1}}E1{\ displaystyle E_ {1}}E2{\ displaystyle E_ {2}}E1{\ displaystyle E_ {1}}E2{\ displaystyle E_ {2}}

Vi sier at to egenskaper at de er ortogonale (notasjon :) hvis alle tilstandene er ortogonale mot tilstandene  : på,b∈L{\ displaystyle a, b \ in L}på⊥b{\ displaystyle a \ perp b}μpå{\ displaystyle \ mu a}μb{\ displaystyle \ mu b}

på⊥b{\ displaystyle a \ perp b} hvis og bare hvis μpå⊥μb{\ displaystyle \ mu a \ perp \ mu b}

Klassisk system

Aksiom 0:

Vi vil si at et spørsmål er klassisk hvis, for hver stat , enten er sant eller er sant. Og vi vil si om et system at det respekterer den klassiske fordommen hvis det for hvert område er minst ett klassisk spørsmålα {\ displaystyle \ alpha ~}E {\ displaystyle E ~}α {\ displaystyle \ alpha ~}α~{\ displaystyle {\ tilde {\ alpha}}}på {\ displaystyle a ~}α {\ displaystyle \ alpha ~}

Dette aksiomet bestemmer helt strukturen til . Dessuten hvis systemet tilfredsstiller aksiom 0 deretter Cartan morphism er surjektiv og og er isomorfe L {\ displaystyle L ~}L {\ displaystyle L ~}P (S){\ displaystyle P ~ (S)}

Generalisering: kvantesystemer

Axiom I Enhver eiendomsstat er et atom av L{\ displaystyle L}

Dette aksiomet betyr ganske enkelt at hvis to tilstander er forskjellige, er forholdet ekskludert. E1,E2⊂L{\ displaystyle E_ {1}, E_ {2} \ subset L}E1⊂E2{\ displaystyle E_ {1} \ subset E_ {2}}

Aristoteles hadde allerede uttalt: Hvis systemet endrer tilstand, så det går fra stat til stat , er det beriket med nye egenskaper som blir aktualisert, og det mister nødvendigvis andre. Så kan ikke være fullstendig inneholdt i . E1{\ displaystyle E_ {1}}E2{\ displaystyle E_ {2}}E1{\ displaystyle E_ {1}}E2{\ displaystyle E_ {2}}

Dette aksiomet gjør det mulig å identifisere tilstandene til systemet ved atomer av . L{\ displaystyle L}

Axiom II For hver gitt tilstand er det et (unikt) spørsmål som er sant hvis og bare hvis tilstanden til systemet er ortogonal tilE{\ displaystyle E}E{\ displaystyle E}

For hver stat er det tilknyttede spørsmålet unikt, fordi det er definert av tilstandene der det er nåværende: stater ortogonale til . Med andre ord, for enhver tilstand eksisterer det et fysisk eksperiment som gjør det mulig å vite sikkert at et gitt system er i en tilstand som er ortogonal til . E{\ displaystyle E}E{\ displaystyle E}E{\ displaystyle E}E{\ displaystyle E}

Å ta aksiom I med i betraktningen, betyr aksiom II at:

For hver atomtilstandsegenskap av er det en (unik) egenskap som er gjeldende hvis og bare hvis staten er ortogonal tils{\ displaystyle p}L{\ displaystyle L}s′{\ displaystyle p '}s{\ displaystyle p}

Funksjonen definert på atomer av aksiom II kan utvides til ethvert heltall ved å: s↦s′{\ displaystyle p \ mapsto p '}L{\ displaystyle L}

på↦på′=⋀{s′;s atom,s≤på}{\ displaystyle a \ mapsto a '= \ bigwedge \ {p' \ ,; \, p {\ text {atom}}, p \ leq a \}}

Denne funksjonen er tydeligere i representasjonen av Cartan:

μ(på′)=μ(på)⊥{\ displaystyle \ mu (a ') = \ mu (a) ^ {\ perp}}

Vurdering: PÅ⊥={E∈S|∀η∈PÅ,E⊥η}{\ displaystyle A ^ {\ perp} = {\ big \ {} E \ i S \, | \, \ forall \ eta \ i A, E \ perp \ eta {\ big \}}}

Axiom III Anvendelsen av in  : er surjective.L{\ displaystyle L}L{\ displaystyle L}på→på′{\ displaystyle a \ til en '} Struktur av statsrommet

I likhet med aksiom 0 bestemmer aksiomer I, II, III helt strukturen til tilstandsrommet.

Setning:

Hvis systemet tilfredsstiller aksiomene 1, 2 og 3, så:

• Cartan-morfismen bestemmer en isomorfisme mellom ogL{\ displaystyle L}(S,⊥){\ displaystyle (S, \ perp)}
• L{\ displaystyle L} er et komplett gitter, fylt med atomer
• Søknaden definert i aksiom III er en ortokomplementering

Statenes rom er et komplett gitter, fylt med atomer og forsynt med en ortokomplementeringHilbert mellomrom

Vi vil vise at rommet som genereres av strålene i et Hilbert-rom, er perfekt egnet til å beskrive et tilstandsrom.

Setning:

La H være et Hilbert-rom, settet med alle underområder inneholdt er et komplett, ortokomplementert og atomfylt gitter.G{\ displaystyle G}H{\ displaystyle H}

Demonstrasjon:

• full trellis:

Lukkede underområder kan bestilles ved inkludering. De danner et komplett gitter fordi krysset mellom lukkede sett fremdeles er et lukket sett.G{\ displaystyle G}

• Ortokomplementert:

applikasjonen som matchet definerer en ortokomplementering. Faktisk:G{\ displaystyle G}G⊥{\ displaystyle G ^ {\ perp}}

(G⊥)⊥=GG+G⊥=H{\ displaystyle (G ^ {\ perp}) ^ {\ perp} = G \ qquad \ qquad G + G ^ {\ perp} = H} G1⊂G2⇒G2⊥⊂G1⊥G∩G⊥={0}{\ displaystyle G_ {1} \ subset G_ {2} \ Rightarrow G_ {2} ^ {\ perp} \ subset G_ {1} ^ {\ perp} \ qquad G \ cap G ^ {\ perp} = \ {0 \}}

• Fylt med atomer:

Atomene til dette gitteret er de 1-dimensjonale underområdene (dvs. strålene), og alle underområdene genereres av strålene de inneholder.

Bibliografi

• Constantin Piron, Quantum Mechanics: Bases and Applications , Lausanne, Presses Polytechniques et Universitaires Romandes,1998, 202  s. ( ISBN  2-88074-399-0 , les online ) Dette arbeidet foreslår tilnærmingen til de "tre aksiomene", men snakker ikke om de seks postulatene. Denne boka er derfor heller ment for folk som allerede har et godt nivå i kvantemekanikk, til tross for at den er matematisk tilgjengelig med et matematisk nivå på lavere universitet.

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">