Dimensjon av et vektorrom

I lineær algebra , den dimensjon av Hamel , eller rett og slett dimensjon er invariant i forbindelse med en hvilken som helst vektor plass E på et legeme K . Dimensjonen til E er kardinalen som er felles for alle basene . Dette tallet er betegnet dim K ( E ) (les "dimensjon av E over K ") eller dim ( E ) (hvis det ikke er noen forvirring på feltet K i skalarer ). Hvis E medgir en del genererende begrenset, da dens dimensjon er over, og det er antallet vektorer som utgjør en base E .

Denne definisjonen er basert på den ene siden på eksistensen av baser, en følge av det ufullstendige basissetningen , og på den andre siden på dimensjonssetningen for vektorrom , som sikrer at to baser i samme rom har samme kardinal. Denne dimensjonen er noen ganger oppkalt etter den tyske matematikeren Georg Hamel . Opp til isomorfi , K- er vektorrom klassifisert etter deres dimensjoner. En terminologi er spesifikk for små mellomrom:

Null space : betegner et mellomrom E med dimensjon 0. Den innrømmer sin unike vektor som unikt element . Den tomme familien er en maksimal gratis familie ; det er det eneste grunnlaget for E ;
Vektor eller rett linje: betegner et vektorrom E med dimensjon 1. Enhver ikke-null vektor av E danner en base av E ;
Vektor plane eller plane: betegner et vektorrom E av dimensjon 2. Hvert par ( u, v ) av ikke-vektor kolineær med E danner en basis av E .

Eksempler

Dimensjonen til et vektorrom kan beregnes ved å velge et kanonisk grunnlag:

Feltet K , sett på som K -vektorrom, har dimensjon 1. For ethvert naturlig tall n er det kartesiske produktet K n vektorrommet til n- tinn i skalarene. Den har dimensjon n , dens kanoniske grunnlag inneholder nøyaktig n vektorer. Det følger av definisjonen at ethvert grunnlag for K n har nøyaktig n vektorer.
Mer generelt, for ethvert sett A , betegner vi med K ( A ) settet med familier (λ a ) a∈A av elementer av K indeksert av A og med endelig støtte . Den tillegg og multiplikasjon med en skalar er definert ledd for ledd, K ( A ) er en K- vektor plass. Dens kanonisk basis er familien ( e en ) a∈A hvor e b = ( δ , b ) a∈A for b ∈ A . Det følger av dette at størrelsen av K ( A ) er den cardinality av A .
I vektorrommet K [ X ] av polynomer med koeffisienter i et felt K , danner polynomene med grad mindre enn eller lik n et vektordelområde med kanonisk basis (1, X, ..., X n ) derfor av dimensjonen n + 1 .
Vektoren plass av matriser med n rader og p kolonner, med koeffisienter i K , har i kanonisk basis familien ( E i, j ) som består av matriser med en 1 ved den i te rad og j te kolonne og nuller overalt ellers. Det er derfor av dimensjon np .

Valget av skalarfeltet er viktig.

Feltet med komplekse tall kan betraktes både som et 2-dimensjonalt ℝ-vektorrom og som et 1-dimensjonalt ℂ-vektorrom.

Eiendommer

Hvis F er et vektorunderrom av E , så dim ( F ) ≤ dim ( E ).

For å demonstrere at to vektorrom med endelig dimensjon er like, vi ofte bruke følgende teorem: Hvis E er en endelig dimensjonal vektor plass og F en vektor underrom av E av samme størrelse, da E = F . Denne implikasjonen blir falsk i uendelig dimensjon.

I et rom med dimensjon d (endelig eller ikke) er kardinaliteten til en hvilken som helst fri familie mindre enn eller lik d, og den for en genererende familie er større enn eller lik d .

Et viktig resultat på dimensjonen angående lineære kart er rangsetningen .

Klassifisering

To K -vektorrom er isomorfe (hvis og bare) hvis de har samme dimensjon. Faktisk kan enhver en-til-en-kartlegging mellom basene deres utvides unikt til en isomorfisme mellom de to vektorområdene.

For ethvert sett A eksisterer det K -vektorer mellom dimensjoner | A | : for eksempel mellomrommet K ( A ) ( jf. ovenfor ).

Endring av K

La L / K være en utvidelse av feltet. Da L er en K -vector plass, vektorsummen er summen i kroppen l , og skalar multiplikasjon er begrenset til K x L av multiplikasjonen i L . Dimensjonen til L over K kalles utvidelsesgraden og er betegnet med [ L : K ].

Dessuten er ethvert L- vektorrom E også et K- vektorrom ved begrensning av multiplikasjonen. Dimensjonene er knyttet til formelen:

{{\ rm {dim}}} _ {K} (E) = {{\ rm {dim}}} _ {K} (L) ~ {{\ rm {dim}}} _ {L} (E) .

Spesielt er ethvert komplekst vektorrom med dimensjon n et reelt vektorrom med dimensjon 2 n .

Dimensjon og kardinal

Dimensjonen av vektorrommet K ( A ) er den cardinality av A . Dette påstand følger det følgende forhold, som forbinder kardinal av legemet K skalarene, Kardinaliteten for vektorrommet E , og dens størrelse $på$ omtrent K .

Hvis $d$ er endelig, da (spesielt | E | = 1 hvis d = 0, og | E | = | K | hvis K er uendelig og d ≠ 0). ${\ displaystyle | E | = | K | ^ {d}}$
Hvis $d$ er uendelig, da . Faktisk, hvis B er en basis, E er ekvipotent til settet av begrensede deler av uendelig sett B x K * derfor | E | = | B × K * | = maks (| B |, | K * |) = maks (| B |, | K |) . ${\ displaystyle | E | = \ max (d, | K |)}$

Spesielt er et K -vektorrom E et begrenset vektorrom hvis og bare hvis K er endelig og E har en begrenset dimensjon.

Spesielt er en begrenset L kan sees som en vektor plass over hele kroppen første K , som har Cardinal et primtall p , kalt den karakteristiske for L . Hvis n er dimensjonen til L over K , så er L kardinal p n . Kardinalen til et hvilket som helst endelig felt har et heltall av karakteristikken: det er et primærtall .

Generalisering

Det er mulig å se et vektorrom som et bestemt tilfelle av en matroid , og for sistnevnte er det en veldefinert forestilling om dimensjon. Den lengde av en modul og en rang av en fri abelsk gruppe eller mer generelt av en hvilken som helst abelsk gruppe (i) har mange egenskaper som ligner på den dimensjonen av vektorrom.

Merknader og referanser

(in) Michael Artin , Algebra [ publiseringsdetaljer ], s. 93 , definisjon 3.18.
Roger Godement , Cours d'Algebre , 1966, s. 247 , eksempel 1.