Injeksjon (matematikk)

Et kart f sies å være injektiv eller er en injeksjons hvis noen del av dens ankomst sett har høyst et forutgående ved f , som utgjør si at to distinkte deler av sin utgangs sett ikke kan ha den samme bilde ved f .

Når utgangs og slutter sett av f begge er lik den virkelige linje ℝ, f er injektiv hvis og bare hvis dens graf skjærer hvilken som helst vannrett linje ved høyst ett punkt.

Hvis en injeksjonsapplikasjon også er adjektiv , sies det å være bijektiv .

Formell definisjon

Et kart f  : X → Y er injeksjonsdyktig hvis det for alle y ∈ Y , finnes det maksimalt en x ∈ X slik at f ( x ) = y , som er skrevet:

∀x∈X∀x′∈X(f(x)=f(x′)⇒x=x′){\ displaystyle \ forall x \ i X \ quad \ forall x '\ i X \ quad \ left (f (x) = f (x') \ Rightarrow x = x '\ right)}.

Den foregående implikasjonen tilsvarer den motsatte  :

∀x∈X∀x′∈X(x≠x′⇒f(x)≠f(x′)){\ displaystyle \ forall x \ i X \ quad \ forall x '\ i X \ quad \ left (x \ neq x' \ Rightarrow f (x) \ neq f (x ') \ right)}.

Konkret eksempel

Ta saken med et feriested hvor en gruppe turister skal innkvarteres på et hotell. Hver måte å distribuere disse turistene på rommene på hotellet kan representeres av en applikasjon av settet med turister, X , til alle rommene, Y (hver turist er tilknyttet et rom).

• Hotellmannen vil at søknaden skal være overveiende , det vil si at hvert rom er okkupert . Dette er bare mulig hvis det er minst like mange turister som det er rom.
• Turister vil at applikasjonen skal være injiserende, det vil si at hver av dem har et individuelt rom . Dette er bare mulig hvis antall turister ikke overstiger antall rom.
• Disse begrensningene er bare kompatible hvis antall turister er lik antall rom. I dette tilfellet vil det være mulig å distribuere turistene slik at det bare er en per rom, og at alle rommene er okkupert: applikasjonen vil da være både injeksjons- og surjectiv; vi vil si at det er bijektiv .

Eksempler og moteksempler

Tenk på kartet f  : ℝ → ℝ definert av f ( x ) = 2 x  + 1. Dette kartet er injeksivt (og til og med bijektivt), for for alle vilkårlige reelle tall x og x ' , hvis 2 x  + 1 = 2 x'  + 1 så 2 x  = 2 x ′ , det vil si x  =  x ′ .

På den annen side, kartet g  : ℝ → ℝ definert av g ( x ) = x 2 er ikke injektiv, fordi (for eksempel) g (1) = 1 = g (1).

På den annen side, hvis vi definere kartet h  : ℝ +  → ℝ ved den samme forhold som g , men med den definisjon sett begrenset til det sett av positive Real , deretter kartet h er injektiv. En forklaring er at for gitte vilkårlige positive real x og x ′ , hvis x 2  =  x ′ 2 , så | x | = | x ′ |, så x  = x ′ .

Eiendommer

• La oss f søknad X i Y .
  • f er injektiv (hvis og) bare når X er den tomme settet , eller dersom det foreligger et kart g  :  Y  →  X slik at g ∘ f er lik kartet identitet på X , d.v.s. hvis og bare hvis X er tom eller f er inverterbar .
  • f er injeksjonsdyktig hvis (og bare hvis) det er venstre-forenklet , dvs. at for alle kartlegginger g , h  :  Z  →  X , f ∘ g = f ∘ h innebærer g  = h . Med andre ord er injeksjonskartene nettopp monomorfismene i kategorien sett .
  • For ethvert kart g fra Y til Z  :
    1. hvis det sammensatte kartet g ∘ f er injeksivt, så er f injeksjonsrikt;
    2. hvis f og g er injeksjonsdyktige, så er g ∘ f injeksjonsdyktige;
    3. hvis f er surjektiv og hvis g ∘ f er injeksjonsdyktig så er g injeksjonsmiddel.
  • Følgende fire egenskaper er ekvivalente:
    • f er injeksjonsdyktig;
    • hvilken som helst del A av X er det omvendte bildet av dets direkte bilde  : f −1 ( f ( A )) = A  ;
    • for alle delene A og B i X har vi f ( A  ∩  B ) = f ( A ) ∩  f ( B );
    • for hvilken som helst del A av X , er det direkte bildet av komplementet til A inkludert i komplementet til det direkte bildet av A , dvs. f ( X \ A ) ⊂ Y \ f ( A ).
• Ethvert kart h  :  Z  →  Y kan spaltes som h  = f ∘ g for en passende injeksjon f og en overføring g . Denne nedbrytningen er unik bortsett fra en enkelt isomorfisme , og f kan velges lik den kanoniske injeksjonen , av bildet h ( Z ) av h , i ankomstsettet Y av h .
• Hvis f  :  X  →  Y er injeksjonsdyktig, har Y minst like mange elementer som X , i betydningen kardinaler .
• Hvis vi med E ≤ F betegner egenskapen "det eksisterer en injeksjon av mengden E i mengden F  ", er ≤ en "  forhåndsbestilling  " (i vid forstand, dvs. på en riktig klasse : den for alle sett) induserer en "  ordre  " på klassen kardinaler. Den refleksivitet og transitivity ble behandlet i løpet av de tidligere eksempler, og antisymmetry er gjenstand for den teoremet Cantor-Bernstein . Det faktum at denne rekkefølgen er total , det vil si at for to sett E og F , har vi minst ett av relasjonene E ≤ F eller F ≤ E , er bevist ved hjelp av Zorns lemma , c 'er kardinal sammenlignbarhetssetning . Dette resultatet tilsvarer til og med det valgte aksiomet .
• En morphism av en gruppe X til en gruppe Y er injektiv hvis og bare hvis dens kjerne blir redusert til sub- triviell gruppe av gruppen X .

Historie

Begrepet "injeksjon" ble laget av MacLane i 1950 mens adjektivet "injeksjonsmiddel" dukket opp to år senere, i 1952, i Foundations of Algebraic Topology av Eilenberg og Steenrod .

Merknader og referanser

1. Se for eksempel de korrigerte øvelsene i kapitlet "Injeksjon, overføring, bijeksjon" på Wikiversity .
2. (in) Jeff Miller "  Tidligste kjente bruksområder for noen av matematikkens ord (I)  " .