Matrise av et lineært kart

I lineær algebra er matrisen til et lineært kart en matrise av skalarer som gjør det mulig å representere et lineært kart mellom to vektorrom med endelige dimensjoner , gitt valg av grunnlag for hver av dem.

Definisjon

Er:

• E og F to vektorrom på et kommutasjonsfelt K , med respektive dimensjoner n og m  ;
• B = ( e 1 ,…, e n ) et grunnlag for E , C et grunnlag for F  ;
• fy en implementering av E i F .

Så:

• kartet φ er lineær hvis og bare hvis det eksisterer en matrise A av M m, n ( K ) slik at
  for en hvilken som helst vektor x av E , til kolonne av koordinatene i C av φ ( x ) er det produkt på den venstre ved A fra koordinatsøylen til x i B  ;
• en slik matrise A er da unik: dens n kolonner er koordinatene i C for n vektorene φ ( e 1 ),…, φ ( e n ).

Denne matrisen A kalles matrisen til φ i baseparet ( B , C ) og betegnet matten B , C ( φ ), eller noen ganger M C B ( φ ).

Mer formelt er matten B , C ( φ ) preget av:

∀x∈EmastVS⁡(φ(x))=mastB,VS⁡(φ)×mastB⁡(x){\ displaystyle \ forall x \ i E \ quad \ operatorname {mat} _ {C} (\ varphi (x)) = \ operatorname {mat} _ {B, C} (\ varphi) \ times \ operatorname {mat} _ {B} (x)}.

Eksempel

I planet vektoren euklidske ℝ 2 , den direkte likheten forholdet √ 2 og vinkel 45 ° (se figur) er lineær.

Dens matrise på det kanoniske grunnlaget (eller i hvilken som helst direkte ortonormal basis ) er . (1-111){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \ end {pmatrix}}}

Er : (x′y′)=(1-111)(xy){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x '\\ y' \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \ slutt {pmatrix}} {\ begynn {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix}}}

Eiendommer

• Matten matrisen B , C ( φ ) gir, kolonne for kolonne, koordinatene i C av de n vektorene cp ( e 1 ), ..., φ ( E n ) på F , som genererer det bildet av φ . Som for kjernen av φ , er det den vektor underrom av E som består av vektorene som har koordinatene i B er de løsninger X av den homogene lineære system matte B , C ( φ ) X = 0.
• Anvendelsen av L ( E , F ) i M m, n ( K ) som med hver φ forbinder matrisen i ( B , C ) er en isomorfisme av vektorrom .
• Hvis ψ er et andre lineært kart over F i et tredje vektorrom G med base D , er matrisen til kompositten ψ ∘ φ , i forhold til basene B , C , D lik produktet av matriser av ψ og φ . Mer presist : mastB,D⁡(ψ∘φ)=mastVS,D⁡(ψ)×mastB,VS⁡(φ){\ displaystyle \ operatorname {mat} _ {B, D} (\ psi \ circ \ varphi) = \ operatorname {mat} _ {C, D} (\ psi) \ times \ operatorname {mat} _ {B, C } (\ varphi)}.
• For en hvilken som helst matrise M av M m, n ( K ) er kartet X ↦ MX , fra K -vektorrom M n , 1 ( K ) i K- vektorrom M m , 1 ( K ), lineært og dets matrise i den kanoniske baser er M . Som et resultat hender det ofte at matrisen M er identifisert med dette lineære kartet. Vi vil da snakke om kjernen til matrisen, til egenskapene til matrisen, til bildet av matrisen, etc.

Merknader

1. Denne definisjonen er generalisert ved å ta K en ring (ikke nødvendigvis kommutative ) og E og F av K-moduler til høyre fri finitely .
2. En demonstrasjon vises i kapittelet “Matrise for en lineær applikasjon” på Wikiversity ( se nedenfor ).
3. Jean Dieudonné , lineær algebra og elementær geometri , Hermann ,1964, "Introduksjon".
4. Når det gjelder moduler på en ikke-kommutativ ring, eksisterer denne lineariteten bare fordi vi har vurdert moduler til høyre .

Se også

Passasjematrise