Grams determinant
I euklidisk eller Hilbert- geometri gjør determinanten av Gram det mulig å beregne volumer og å teste den lineære uavhengigheten til en familie av vektorer. Den kombinerer beregninger av prikkprodukter og en determinant . Navnet er en hyllest til den danske matematikeren Jørgen Pedersen Gram ( 1850 - 1916 ).
Den avgjørende artikkelen viser hvordan man definerer det orienterte volumet til en parallellotop dannet av n vektorer i et rom med dimensjon n , uten behov for å gi dette rommet et skalarprodukt . Determinantene til Gram ber om å definere et slikt skalarprodukt , tillate beregning av volumene av parallellotoper av alle dimensjoner, men uten forestilling om orientering.
Mer generelt er det mulig å beregne Gram-determinanter på et kvadratisk rom . I endelig dimensjon er diskriminanten av en symmetrisk bilinær form et spesielt tilfelle av en Gram-determinant.
Definisjon
La E være et ekte prehilbertisk rom. Hvis x 1 , ..., x n er n vektorer av E , er den assosierte Gram- matrisen den symmetriske matrisen til den generelle termen ( x i | x j ) ( punktproduktet til vektorene x i og x j ). Den determinant av Gram er determinant av denne matrisen, det vil si
G(x1,...,xikke)=|(x1|x1)(x1|x2)...(x1|xikke)(x2|x1)(x2|x2)...(x2|xikke)⋮⋮⋮(xikke|x1)(xikke|x2)...(xikke|xikke)|.{\ displaystyle G (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = {\ begin {vmatrix} (x_ {1} | x_ {1}) & (x_ {1} | x_ {2}) & \ prikker & (x_ {1} | x_ {n}) \\ (x_ {2} | x_ {1}) & (x_ {2} | x_ {2}) & \ prikker & (x_ {2} | x_ { n}) \\\ vdots & \ vdots && \ vdots \\ (x_ {n} | x_ {1}) & (x_ {n} | x_ {2}) & \ dots & (x_ {n} | x_ { n}) \ end {vmatrix}}.}
Grammatrise
Kolonne vektorer av den Gram matrisen innrømme de samme lineære avhengighetsforhold (i løpet av n- tupler av Real) som vektorene x i i E : hvis vi betegner ( C 1 , ..., C n ) familien av kolonnen vektorer av Gram-matrisen, vi har for enhver familie av realer ( a 1 , ..., a n )Rikke{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}
∑Jeg=1ikkepåJegxJeg=0E{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} x_ {i} = 0_ {E}}hvis og bare hvis .
∑Jeg=1ikkepåJegVSJeg=0Rikke{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} C_ {i} = 0 _ {\ mathbb {R ^ {n}}}}Det følger at familien av vektorer ( x 1 , ..., x n ) og dens Gram-matrise har samme rang.
Grams determinant
Eiendommer
Skrive ved hjelp av en representativ matrise
La , være et ortonormalt grunnlag for rommet som genereres av familien ( x i ) , og X , den representative matrisen til ( x i ) i . Med andre ord, X er en matrise av størrelse d x n hvis jeg -te kolonne inneholder koordinatene for vektoren x i i , d = RG ( x 1 , ..., x n ) ≤ n er dimensjonen av .
B{\ displaystyle {\ mathcal {B}}}B{\ displaystyle {\ mathcal {B}}}B{\ displaystyle {\ mathcal {B}}}B{\ displaystyle {\ mathcal {B}}}
Grammatrisen til ( x i ) er da t XX . Det er derfor positivt autoadjoint , og det er positivt definitivt hvis og bare hvis x i er lineært uavhengige.
Effekt av
elementære operasjoner
- multiplikasjonen av en av vektorene med den virkelige a forårsaker en multiplikasjon av determinanten av gram med en 2
- determinanten til Gram er uforanderlig ved permutasjon av x i
- ved å legge til en lineær kombinasjon av de andre vektorene til en vektor, blir determinanten av Gram invariant
Eiendommer
- hvis x 1 ⊥ x i for alle i ∈ {2, ..., n } , så har viG(x1,...,xikke)=||x1||2G(x2,...,xikke){\ displaystyle G (x_ {1}, \ dotsc, x_ {n}) = || x_ {1} || ^ {2} \; G (x_ {2}, \ dotsc, x_ {n})}
- Gram-determinanten for en familie av n- vektorer er alltid positiv
- det er null hvis og bare hvis familien er i slekt (som er et spesielt tilfelle av uttalelsen om rangen til Grams familie).
Demonstrasjon
- Hvis familien er i slekt, eksisterer det en indeks k slik at x k er en lineær kombinasjon av de andre x i , derav
G(x1,...,xikke)=G(x1,...,xk-1,0,xk+1,...,xikke)=0.{\ displaystyle G (x_ {1}, \ dotsc, x_ {n}) = G (x_ {1}, \ dotsc, x_ {k-1}, 0, x_ {k + 1}, \ dotsc, x_ { n}) = 0.}
- Hvis familien er fri, er den en base av dens genererte underrom, og X er en overgangsmatrise mellom to baser av samme dimensjon. X er derfor inverterbar, og determinanten til Gram er det ( t XX ) = det ( X ) 2 , noe som er strengt positivt.
Anvendelse på avstanden til en vektor til et vektorunderområde
Er F , en endelig vektorrom av dimensjon n av E forsynt med en basis ( x 1 , ..., x n ) , og x ∈ E . x innrømmer en ortogonal projeksjon p ( x ) på F, og vi har
G(x,x1,...,xikke)=‖x-s(x)‖2⋅G(x1,...,xikke)=d(x,F)2⋅G(x1,...,xikke){\ displaystyle G (x, x_ {1}, \ dotsc, x_ {n}) = \ | xp (x) \ | ^ {2} \ cdot G (x_ {1}, \ dotsc, x_ {n}) = d (x, F) ^ {2} \ cdot G (x_ {1}, \ dotsc, x_ {n})}
Demonstrasjon
Vi har x = x - p ( x ) + p ( x ) , og p ( x ) er en lineær kombinasjon av x i , så
G(x,x1,...,xikke)=G(x-s(x),x1,...,xikke)+G(s(x),x1,...,xikke)=G(x-s(x),x1,...,xikke)=|(x-s(x)|x-s(x))(x-s(x)|x1)...(x-s(x)|xikke)(x1|x-s(x))(x1|x1)...(x1|xikke)⋮⋮⋮(xikke|x-s(x))(xikke|x1)...(xikke|xikke)|{\ displaystyle {\ begin {align} G (x, x_ {1}, \ dotsc, x_ {n}) & = G (xp (x), x_ {1}, \ dotsc, x_ {n}) + G (p (x), x_ {1}, \ dotsc, x_ {n}) \\ & = G (xp (x), x_ {1}, \ dotsc, x_ {n}) \\ & = {\ begin {vmatrix} (xp (x) | xp (x)) & (xp (x) | x_ {1}) & \ prikker & (xp (x) | x_ {n}) \\ (x_ {1} | xp (x)) & (x_ {1} | x_ {1}) & \ prikker & (x_ {1} | x_ {n}) \\\ vdots & \ vdots && \ vdots \\ (x_ {n} | xp (x)) & (x_ {n} | x_ {1}) & \ prikker & (x_ {n} | x_ {n}) \ end {vmatrix}} \ end {justert}}}Men x = x - p ( x ) er per definisjon ortogonal til x i derfor:
G(x,x1,...,xikke)=|(x-s(x)|x-s(x))0...00(x1|x1)...(x1|xikke)⋮⋮⋮0(xikke|x1)...(xikke|xikke)|=‖x-s(x)‖2 G(x1,...,xikke){\ displaystyle {\ begin {align} G (x, x_ {1}, \ dots, x_ {n}) & = {\ begin {vmatrix} (xp (x) | xp (x)) & 0 & \ prikker & 0 \ \ 0 & (x_ {1} | x_ {1}) & \ prikker & (x_ {1} | x_ {n}) \\\ vdots & \ vdots && \ vdots \\ 0 & (x_ {n } | x_ {1}) & \ dots & (x_ {n} | x_ {n}) \ end {vmatrix}} \\ & = \ lVert xp (x) \ rVert ^ {2} ~ G (x_ {1 }, \ dotsc, x_ {n}) \ end {justert}}}
Påføring på beregning av komponentene i en vektor i en hvilken som helst base
Er F , en endelig vektorrom av dimensjon n av E som har en bunn ( x 1 , ..., x n ) , og x ∈ F .
Vi stiller . Så for alle j ∈ {1, ..., n } har vi forholdet
x=∑Jeg=1ikkesJegxJeg{\ displaystyle x = \ sum _ {i = 1} ^ {n} p_ {i} x_ {i}}
sj2G(x1,...,xikke)=G(x1,...,xj-1,x,xj+1,...,xikke){\ displaystyle p_ {j} ^ {2} \, {G (x_ {1}, \ dotsc, x_ {n})} = G (x_ {1}, \ dotsc, x_ {j-1}, x, x_ {j + 1}, \ dotsc, x_ {n})}Det gjenstår bare å finne tegnet på hver p j for å bestemme koordinatene til x i ( x 1 , ..., x n ) .
Geometrisk tolkning
Beregningen av avstanden til et underrom gjør det mulig å vise ved induksjon at Gram-determinanten til en familie av n- vektorer er lik kvadratet til det euklidiske volumet til den tilsvarende parallellotopen .
For n = 1 er dette virkelig tilfelle, fordi G ( x ) = || x || 2 .
Forutsatt at egenskapen er sant for enhver familie av n vektorer, etablerer vi den for n + 1 : avstanden i kvadrat fra x n +1 til F , rommet generert av de første n vektorene, er kvadratet av høyden på parallellotopen , og G ( x 1 , ..., x n ) er kvadratet av volumet av basen ved induksjonshypotese.
Volumet blir derfor oppnådd ved å ta kvadratroten av den determinant av Gram, uten at det er mulig å gi det et tegn (for mer detaljer om denne siste spørsmålet, se artikkelen orientering ).
Eksterne linker
(no) Eric W. Weisstein , “ Gram Determinant ” , på MathWorld
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">