Generell normalfordeling

Generalisert normal distribusjon (versjon 1)
Sannsynlighetstetthet
Distribusjonsfunksjon
Innstillinger	μ∈R{\ displaystyle \ mu \ in \ mathbb {R}} posisjonsparameter skala parameterform parameter α∈]0,∞[{\ displaystyle \ alpha \ in] 0, \ infty [} β∈]0,∞[{\ displaystyle \ beta \ in] 0, \ infty [}
Brukerstøtte	x∈]-∞;+∞[{\ displaystyle x \ in] - \ infty; + \ infty [\!}
Sannsynlighetstetthet	β2αΓ(1/β)e-(|x-μ|/α)β{\ displaystyle {\ frac {\ beta} {2 \ alpha \ Gamma (1 / \ beta)}} \; e ^ {- (| x- \ mu | / \ alpha) ^ {\ beta}}} Γ{\ displaystyle \ Gamma}er gammafunksjonen
Distribusjonsfunksjon	12+sgn⁡(x-μ)γ[1/β,(|x-μ|α)β]2Γ(1/β){\ displaystyle \ scriptstyle {\ frac {1} {2}} + \ operatorname {sgn} (x- \ mu) {\ frac {\ gamma \ left [1 / \ beta, \ left ({\ frac {| x - \ mu |} {\ alpha}} \ right) ^ {\ beta} \ right]} {2 \ Gamma (1 / \ beta)}}} γ{\ displaystyle \ gamma}er den ufullstendige gammafunksjonen
Håp	μ{\ displaystyle \ mu \,}
Median	μ{\ displaystyle \ mu \,}
Mote	μ{\ displaystyle \ mu \,}
Forskjell	α2Γ(3/β)Γ(1/β){\ displaystyle {\ frac {\ alpha ^ {2} \ Gamma (3 / \ beta)} {\ Gamma (1 / \ beta)}}}
Asymmetri	0
Normalisert kurtose	Γ(5/β)Γ(1/β)Γ(3/β)2-3{\ displaystyle {\ frac {\ Gamma (5 / \ beta) \ Gamma (1 / \ beta)} {\ Gamma (3 / \ beta) ^ {2}}} - 3}
Entropi	1β-Logg⁡[β2αΓ(1/β)]{\ displaystyle {\ frac {1} {\ beta}} - \ log \ left [{\ frac {\ beta} {2 \ alpha \ Gamma (1 / \ beta)}} \ right]}

I sannsynlighetsteori og i statistikk utpeker den generaliserte normalloven eller den generaliserte Gaussiske loven to familier med tetthets sannsynlighetslover som støtter er settet med reelle tall . Denne loven legger til en formparameter til normalloven . For å skille dem vil de to familiene bli kalt “versjon 1” og “versjon 2”, men de er ikke standardnavn.

Versjon 1

Den sannsynlighetstettheten av lovene i denne familien er gitt ved formelen:

f(x)=β2αΓ(1/β)e-(|x-μ|α)β{\ displaystyle f (x) = {\ frac {\ beta} {2 \ alpha \ Gamma (1 / \ beta)}} \; e ^ {- \ left ({\ frac {| x- \ mu |} { \ alpha}} \ høyre) ^ {\ beta}}}

hvor er gammafunksjonen , er en posisjonsparameter , er en skalaparameter og er en formparameter . Γ{\ displaystyle \ Gamma}μ∈R{\ displaystyle \ mu \ in \ mathbb {R}}α∈]0,∞[{\ displaystyle \ alpha \ in] 0, \ infty [}β∈]0,∞[{\ displaystyle \ beta \ in] 0, \ infty [}

Sannsynlighetslovene i denne familien er også kjent under begrepene eksponentiell maktlov eller generalisert feillov . De er symmetriske lover . Familien inkluderer de vanlige lovene og Laplace- lovene , og som grensesaker inneholder den kontinuerlig enhetlig lov på intervaller.

• Hvor er den generaliserte normalfordelingen den normale fordelingen av gjennomsnitt og varians .β=2{\ displaystyle \ beta = 2}μ{\ displaystyle \ textstyle \ mu}α22{\ displaystyle \ textstyle {\ frac {\ alpha ^ {2}} {2}}}
• Hvor er den generaliserte normale loven Laplace's lov .β=1{\ displaystyle \ textstyle \ beta = 1}
• Som en tendens til uendelig, konvergerer tettheten (ganske enkelt) til tettheten av den kontinuerlige ensartede loven på .β{\ displaystyle \ textstyle \ beta}[μ-α,μ+α]{\ displaystyle \ textstyle [\ mu - \ alpha, \ mu + \ alpha]}

Denne familien har lover hvis hale (eller hale) er lengre enn den normale loven, når . Det har også lover at trolling er kortere enn normalfordelingen . β<2{\ displaystyle \ beta <2}β>2{\ displaystyle \ beta> 2}

Parameterestimering

Estimering av parametrene studeres via maksimal sannsynlighet og metode for øyeblikk . Estimater har vanligvis ikke en eksplisitt form og oppnås numerisk. Men noen krever ikke digital simulering

Logaritmefunksjonen med maksimal sannsynlighet for generalisert normalfordeling er av klasse , dvs. uendelig differensierbar , bare hvis . Ellers har funksjonen kontinuerlige derivater. VS∞{\ displaystyle C ^ {\ infty}}β∈{2,4,6,...}{\ displaystyle \ textstyle \ beta \ in \ {2,4,6, \ dots \}}⌊β⌋{\ displaystyle \ textstyle \ lfloor \ beta \ rfloor}

applikasjoner

Denne versjonen 1 av generalisert normal lov ble brukt i modellering når studiens interesse er relatert til konsentrasjonen av verdier rundt gjennomsnittet og halens oppførsel. Andre lovfamilier kan brukes til å studere andre deformasjoner av normal lov. Hvis interessen for studien er den symmetriske karakteren, kan familien til asymmetriske normallover eller versjon 2 av de generaliserte normale lovene (presentert nedenfor) brukes. Hvis studien vedrører halens oppførsel, kan familien til lovene til studentens lover vurderes, sistnevnte nærmer seg normalloven når antall frihetsgrader har en tendens til uendelig. Disse Student lover har en lengre hale enn vanlig lov, men uten å ha fått en spiss i origo, som ikke er tilfelle med generalisert normal lov.

Eiendommer

Den flerdimensjonale generaliserte normalloven, dvs. produktet av generaliserte normallover med de samme parametrene, og er den unike tetthets sannsynlighetsloven hvis tetthet kan skrives i form: ikke{\ displaystyle n}α{\ displaystyle \ alpha}β{\ displaystyle \ beta}

s(x)=g(‖x‖β){\ displaystyle p (\ mathbf {x}) = g (\ | \ mathbf {x} \ | _ {\ beta})}

og som har uavhengige marginer. Dette resultatet for det spesielle tilfellet av den flerdimensjonale normalfordelingen tilskrives James Clerk Maxwell .

Versjon 2

Generalisert normal distribusjon (versjon 2)
Sannsynlighetstetthet
Distribusjonsfunksjon
Innstillinger	ξ∈R{\ displaystyle \ xi \ in \ mathbb {R}} posisjonsparameter skala parameterform parameter α∈]0,∞[{\ displaystyle \ alpha \ in] 0, \ infty [} κ∈R{\ displaystyle \ kappa \ in \ mathbb {R}}
Brukerstøtte	x∈]-∞,ξ+α/κ[ hvis κ>0{\ displaystyle x \ in] - \ infty, \ xi + \ alpha / \ kappa [{\ text {si}} \ kappa> 0} x∈]-∞,∞[ hvis κ=0{\ displaystyle x \ in] - \ infty, \ infty [{\ text {si}} \ kappa = 0} x∈]ξ+α/κ;+∞[ hvis κ<0{\ displaystyle x \ in] \ xi + \ alpha / \ kappa; + \ infty [{\ text {si}} \ kappa <0}
Sannsynlighetstetthet	ϕ(y)α-κ(x-ξ){\ displaystyle {\ frac {\ phi (y)} {\ alpha - \ kappa (x- \ xi)}}}hvor er sannsynlighetstettheten til normalfordelingen y={-1κLogg⁡[1-κ(x-ξ)α]hvis κ≠0x-ξαhvis κ=0{\ displaystyle y = {\ begin {cases} - {\ frac {1} {\ kappa}} \ log \ left [1 - {\ frac {\ kappa (x- \ xi)} {\ alpha}} \ right ] og {\ text {si}} \ kappa \ neq 0 \\ {\ frac {x- \ xi} {\ alpha}} & {\ text {si}} \ kappa = 0 \ end {cases}}} ϕ{\ displaystyle \ phi}
Distribusjonsfunksjon	Φ(y){\ displaystyle \ Phi (y)}, hvor er fordelingsfunksjonen til normalfordelingen y={-1κLogg⁡[1-κ(x-ξ)α]hvis κ≠0x-ξαhvis κ=0{\ displaystyle y = {\ begin {cases} - {\ frac {1} {\ kappa}} \ log \ left [1 - {\ frac {\ kappa (x- \ xi)} {\ alpha}} \ right ] og {\ text {si}} \ kappa \ neq 0 \\ {\ frac {x- \ xi} {\ alpha}} & {\ text {si}} \ kappa = 0 \ end {cases}}} Φ{\ displaystyle \ Phi}
Håp	ξ-ακ(eκ2/2-1){\ displaystyle \ xi - {\ frac {\ alpha} {\ kappa}} \ left (e ^ {\ kappa ^ {2} / 2} -1 \ right)}
Median	ξ{\ displaystyle \ xi \,}
Forskjell	α2κ2eκ2(eκ2-1){\ displaystyle {\ frac {\ alpha ^ {2}} {\ kappa ^ {2}}} e ^ {\ kappa ^ {2}} \ left (e ^ {\ kappa ^ {2}} - 1 \ right )}
Asymmetri	3eκ2-e3κ2-2(eκ2-1)3/2 skilt(κ){\ displaystyle {\ frac {3e ^ {\ kappa ^ {2}} - e ^ {3 \ kappa ^ {2}} - 2} {(e ^ {\ kappa ^ {2}} - 1) ^ {3 / 2}}} {\ text {sign}} (\ kappa)}
Normalisert kurtose	e4κ2+2e3κ2+3e2κ2-6{\ displaystyle e ^ {4 \ kappa ^ {2}} + 2e ^ {3 \ kappa ^ {2}} + 3e ^ {2 \ kappa ^ {2}} - 6}

Den sannsynlighetstettheten til den generaliserte normale fordelingen av versjon 2 er gitt ved:

ϕ(y)α-κ(x-ξ){\ displaystyle {\ frac {\ phi (y)} {\ alpha - \ kappa (x- \ xi)}}}, eller
y={-1κLogg⁡[1-κ(x-ξ)α]hvis κ≠0x-ξαhvis κ=0{\ displaystyle y = {\ begin {cases} - {\ frac {1} {\ kappa}} \ log \ left [1 - {\ frac {\ kappa (x- \ xi)} {\ alpha}} \ right ] og {\ text {si}} \ kappa \ neq 0 \\ {\ frac {x- \ xi} {\ alpha}} & {\ text {si}} \ kappa = 0 \ end {cases}}}

hvor er sannsynlighetstettheten til normalfordelingen . ϕ{\ displaystyle \ phi}

Det er en familie med tetthets sannsynlighetslover slik at formparameteren kan brukes til å innføre asymmetri . κ∈R{\ displaystyle \ kappa \ in \ mathbb {R}}

• Når er den generaliserte normalfordelingen normalfordelingen . Det er den eneste verdien av denne parameteren slik at støtten til loven er hele hele reelle tall.κ=0{\ displaystyle \ kappa = 0}
• Når blir asymmetrien endret og loven forsterket til venstre og avgrenset til høyre.κ>0{\ displaystyle \ kappa> 0}
• Når endres asymmetrien og loven forsterkes til høyre og avgrenses til venstre.κ<0{\ displaystyle \ kappa <0}

Parameterestimering

I likhet med tilfellet med generaliserte normalfordelinger versjon 1, kan parametrene estimeres ved hjelp av maksimal sannsynlighet og metoden for øyeblikk . Anslag har vanligvis ikke en eksplisitt form og krever en numerisk tilnærming.

applikasjoner

Denne familien av sannsynlighetsfordelinger kan brukes til å modellere verdier av tidligere fordeling av normalfordelingen, eller av tidligere fordeling av en asymmetrisk normalfordeling. Den asymmetriske normalloven er en annen sannsynlighetslov som er nyttig for modellering av normale lover hvis asymmetri er avviket. Andre sannsynlighetslover bruker en endring i asymmetri som gammaloven , den lognormale loven eller Weibull-loven , men disse lovene inneholder ikke den normale loven som et spesielt tilfelle.

Andre lover i forhold til normal lov

De to generaliseringene av den normale loven som er beskrevet her, så vel som den asymmetriske normalloven, er familier av lover som utvider normalloven ved å legge til den som en formparameter. Takket være normallovens sentrale rolle i sannsynlighetsteori og i statistikk, kan mange lover kjennetegnes av deres forhold til normalloven. For eksempel er den lognormale fordelingen , den brettede normalfordelingen eller den inverse-Gaussiske fordelingen definert som transformasjoner av standard normalfordeling. Imidlertid inneholder disse modifikasjonene ikke den normale loven som et spesielt tilfelle, i motsetning til de generaliserte normallovene og den asymmetriske normalloven.

Referanser

1. Saralees Nadarajah , “  A generalized normal distribution,  ” Journal of Applied Statistics , vol.  32, n o  7,September 2005, s.  685-694 ( DOI  10.1080 / 02664760500079464 )
2. MK Varanasi , “  Parametric generalised Gaussian density estimation  ”, Journal of the Acoustical Society of America , vol.  86, n o  4,Oktober 1989, s.  1404-1415 ( DOI  10.1121 / 1.398700 )
3. Domínguez-Molina, J. Armando; Gonzalez-Farías, Graciela; Rodríguez-Dagnino, Ramon M., En praktisk fremgangsmåte for å estimere formen parameter i den generaliserte Gauss-fordelingen kobling
4. Faming Liang , “  En robust sekvensiell Bayesian metode for identifikasjon av differensielt uttrykte gener  ”, Statistica Sinica , vol.  17, n o  toapril 2007, s.  571-597 ( les online , konsultert 3. mars 2009 )
5. (in) George EP Box , Tiao, George C., Bayesian Inference in Statistical Analysis , New York, Wiley , 1992, 588  s. ( ISBN  0-471-57428-7 )
6. (i) Fabian Sinz , "  Karakterisering av p-generalisert normalfordeling.  ” , Journal of Multivariate Analysis , vol.  100, n o  5,Mai 2009, s.  817-820 ( DOI  10.1016 / j.jmva.2008.07.006 )
7. M. Kac , “  On a characterization of the normal distribution  ”, American Journal of Mathematics , vol.  61, n o  3,1939, s.  726-728 ( DOI  10.2307 / 2371328 )
8. Hosking, JRM, Wallis, JR (1997) Regional frekvensanalyse: en tilnærming basert på L-momenter , Cambridge University Press. ( ISBN  0-521-43045-3 ) . Avsnitt A.8
9. "  Dokumentasjon for R-pakken med navnet lmomco  " ( Arkiv • Wikiwix • Archive.is • Google • Hva skal jeg gjøre? ) (Tilgang 12. april 2013 )

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">